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1、全國卷W科數(shù)學模擬試題二
第Ⅰ卷
一 選擇題:本題共12題,每小題5分,共60.在每小題給出的四個選項中,有且只有一個是正確的.
1.已知復數(shù)為實數(shù),則實數(shù)的值為( )
A. B. C.— D.—
2若橢圓的離心率為,則雙曲線的漸近線方程為( )
A.B.C.D.
3.某程序的框圖如圖所示, 執(zhí)行該程序,若輸入的為,則輸出
的的值分別為
A. B.
C. D.
4.數(shù)列{}的前n項和(n N+),則等于(?。?
A. B. C. D.
5. 已知,若的充分條件是
,,則之間的關(guān)系是(
2、).
(A) (B) (C) (D)
6.已知等比數(shù)列的公比,則下面說法中不正確的是( )
A.是等比數(shù)列 B.對于,,
C.對于,都有D.若,則對于任意,都有
7. 對于x∈R,恒有成立,則f(x)的表達式可能是( ).
() ()
() ()
8.已知函數(shù)的圖象與直線恰有三個公共點,則實數(shù)的取值范圍是( ) ( ?。?
A. B. C. D.
9.有能力互異的3人應(yīng)聘同一公司,他們按照報名順序依次接受面試,經(jīng)理決定“不錄用第
一個接受面試的人,如果第二個接受面試的人比第一個能力強,就錄用第
3、二個人,否則就錄用
第三個人”,記公司錄用到能力最強的人的概率為,錄用到能力最弱的人的概率為,則
10.已知拋物線的焦點到其準線的距離是,拋物線的準線與軸的交點為,點在拋物線上且,則的面積為
A 32 B 16 C 8 D 4
11.設(shè)數(shù)列的前項和為,令,稱為數(shù)列,,…,的理想數(shù).已知,,,…, 的理想數(shù)為2004,那么數(shù)列,,,…, 的理想數(shù)為 ( )
A 2005 B 2006 C 2007 D2008
12.已知定義域為R的奇函數(shù)的導函數(shù)為,當時,,
4、若,則的大小關(guān)系正確的是( )
A. B. C. D.
第II卷
本卷包括必考題和選考題兩部分。第13第21必考題,每個試題考生都必須作答。第22,23,24考生根據(jù)要求作答。
二、填空題(本大題共4個小題,每小題5分,共20分,把答案填在題中橫線上)
13. 若變量,滿足約束條件 則的最大值為 .
時速(km/h)
001
002
003
004
組距
40
50
60
70
80
頻率
O
14.已知有若干輛汽車通過某一段公路,從中抽取
輛汽車進行測速分析,其時速的頻率分布直
方圖如圖所示,則時速
5、在區(qū)間上的汽車大
約有輛 .
主視圖
俯視圖
3
2
2
2
2
側(cè)視圖
15. 某幾何體的三視圖如圖所示,則這個幾何體的體積是 .
16. 某公司購買一批機器投入生產(chǎn),據(jù)市場分析每臺機器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤(萬元)與機器運轉(zhuǎn)時間(年數(shù),)的關(guān)系為.則當每臺機器運轉(zhuǎn)
年時,年平均利潤最大,最大值是萬元.
三.解答題(解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟).
17.如圖,在直角坐標系中,點是單位圓上的動點,過點作軸的垂線與射線交于點.記,且.
(Ⅰ)若,求;
6、
(Ⅱ)求的最小值.
18.(本小題滿分12分)
2004年世界衛(wèi)生組織、聯(lián)合國兒童基金會等權(quán)威機構(gòu)將青蒿素作為一線抗瘧藥品推廣. 2015年12月10日,我國科學家屠呦呦教授由于在發(fā)現(xiàn)青蒿素和治療瘧疾的療法上的貢獻獲得諾貝爾醫(yī)學獎. 目前,國內(nèi)青蒿人工種植發(fā)展迅速.
某農(nóng)科所為了深入研究海拔因素對青蒿素產(chǎn)量的影響,在山上和山下的試驗田中分別種植了100株青蒿進行對比試驗. 現(xiàn)在從山上和山下的試驗田中各隨機選取了4株青蒿作為樣本, 每株提取的青蒿素產(chǎn)量(單位:克)如下表所示:
①
②
③
④
山上
5.0
3.8
3.6
3.6
山下
3.6
4.4
7、
4.4
3.6
(Ⅰ)根據(jù)樣本數(shù)據(jù),試估計山下試驗田青蒿素的總產(chǎn)量;
(Ⅱ)記山上與山下兩塊試驗田單株青蒿素產(chǎn)量的方差分別為,,根據(jù)樣本數(shù)據(jù), 試估計與
的大?。ㄖ恍鑼懗鼋Y(jié)論);
(Ⅲ)從樣本中的山上與山下青蒿中各隨機選取1株,記這2株的產(chǎn)量總和為,求隨機變量的分布列和數(shù)學期望.
19.(本小題滿分12分)
如圖,四邊形是梯形,,,四邊形為矩形,已知,,,.
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)若,求平面與平面所成的銳二面角的余弦值;
A
B
C
D
D1
C1
(Ⅲ)設(shè)為線段上的一個動點(端點除外),判斷直線與直線能否垂直?并說明理由.
20
8、. (本題滿分12分)
已知函數(shù).
(Ⅰ)求曲線在點處的切線方程;
(Ⅱ)求函數(shù)的零點和極值;
(Ⅲ)若對任意,都有成立,求實數(shù)的最小值.
21. (本小題12分)
已知橢圓的離心率為,且過點,為其右焦點.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)過點的直線與橢圓相交于、兩點(點在兩點之間),若與的面積相等,試求直線的方程.
(本小題滿分10)請考生在(22)、(23)、(24)三題中任選一題作答,如果多做,則按所做第一個題目計分,做答時,請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑。
22.選修4-1:幾何證明選講(本小題滿分10分)
已知:如圖,⊙O的內(nèi)接△ABC
9、中,∠BAC=45,∠ABC =15,AD∥OC并交BC的延長線于D,OC交AB于E.
(Ⅰ)求∠D的度數(shù);
(Ⅱ)求證:;
(Ⅲ)求值.
23.選修4-4:極坐標參數(shù)方程選講
分別在下列兩種情況下,把參數(shù)方程化為普通方程:
(Ⅰ)為參數(shù),為常數(shù);
(Ⅱ)為參數(shù),為常數(shù);
24.選修4—5:不等式選講(本小題滿分10分)
已知,求證:
全國卷W科數(shù)學模擬試題二參考答案
第Ⅰ卷
一、 選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分.
1-5 DACDB;2-10 DCADA 11-12 CC
二、 填空題:本大題共4小題,
10、每小題5分,共20分.
三、解答題:本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或推證過程.
17.(Ⅰ)解:依題意,所以.
因為,且,所以.
所以.
(Ⅱ)解:由三角函數(shù)定義,得,從而.
所以
. 因為,所以 ,
所以當,即時,取得最小值.
18解: (I)由山下試驗田4株青蒿樣本青蒿素產(chǎn)量數(shù)據(jù),得樣本平均數(shù)
…………………2分
則山
11、下試驗田株青蒿的青蒿素產(chǎn)量估算為
g …………………3分
(Ⅱ)比較山上、山下單株青蒿素青蒿素產(chǎn)量方差和,結(jié)果為.
…………………6分
(Ⅲ)依題意,隨機變量可以取,
,
,
, …………………8分
7.2
7.4
8
8.2
8.6
9.4
p
隨機變量的分布列為
12、
隨機變量的期望.
19.(本小題滿分12分)
(Ⅰ)證明:由為矩形,得,
又因為平面,平面,
所以平面,
同理平面,
又因為,
所以平面平面,
又因為平面,
所以平面. ………… 3分
(Ⅱ)解:由平面中,,,得,
又因為,,
所以平面,所以,
又
13、因為四邊形為矩形,且底面中與相交一點,
所以平面,因為,所以平面.
過在底面中作,所以兩兩垂直,以分
別為軸、軸和軸,如圖建立空間直角坐標系, …5
則,,,,,,
所以,.
A
B
C
D
D1
C1
P
y
x
z
設(shè)平面的一個法向量為,
由,,得
令,得. ………………8分
易得平面的法向量.
所以.
即平面與平面所成的銳二面角的余弦值為. ………………8
(Ⅲ)結(jié)論:直線與不可能垂直.
證明:設(shè),,
由
14、,,,,
得,,,,
. … 若,則,即,
因為,
所以,解得,這與矛盾.
所以直線與不可能垂直. ……12分
20.解:(Ⅰ)因為,所以.
因為,所以曲線在處的切線方程為.……………………..3分
(Ⅱ)令,解得,
所以的零點為.
由解得,
則及的情況如下:
2
15、
0
極小值
……………………….7分
所以函數(shù)在 時,取得極小值……………………….7分
(Ⅲ)法一:
當時,.
當時,.
若,由(Ⅱ)可知的最小值為,的最大值為,所以“對任意,有恒成立”等價于
即,
解得. 所以的最小值為1. …….12分
法二:
當時,.
當時,.
且由(Ⅱ)可知,的最小值為,
若,令,則
而,不符合要求,
所以.
16、
當時,,
所以,即滿足要求,
綜上,的最小值為1. ……………………….12分
法三:
當時,.
當時,.
且由(Ⅱ)可知,的最小值為,
若,即時,
令則任取,
有
所以對成立,
所以必有成立,所以,即.
而當時,,
所以,即滿足要求,
而當時,求出的的值,顯然大于1,
綜上,的最小值為1. ……………………….12分
21(本小題滿分12分)
17、解:(Ⅰ)因為,所以,. 設(shè)橢圓方程為,又點在橢圓上,所以,解得, 所以橢圓方程為.
(Ⅱ)易知直線的斜率存在,
設(shè)的方程為, 由消去整理,得
, ………………………………………………6分
由題意知,
解得. ……………………………………………………………………7分
設(shè),,則,①,.…②.
因為與的面積相等,
所以,所以.③……………………………………9分
由①③消去得.④
將代入②得.⑤
將④代入⑤,
整理化簡得,解得,經(jīng)檢驗成立.
所以直線的方程為. …………………………12分
圖3
22(本小題滿分10分)(Ⅰ)解:
18、如圖3,連結(jié)OB.
∵ ⊙O的內(nèi)接△ABC中,∠BAC=45,
∴ ∠BOC=2∠BAC =90.
∵ OB=OC,∴ ∠OBC=∠OCB=45.
∵ AD∥OC,∴ ∠D =∠OCB=45.
(Ⅱ)證明:∵ ∠BAC=45,∠D =45,
∴ ∠BAC=∠D.
∵ AD∥OC,∴ ∠ACE=∠DAC .
圖4
∴ △ACE∽△DAC .
∴ . ∴ .
(Ⅲ)解法一:如圖4,延長BO交DA的延長線于F,連結(jié)OA.
∵ AD∥OC,∴ ∠F=∠BOC=90.
∵ ∠ABC =15,
∴ ∠OBA =∠OBC-∠ABC =30.
∵ OA = OB,
19、∴ ∠FOA=∠OBA+∠OAB =60,∠OAF =30.
∴ .∵ AD∥OC,∴ △BOC ∽△BFD .
∴ .∴ ,即的值為2.
解法二:作OM⊥BA于M,設(shè)⊙O的半徑為r,可得BM=,OM=,,,BE=,AE=,所以.
23.(本小題滿分10分)
解:(Ⅰ)當時,,即;
當時,
而,即
(Ⅱ)當時,,,即;
當時,,,即;
當時,得,即
得
即。
24證明:
24.選修4—5;不等式選講(本小題滿分10分)
已知>0,求證:
證明:
又∵>0,∴>0,,
∴
∴ ∴
13