《專(zhuān)題測(cè)試練習(xí)題 正余弦定理及其應(yīng)用》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《專(zhuān)題測(cè)試練習(xí)題 正余弦定理及其應(yīng)用（27頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、專(zhuān)題07 正余弦定理及其應(yīng)用 【自主熱身,歸納總結(jié)】 1、在△ABC中,設(shè)a,b,c分別為角A,B,C的對(duì)邊,若a＝5,A＝,cosB＝,c＝________. 【答案】： 7 【解析】：因?yàn)閏osB＝,所以B∈(0,),從而sinB＝,所以sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝×＋×＝,又由正弦定理得＝,即＝,解得c＝7. 2、在△ABC中,已知AB＝1,AC＝,B＝45°,則BC的長(zhǎng)為_(kāi)_______． 【答案】： 【解析】：在△ABC中,已知c＝1,b＝,B＝45°,由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB,得a2－a－1＝0.因?yàn)閍>0,

2、所以a＝,即BC＝. 已知兩條邊以及一個(gè)角,研究第三邊的問(wèn)題的本質(zhì)是三邊一角,所以應(yīng)用余弦定理是最直接的方法,它要比應(yīng)用正弦定理來(lái)得方便、快捷． 3、 在△中,若,則的值為 ． 【答案】 【解析】由正弦定理得,,不妨設(shè) 則由余弦定理得. 【課本探源】（必修5第26頁(yè)第10題）在三角形中,若則角等于 4、在銳角△ABC中,,．若△ABC的面積為,則的長(zhǎng)是 ． 【答案】、 【解析】： 因?yàn)?由,解得,因?yàn)槭窃阡J角中,所以（或求出銳角,再求）,在銳角中,由余弦定理得：,所以,即. 5、在△中,已知,,且的面積為,則邊長(zhǎng)為 ．

3、 【答案】：7 6、在△ABC中,已知角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.若bsinAsinB＋acos2B＝2c,則的值為_(kāi)_______． 【答案】：. 2 【解析】：由正弦定理得,sinBsinAsinB＋sinAcos2B＝2sinC,即sinA(sin2B＋cos2B)＝2sinC,即sinA＝2sinC,再由正弦定理得,＝＝2. 7、在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若,,則 ． .【答案】：4 【思路分析】本題第一步應(yīng)將的條件化成正余弦的等式；第二步由于本題求是的三角形邊長(zhǎng),所以將三角函數(shù)值等式轉(zhuǎn)化為邊長(zhǎng)的等式；第三步：再結(jié)合解方程組即

4、可. 【解析】：解法一：由可得：,即, 所以有,即 由正、余弦定理可得：,即,又 所以,即. 解法二：也可在, 用余弦定理可得,解得,下同解法一. 8、 在△ABC中,角A,B,C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a,b,c.已知a＋c＝2b,sinB＝sinC,則cosA＝________. 【答案】 【解析】：由sinB＝sinC得b＝c.又因?yàn)閍＋c＝2b,所以a＝c,因此cosA＝＝＝ 9、設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知＝,則cosA＝________． 【答案】、 10、設(shè)△的內(nèi)角,,的對(duì)邊分別是,且滿(mǎn)足,則 ▲ ． 【答案】;. 4

5、 解法1（正弦定理） 根據(jù)正弦定理可得, 即, 又因?yàn)? 所以 又因?yàn)?所以 所以,則 解法2（射影定理） 因?yàn)榧翱傻?,注意到,兩式相除可得,再由正弦定理可得 解后反思：解三角形問(wèn)題中若等式既有三角函數(shù)又有邊,則可以考慮利用正弦定理或余弦定理轉(zhuǎn)化為只含有邊或只含有三角函數(shù)的等式處理.解法2則利用了三角形中的射影定理（教材必修5p17練習(xí)5）結(jié)合條件整體處理. 11、在△ABC中,BC=,AC=1,以AB為邊作等腰直角三角形ABD（B為直角頂點(diǎn),C、D兩點(diǎn)在直線AB的兩側(cè)）．當(dāng)變化時(shí),線段CD長(zhǎng)的最大值為 ． 【答案】3 思路分析 要求的長(zhǎng),只需將表示為的函數(shù)形式,

6、然后應(yīng)用三角函數(shù)知識(shí)來(lái)求它的最大值則可,因此在中應(yīng)用余弦定理可得 ,再在中分別應(yīng)用正弦定理、余弦定理得 及,故 ,由此可得結(jié)果． 【解析】：在中,由正弦定理得,由余弦定理得．在中,由余弦定理得 ,故 ,即． 【問(wèn)題探究,變式訓(xùn)練】 例1、.如圖,在△ABC中,D是BC上的一點(diǎn)．已知∠B＝60°,AD＝2,AC＝,DC＝,則AB＝________. 【答案】 【解析】：在△ACD中,因?yàn)锳D＝2,AC＝,DC＝,所以cos∠ADC＝＝－,從而∠ADC＝135°,所以∠ADB＝45°.在△ADB中,＝,所以AB＝＝ 【變式1】、

7、如圖,在△ABC中,AB＝3,AC＝2,BC＝4,點(diǎn)D在邊BC上,∠BAD＝45°,則tan∠CAD的值為_(kāi)_______． 【答案】 【解析】： 從構(gòu)造角的角度觀察分析,可以從差的角度(∠CAD＝∠A－45°),也可以從和的角度(∠A＝∠CAD＋45°),所以只需從余弦定理入手求出∠A的正切值,問(wèn)題就迎刃而解了． 解法1 在△ABC中,AB＝3,AC＝2,BC＝4,由余弦定理可得cosA＝＝－,所以tanA＝－,于是tan∠CAD＝tan(A－45°)＝＝. 解法2 由解法1得tanA＝－.由tan(45°＋∠CAD)＝－得＝－,即＝－,解得tan∠CAD＝. 【變式2】、A

8、 B C D (第15題) 如圖,在中,已知點(diǎn)在邊上,,,,． （1）求的值； （2）求的長(zhǎng)． 【解析】：（1）在中,,, 所以． 同理可得,． 所以 ． 【變式3】、如圖,在梯形ABCD中,已知AD∥BC,AD＝1,BD＝2,∠CAD＝,tan∠ADC＝－2. (1) 求CD的長(zhǎng)； (2) 求△BCD的面積． 【解析】： (1)因?yàn)閠an∠ADC＝－2,且∠ADC∈(0,π),所以sin∠ADC＝,cos∠ADC＝－. 所以sin∠ACD＝sin ＝sin ＝sin∠ADC·cos＋cos∠

9、ADC·sin ＝,(6分) 在△ADC中,由正弦定理得CD＝＝ (2) 因?yàn)锳D∥BC, 所以cos∠BCD＝－cos∠ADC＝,sin∠BCD＝sin∠ADC＝ 在△BDC中,由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos∠BCD, 得BC2－2BC－35＝0,解得BC＝7, (12分) 所以S△BCD＝BC·CD·sin∠BCD＝×7××＝7. 【變式4】、如圖,在四邊形ABCD中,已知AB＝13,AC＝10,AD＝5,CD＝,·＝50. (1) 求cos∠BAC的值； (2) 求sin∠CAD的值； (3) 求△BAD的面積． 【解析】： (1

10、) 因?yàn)椤ぃ絚os∠BAC, 所以cos∠BAC＝＝＝. (2) 在△ADC中,AC＝10,AD＝5,CD＝. 由余弦定理,得cos∠CAD＝＝＝. 因?yàn)椤螩AD∈(0,π),所以sin∠CAD＝＝＝. (3) 由(1)知,cos∠BAC＝. 因?yàn)椤螧AC∈(0,π), 所以sin∠BAC＝＝＝. 從而sin∠BAD＝sin(∠BAC＋∠CAD) ＝sin∠BACcos∠CAD＋cos∠BACsin∠CAD ＝×＋×＝. 所以S△BAD＝AB·AD·sin∠BAD＝×13×5× ＝28. 【關(guān)聯(lián)1】、中,點(diǎn)在邊上,且,::＝:k:,則實(shí)數(shù)k的取值范圍為

11、 ． 【答案】：(,) 【解析】：解法一：因?yàn)镈C＝2BD,所以有,即,所以有 ,又AB∶AD∶AC＝3∶k∶1,可設(shè), 所以,即,所以. 【關(guān)聯(lián)2】、 在△ABC中,已知AC＝3,∠A＝45°,點(diǎn)D滿(mǎn)足＝2,且AD＝,則BC的長(zhǎng)為_(kāi)_______． 【答案】3 【解析】： 由＝2可得點(diǎn)D為線段CB上靠近點(diǎn)B的一個(gè)三等分點(diǎn),作CE⊥AB,DF⊥AB,在Rt△ACE中先求出AE＝CE＝,再在Rt△BCE中根據(jù)＝求出DF＝,進(jìn)而求出AF＝,EF＝,FB＝,然后根據(jù)勾股定理或余弦定理求BC的長(zhǎng)度即可． 如圖,過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分別為E,F.在Rt△AC

12、E中,因?yàn)锳C＝3,∠A＝45°,所以AE＝CE＝.因?yàn)椋?,所以＝＝,從而DF＝CE＝.在Rt△ADF中,AD＝,所以AF＝＝ ＝,EF＝AF－AE＝－＝.因?yàn)椋?,所以＝＝,從而B(niǎo)F＝EF＝,BE＝BF＋EF＝. 解法1 在Rt△BCE中,BC＝＝＝3. 解法2 所以AB＝＋＝3,所以在△ABC中,由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos∠BAC,所以BC2＝9＋18－2×3×3×＝9,所以BC＝3. 【關(guān)聯(lián)3】、. 在△ABC中,D為邊AC上一點(diǎn),AB＝AC＝6,AD＝4,若△ABC的外心恰在線段BD上,則BC＝________. 【答案】3 【解析】： 本題

13、要求BC的長(zhǎng),關(guān)鍵是要求出∠BAC,找出線段的比例關(guān)系,建立方程,從而求出BC的長(zhǎng)． 解法2 如圖2,設(shè)∠BAC＝2α,外接圓的半徑為R,由S△ABO＋S△ADO＝S△ABD,得·6Rsinα＋·4Rsinα＝·6·4sin2α,化簡(jiǎn)得24cosα＝5R.在Rt△AFO中,Rcosα＝3,聯(lián)立解得R＝,cosα＝,所以sinα＝,所以BC＝2BE＝2ABsinα＝12×＝3. 圖1 圖2 圖3 解法3 如圖3,延長(zhǎng)AO交BC于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)D作BC的垂線,垂足為F,則＝＝,＝＝.又DF∥AE,則＝＝,所以＝.設(shè)OE＝x,則AE＝5x,所以O(shè)B＝OA＝4x,所以BE＝x.又因?yàn)?5x2＋1

14、5x2＝36,所以x＝3,所以BC＝2BE＝3. 例2、 在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若a2＝3b2＋3c2－2bcsinA,則C＝________. 【答案】. 【解析】：因?yàn)閍2＝3b2＋3c2－2bcsinA＝b2＋c2－2bccosA,所以＝sinA－cosA＝2sin. 又＝＋≥2＝2(當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時(shí)取等號(hào)),2sin≤2當(dāng)且僅當(dāng)A＝時(shí)取等號(hào),故＝2sin＝2,所以b＝c,A＝,故C＝. 解后反思 本題中對(duì)所得條件“＝sinA－cosA”出現(xiàn)無(wú)法轉(zhuǎn)化的現(xiàn)象．這里需要借助三角函數(shù)有界性以及基本不等式得到兩個(gè)方程求出b,c,A. 【變式1】、 在△A

15、BC中,已知AB＝,C＝,則·的最大值為_(kāi)_______． 【答案】：. 【解析】：因?yàn)锳B＝,C＝,設(shè)角A,B,C所對(duì)的邊為a,b,c,所以由余弦定理得3＝a2＋b2－2abcos＝a2＋b2－ab≥ab,當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí)等號(hào)成立,又·＝abcosC＝ab,所以當(dāng)a＝b＝時(shí),(·)max＝. 【變式2】、 在△ABC中,A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若a2＋b2＋2c2＝8,則△ABC面積的最大值為_(kāi)_______． 【答案】： 【解析】：思路分析1 注意到a2＋b2＋2c2＝8中a,b是對(duì)稱(chēng)的,因此,將三角形的面積表示為S＝absinC,利用余弦定理將ab表示為C的形

16、式,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)來(lái)求它的最值． 思路分析2 將c看作定值,這樣,滿(mǎn)足條件的三角形就有無(wú)數(shù)個(gè),從而來(lái)研究點(diǎn)C所滿(mǎn)足的條件,為此,建立直角坐標(biāo)系,從而根據(jù)條件a2＋b2＋2c2＝8得到點(diǎn)C的軌跡方程,進(jìn)而來(lái)求出邊AB上的高的所滿(mǎn)足的條件． 解法1 因?yàn)閏osC＝＝＝≥,所以ab≤,從而S＝absinC≤.設(shè)t＝,則3t＝2sinC＋2tcosC＝2·sin(C＋φ),其中tanφ＝t,故3t≤2,解得t≤,所以Smax＝,當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝且tanC＝時(shí),等號(hào)成立． 解法2 以AB所在的直線為x軸,它的垂直平分線為y軸,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,則A,B,C(x,y),則由a2＋b2＋2

17、c2＝8得2＋y2＋2＋y2＋2c2＝8,即x2＋y2＝4－,即點(diǎn)C在圓x2＋y2＝4－上,所以S≤r＝＝·≤,當(dāng)且僅當(dāng)c2＝時(shí)取等號(hào),故Smax＝. 解法3 設(shè)AD＝m,BD＝n,CD＝h,由a2＋b2＋2c2＝8,得m2＋h2＋n2＋h2＋2(m＋n)2＝8≥(m＋n)2＋2h2＋2(m＋n)2＝(m＋n)2＋2h2≥2(m＋n)h,當(dāng)且僅當(dāng)h＝m＝n時(shí)取等號(hào),所以S＝(m＋n)h≤×＝,所以面積的最大值為. 解法4 由余弦定理a2＋b2－c2＝2abcosC,結(jié)合a2＋b2＋2c2＝8,得8－3c2＝2abcosC,由三角形面積公式得4S＝2absinC,兩式平方相加得,(8－3c2

18、)2＋16S2＝4a2b2≤(a2＋b2)2＝(8－2c2)2,即16S2≤c2(16－5c2)≤,所以S2≤,所以S≤,當(dāng)且僅當(dāng)a＝b,c2＝時(shí)取等號(hào),所以面積的最大值為. 解后反思 解法1是從將面積表示為角C的形式來(lái)加以思考的,而解法2則是將面積表示為邊c的形式來(lái)加以思考的．這兩種解法都基于一點(diǎn),即等式a2＋b2＋2c2＝8中的a,b是對(duì)稱(chēng)關(guān)系．解法2則是從運(yùn)動(dòng)變化的角度來(lái)加以思考的,這體現(xiàn)了三角函數(shù)與【解析】幾何之間的千絲萬(wàn)鏤的關(guān)系．解法1是一種常規(guī)的想法,是必須要認(rèn)真體會(huì)的,而解法2就需要學(xué)生能充分地認(rèn)識(shí)知識(shí)與知識(shí)之間的聯(lián)系．本題對(duì)學(xué)生的知識(shí)的應(yīng)用要求、思考問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的

19、能力要求都比較高． 【關(guān)聯(lián)】、如圖,某生態(tài)園將三角形地塊ABC的一角APQ開(kāi)辟為水果園種植桃樹(shù),已知角A為120°,AB,AC的長(zhǎng)度均大于200 m,現(xiàn)在邊界AP,AQ處建圍墻,在PQ處圍竹籬笆． (1) 若圍墻AP,AQ的總長(zhǎng)度為200 m,如何圍可使得三角形地塊APQ的面積最大？ (2) 已知AP段圍墻高1 m,AQ段圍墻高1.5 m,造價(jià)均為每平方米100元．若圍圍墻用了20 000元,問(wèn)如何圍可使竹籬笆用料最?。? 【解析】：(1) 設(shè)AP＝x m,AQ＝y(tǒng) m,則x＋y＝200,x>0,y>0. △APQ的面積S＝xysin120°＝xy. 因?yàn)閤y≤2＝10 000,

20、當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝100時(shí)取等號(hào)． 所以當(dāng)AP＝AQ＝100 m時(shí),可使三角形地塊APQ的面積最大． (2) 由題意得100×(1·x＋1.5·y)＝20 000,即x＋1.5y＝200 在△APQ中,PQ2＝x2＋y2－2xycos120°＝x2＋y2＋xy. 即PQ2＝(200－1.5y)2＋y2＋(200－1.5y)y＝y(tǒng)2－400y＋40 000,其中0

21、1) 求C的大小； (2) 若b＝2a,且△ABC的面積為2,求c. 【解析】： (1) 由正弦定理＝＝,且bcosA＋acosB＝－2ccosC得,(2分) sinBcosA＋sinAcosB＝－2sinCcosC,所以sin(B＋A)＝－2sinCcosC.(3分) 又A,B,C為三角形內(nèi)角,所以B＋A＝π－C, 所以sinC＝－2sinCcosC.(4分) 因?yàn)镃∈(0,π),所以sinC>0.(5分) 所以cosC＝－,(6分) 所以C＝π.(7分) (2) 因?yàn)椤鰽BC的面積為2,所以absinC＝2,所以ab＝.(8分) 由(1)知C＝π,所以sinC＝,所以a

22、b＝8.(9分) 又因?yàn)閎＝2a,解得a＝2,b＝4, 所以c2＝a2＋b2－2abcosC＝22＋42－2×2×4×＝28,(13分) 所以c＝2.(14分) 對(duì)于三角函數(shù)問(wèn)題,在解題中要注意解題的規(guī)范性、嚴(yán)謹(jǐn)性,否則,就會(huì)因?yàn)榻忸}不規(guī)范而導(dǎo)致失分．一般地,要注意以下幾個(gè)方面：一是在應(yīng)用三角公式時(shí),要注意展示公式的過(guò)程；二是在等式兩邊同除以一個(gè)代數(shù)式時(shí),要注意判斷它是否為0；三是在研究角的關(guān)系時(shí),要注意角的范圍． 【變式1】、在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且cosA＝,tan(B－A)＝. (1) 求tanB的值； (2) 若c＝13,求△ABC的面積．

23、 【解析】：(1) 在△ABC中,由cosA＝,得A為銳角,所以sinA＝＝, 所以tanA＝＝, 所以tanB＝tan[(B－A)＋A]＝ ＝＝3. (2) 在△ABC中,由tanB＝3, 得sinB＝,cosB＝.(8分) 所以sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝. 由正弦定理＝,得b＝＝＝15, 所以△ABC的面積S＝bcsinA＝×15×13×＝78. 【變式2】、在△ABC中,已知角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且tanB＝2,tanC＝3. (1) 求角A的大??； (2) 若c＝3,求b的長(zhǎng)． 【解析】： (1) 因?yàn)閠a

24、nB＝2,tanC＝3,A＋B＋C＝π, 所以tanA＝tan[π－(B＋C)]＝－tan(B＋C) ＝－＝－＝1. 又A∈(0,π),所以A＝. (2) 因?yàn)閠anB＝＝2,且sin2B＋cos2B＝1, 又B∈(0,π),所以sinB＝. 同理可得sinC＝. 由正弦定理,得b＝＝＝2. 【變式3】、在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab. (1) 求角C的大??； (2) 若c＝2acosB,b＝2,求△ABC的面積． 【解析】(1) 在△ABC中,由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab,得＝－,即cosC＝－因?yàn)?

25、<π,所以C＝. (2) 解法1 因?yàn)閏＝2acosB,由正弦定理,得 sinC＝2sinAcosB 因?yàn)锳＋B＋C＝π,所以sinC＝sin(A＋B), 所以sin(A＋B)＝2sinAcosB,即sinAcosB－cosAsinB＝0,即sin(A－B)＝0, 又－

26、余弦定理得到C的大小后,考慮到將c＝2acosB單純化為邊或角時(shí),需要注意三角公式的靈活應(yīng)用以減少計(jì)算量． 【關(guān)聯(lián)1】、在△ABC中,三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且滿(mǎn)足＝2cosC. (1) 求角C的大??； (2) 若△ABC的面積為2,a＋b＝6,求邊c的長(zhǎng)． 【解析】思路分析 對(duì)于等式＝2cosC的化簡(jiǎn),有兩條思路： (1) (用余弦定理)角化邊,得三邊的關(guān)系式,再用余弦定理求角C； (2) (用正弦定理)邊化角,得三角的關(guān)系式,再用三角恒等變形,得C的某三角函數(shù)值,求角C. 思路1重點(diǎn)是代數(shù)變形；思路2重點(diǎn)是三角公式的運(yùn)用． 另外,因?yàn)樽罱K是求角C的大小,

27、可考慮先不動(dòng)2cosC. 規(guī)范解答 (1) 解法1 在△ABC中,由余弦定理,得 acosB＋bcosA＝＋＝c,(3分) 所以cosC＝.(5分) 解法2 在△ABC中,由正弦定理,得 ＝＝＝＝1, 所以cosC＝. 因?yàn)镃∈(0,π),所以C＝ (2) 由(1)知,S△ABC＝absinC＝ab＝2,所以ab＝8. 由余弦定理,得c2＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝36－24＝12. 因?yàn)閏>0,所以c＝2. 解后反思 在△ABC中,結(jié)論c＝acosB＋bcosA稱(chēng)為“一般三角形射影定理”．其幾何意義(也是記憶方法)是：三角形一邊的長(zhǎng)度等于另兩邊在這條邊上的

28、射影之和． 【關(guān)聯(lián)2】、在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,已知c＝2,C＝. (1) 若△ABC的面積等于,求a,b； (2) 若sin C＋sin(B－A)＝2sin 2A,求△ABC的面積. 【解析】 (1) 由余弦定理及已知條件得a2＋b2－ab＝4 又因?yàn)椤鰽BC的面積等于,所以absinC＝,得ab＝4. 聯(lián)立方程組解得a＝2,b＝2. 【關(guān)聯(lián)3】、在斜三角形ABC中,tanA＋tanB＋tanAtanB＝1. (1) 求C的值； (2) 若A＝15°,AB＝,求△ABC的周長(zhǎng)． 【解析】 (1) 解法1 因?yàn)閠anA＋tanB＋tan

29、AtanB＝1,即tanA＋tanB＝1－tanAtanB, 因?yàn)樵谛比切蜛BC中,1－tanAtanB≠0, 所以tan(A＋B)＝＝1, 即tan(180°－C)＝1,即tanC＝－1, 因?yàn)?°

30、得 ＝＝＝2, 故BC＝2sin15°＝2sin(45°－30°)＝2(sin45°cos30°－cos45°sin30°)＝, CA＝2sin30°＝1. 所以△ABC的周長(zhǎng)為AB＋BC＋CA＝＋1＋＝. 易錯(cuò)警示 第1問(wèn)中容易在兩個(gè)地方不規(guī)范而導(dǎo)致失分,一是不說(shuō)明1－tanAtanB≠0而扣分；二是由tanC＝－1,不說(shuō)明角度范圍而扣分． 例4、已知△ABC的面積為S,且·＝S. (1) 求sinA； (2) 若||＝3,|－|＝2,求sinB. 【解析】： (1) 設(shè)△ABC中角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c. 因?yàn)椤鰽BC的面積為S,且·＝S,所以bccosA＝

31、×bcsinA, 所以sinA＝cosA, 所以A為銳角,且sin2A＋cos2A＝sin2A＋sin2A＝sin2A＝1, 所以sinA＝. (2) 因?yàn)閨|＝c＝3,|－|＝＝a＝2, 由正弦定理得＝,即＝, 所以sinC＝. 又因?yàn)閏

32、△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且sinA＋cos2＝1,D為BC上一點(diǎn),且＝＋. (1) 求sinA的值； (2) 若a＝4,b＝5,求AD的長(zhǎng)． 【解析】 (1) 因?yàn)閟inA＋cos2＝1, 所以sinA＋＝1,即2sinA－cosA＝1, 所以(2sinA－1)2＝cos2A,即5sin2A－4sinA＝0. 因?yàn)锳∈(0,π),所以sinA＞0, 所以sinA＝,cosA＝. (2) 在△ABC中,a2＝b2＋c2－2bccosA, 所以32＝25＋c2－2×5c×,即c2－6c－7＝0,解得c＝7 因?yàn)椋剑? 所以2＝c2＋b2＋bccos

33、A＝＋×25＋×7×5×＝25, 所以AD＝5 【變式2】、在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知bcosC＋ccosB＝2acosA. (1) 求角A的大??； (2) 若·＝,求△ABC的面積． 【解析】1) 解法1 在△ABC中,由正弦定理及bcosC＋ccosB＝2acosA, 得sinBcosC＋sinCcosB＝2sinAcosA, 即sinA＝2sinAcosA, 因?yàn)锳∈(0,π),所以sinA≠0,所以cosA＝, 所以A＝. 解法2 在△ABC中,由余弦定理及bcosC＋ccosB＝2acosA,得 b·＋c·＝2a·, 所以a2＝b2

34、＋c2－bc, 所以cosA＝＝, 因?yàn)锳∈(0,π),所以A＝. (2) 由·＝cbcosA＝,得bc＝2, 所以△ABC的面積為 S＝bcsinA＝×2sin60°＝. 【變式3】、已知向量m＝(cosA,－sinA),n＝(cosB,sinB),m·n＝cos2C,其中A,B,C為△ABC的內(nèi)角． (1) 求角C的大??； (2) 若AB＝6,且·＝18,求AC,BC的長(zhǎng)． 【解析】(1) 因?yàn)閙·n＝cosAcosB－sinAsinB＝cos(A＋B)＝－cosC, 所以－cosC＝cos2C,即2cos2C＋cosC－1＝0 故cosC＝或cosC＝－1(舍)．

35、 又0

36、),所以2A＝2C或2A＋2C＝π,從而A＝C(舍去)或A＋C＝,所以B＝.(4分) 在Rt△ABC中,tanA＝＝,A＝.(6分) (2) 因?yàn)閙·n＝3bsinB,所以acosC＋ccosA＝3bsinB. 由正弦定理,得sinAcosC＋sinCcosA＝3sin2B,從而sin(A＋C)＝3sin2B. 因?yàn)锳＋B＋C＝π,所以sin(A＋C)＝sinB.從而sinB＝.(8分) 因?yàn)閏osA＝>0,A∈(0,π),所以A∈,sinA＝.(10分) 因?yàn)閟inA>sinB,所以a>b,從而A>B,B為銳角,cosB＝.(12分) 所以cosC＝－cos(A＋B)＝－cos

37、AcosB＋sinAsinB＝ －×＋×＝.(14分) 【關(guān)聯(lián)1】、已知△ABC的面積為S,且||2＝·＋2S. (1) 求B的大小； (2) 若S＝,且|－|＝1,試求△ABC最長(zhǎng)邊的長(zhǎng)度． 設(shè)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c.因?yàn)閨|2＝·＋2S,所以a2＝ba·cosC＋ab·sinC,(2分) 所以a＝b·cosC＋b·sinC. 由正弦定理得sinA＝sinBcosC＋sinBsinC.(4分) 在△ABC中,sinA＝sin(B＋C),sinC≠0,B∈(0,π),(6分) 所以sinBcosC＋cosBsinC＝sinBcosC＋sinbsinC, 所以c

38、osBsinC＝sinBsinC, 所以cosB＝sinB,tanB＝1,(8分) 所以B＝.(9分) (2) 因?yàn)閎＝1,B＝,S＝, 所以＝ac·sinB.(10分) 由余弦定理得1＝a2＋c2－2ac·.(11分) 解得a＝1,c＝或a＝,c＝1.(13分) 所以最長(zhǎng)邊的長(zhǎng)度為.(14分) 【關(guān)聯(lián)2】、在△ABC中,已知·＝9,·＝－16.求： (1) AB的值； (2) 的值． 【解析】(1) 解法1 因?yàn)椤ぃ?,·＝－16,所以·－·＝9＋16＝25,即·(＋)＝25,亦即2＝25,故AB＝5.解法2 設(shè)A,B,C的對(duì)邊依次為a,b,c. 則由條件得bccosA＝9,accosB＝16. 兩式相加得c(bcosA＋acosB)＝9＋16＝25,即c2＝25,故AB＝c＝5. (7分) 解法3 設(shè)A,B,C的對(duì)邊依次為a,b,c. 則由條件得bccosA＝9,accosB＝16. 由余弦定理得(b2＋c2－a2)＝9,(c2＋a2－b2)＝16. 兩式相加得c2＝25,故AB＝c＝5. (2) ＝. 由正弦定理得＝＝ ＝＝.