高考數(shù)學(xué) 考前3個(gè)月知識方法專題訓(xùn)練 第一部分 知識方法篇 專題6 立體幾何 第26練 完美破解立體幾何的證明問題 文-人教版高三數(shù)學(xué)試題
《高考數(shù)學(xué) 考前3個(gè)月知識方法專題訓(xùn)練 第一部分 知識方法篇 專題6 立體幾何 第26練 完美破解立體幾何的證明問題 文-人教版高三數(shù)學(xué)試題》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué) 考前3個(gè)月知識方法專題訓(xùn)練 第一部分 知識方法篇 專題6 立體幾何 第26練 完美破解立體幾何的證明問題 文-人教版高三數(shù)學(xué)試題(16頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第26練 完美破解立體幾何的證明問題 [題型分析·高考展望] 立體幾何證明題是高考必考題,證明平行、垂直關(guān)系是主要題型,特別是垂直關(guān)系尤為重要.掌握判定定理、性質(zhì)定理并能靈活運(yùn)用是解題的根本.學(xué)會分析推理的方法和證明技巧是提升推理能力的關(guān)鍵,在二輪復(fù)習(xí)中,通過專題訓(xùn)練,使解立體幾何證明的能力更上一層樓,確保該類題型不失分. 體驗(yàn)高考 1.(2015·福建)若l,m是兩條不同的直線,m垂直于平面α,則“l(fā)⊥m”是“l(fā)∥α”的( ) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 答案 B 解析 m垂直于平面α,當(dāng)l?α?xí)r,也滿足l⊥m,
2、但直線l與平面α不平行,∴充分性不成立,反之,l∥α,一定有l(wèi)⊥m,必要性成立.故選B. 2.(2016·山東)已知直線a,b分別在兩個(gè)不同的平面α,β內(nèi),則“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 答案 A 解析 若直線a和直線b相交,則平面α和平面β相交;若平面α和平面β相交,那么直線a和直線b可能平行或異面或相交,故選A. 3.(2016·課標(biāo)全國甲)如圖,菱形ABCD的對角線AC與BD交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于點(diǎn)H,將△DEF沿EF折到△D
3、′EF的位置. (1)證明:AC⊥HD′; (2)若AB=5,AC=6,AE=,OD′=2,求五棱錐D′ABCFE的體積. (1)證明 由已知得AC⊥BD,AD=CD,又由AE=CF得=,故AC∥EF,由此得EF⊥HD,折后EF與HD保持垂直關(guān)系,即EF⊥HD′,所以AC⊥HD′. (2)解 由EF∥AC得==. 由AB=5,AC=6得DO=BO==4, 所以O(shè)H=1,D′H=DH=3, 于是OD′2+OH2=(2)2+12=9=D′H2, 故OD′⊥OH. 由(1)知AC⊥HD′,又AC⊥BD,BD∩HD′=H, 所以AC⊥平面BHD′,于是AC⊥OD′, 又由OD
4、′⊥OH,AC∩OH=O,所以O(shè)D′⊥平面ABC. 又由=得EF=. 五邊形ABCFE的面積S=×6×8-××3=. 所以五棱錐D′ABCFE的體積V=××2=. 4.(2016·四川)如圖,在四棱錐PABCD中,PA⊥CD,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD=AD. (1)在平面PAD內(nèi)找一點(diǎn)M,使得直線CM∥平面PAB,并說明理由; (2)證明:平面PAB⊥平面PBD. (1)解 取棱AD的中點(diǎn)M(M∈平面PAD),點(diǎn)M即為所求的一個(gè)點(diǎn),理由如下: 因?yàn)锳D∥BC,BC=AD, 所以BC∥AM,且BC=AM. 所以四邊形AMCB是平行四邊形,所以CM
5、∥AB. 又AB?平面PAB,CM?平面PAB. 所以CM∥平面PAB. (說明:取棱PD的中點(diǎn)N,則所找的點(diǎn)可以是直線MN上任意一點(diǎn)) (2)證明 由已知,PA⊥AB,PA⊥CD. 因?yàn)锳D∥BC,BC=AD,所以直線AB與CD相交, 所以PA⊥平面ABCD, 所以PA⊥BD. 因?yàn)锳D∥BC,BC=AD,M為AD的中點(diǎn),連接BM, 所以BC∥MD,且BC=MD. 所以四邊形BCDM是平行四邊形, 所以BM=CD=AD,所以BD⊥AB. 又AB∩AP=A,所以BD⊥平面PAB. 又BD?平面PBD, 所以平面PAB⊥平面PBD. 5.(2016·課標(biāo)全國丙)如圖
6、,四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M為線段AD上一點(diǎn),AM=2MD,N為PC的中點(diǎn). (1)證明:MN∥平面PAB; (2)求四面體NBCM的體積. (1)證明 由已知得AM=AD=2. 如圖,取BP的中點(diǎn)T,連接AT,TN, 由N為PC中點(diǎn)知TN∥BC,TN=BC=2. 又AD∥BC,故TN綊AM,所以四邊形AMNT為平行四邊形,于是MN∥AT. 因?yàn)锳T?平面PAB,MN?平面PAB, 所以MN∥平面PAB. (2)解 因?yàn)镻A⊥平面ABCD,N為PC的中點(diǎn), 所以N到平面ABCD的距離為PA. 如圖
7、,取BC的中點(diǎn)E,連接AE.由AB=AC=3得AE⊥BC,AE==. 由AM∥BC得M到BC的距離為, 故S△BCM=×4×=2. 所以四面體NBCM的體積 VNBCM=×S△BCM×=. 高考必會題型 題型一 空間中的平行問題 例1 如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,S是B1D1的中點(diǎn),E、F、G分別是BC、DC、SC的中點(diǎn),求證: (1)直線EG∥平面BDD1B1; (2)平面EFG∥平面BDD1B1. 證明 (1)如圖,連接SB, ∵E、G分別是BC、SC的中點(diǎn), ∴EG∥SB. 又∵SB?平面BDD1B1, EG?平面BDD1B1, ∴直線E
8、G∥平面BDD1B1. (2)連接SD, ∵F、G分別是DC、SC的中點(diǎn), ∴FG∥SD. 又∵SD?平面BDD1B1,F(xiàn)G?平面BDD1B1, ∴FG∥平面BDD1B1,由(1)知, EG∥平面BDD1B1,且EG?平面EFG, FG?平面EFG,EG∩FG=G, ∴平面EFG∥平面BDD1B1. 點(diǎn)評 證明平行關(guān)系的方法 (1)證明線線平行的常用方法: ①利用平行公理,即證明兩直線同時(shí)和第三條直線平行; ②利用平行四邊形進(jìn)行轉(zhuǎn)換; ③利用三角形中位線定理證明; ④利用線面平行、面面平行的性質(zhì)定理證明. (2)證明線面平行的常用方法: ①利用線面平行的判定定理
9、,把證明線面平行轉(zhuǎn)化為證明線線平行; ②利用面面平行的性質(zhì)定理,把證明線面平行轉(zhuǎn)化為證明面面平行. (3)證明面面平行的方法: 證明面面平行,依據(jù)判定定理,只要找到一個(gè)面內(nèi)兩條相交直線與另一個(gè)平面平行即可,從而將證明面面平行轉(zhuǎn)化為證明線面平行,再轉(zhuǎn)化為證明線線平行. 變式訓(xùn)練1 (2015·天津改編)如圖,已知AA1⊥平面ABC,BB1∥AA1,AB=AC=3,BC=2,AA1=,BB1=2,點(diǎn)E和F分別為BC和A1C的中點(diǎn). 求證:(1)EF∥平面A1B1BA; (2)平面AEA1⊥平面BCB1. 證明 (1)如圖,連接A1B,在△A1BC中,因?yàn)镋和F分別是BC和A1C的
10、中點(diǎn), 所以EF∥BA1.又因?yàn)镋F?平面A1B1BA,BA1?平面A1B1BA,所以EF∥平面A1B1BA. (2)因?yàn)锳B=AC,E為BC中點(diǎn),所以AE⊥BC,因?yàn)锳A1⊥平面ABC,BB1∥AA1,所以BB1⊥平面ABC,從而BB1⊥AE.又因?yàn)锽C∩BB1=B,所以AE⊥平面BCB1,又因?yàn)锳E?平面AEA1,所以平面AEA1⊥平面BCB1. 題型二 空間中的垂直問題 例2 如圖所示,已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,△ACD為等邊三角形,AD=DE=2AB,F(xiàn)為CD的中點(diǎn). 求證:(1)AF∥平面BCE; (2)平面BCE⊥平面CDE. 證明 (1)如圖,取C
11、E的中點(diǎn)G,連接FG,BG. ∵F為CD的中點(diǎn), ∴GF∥DE且GF=DE. ∵AB⊥平面ACD, DE⊥平面ACD, ∴AB∥DE,∴GF∥AB. 又AB=DE,∴GF=AB. ∴四邊形GFAB為平行四邊形, ∴AF∥BG. ∵AF?平面BCE,BG?平面BCE, ∴AF∥平面BCE. (2)∵△ACD為等邊三角形,F(xiàn)為CD的中點(diǎn), ∴AF⊥CD. ∵DE⊥平面ACD,AF?平面ACD, ∴DE⊥AF. 又CD∩DE=D,故AF⊥平面CDE. ∵BG∥AF,∴BG⊥平面CDE. ∵BG?平面BCE,∴平面BCE⊥平面CDE. 點(diǎn)評 (1)證明線面垂直的常用
12、方法: ①利用線面垂直的判定定理,把線面垂直的判定轉(zhuǎn)化為證明線線垂直; ②利用面面垂直的性質(zhì)定理,把證明線面垂直轉(zhuǎn)化為證明面面垂直; ③利用常見結(jié)論,如兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面,則另一條也垂直于這個(gè)平面. (2)證明面面垂直的方法: 證明面面垂直常用面面垂直的判定定理,即證明一個(gè)面過另一個(gè)面的一條垂線,將證明面面垂直轉(zhuǎn)化為證明線面垂直,一般先從現(xiàn)有直線中尋找,若圖中不存在這樣的直線,則借助中點(diǎn)、高線或添加輔助線來解決. 變式訓(xùn)練2 (2016·北京)如圖,在四棱錐PABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC. (1)求證:DC⊥平面PAC; (2)求證:平面
13、PAB⊥平面PAC; (3)設(shè)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn),在棱PB上是否存在點(diǎn)F,使得PA∥平面CEF?說明理由. (1)證明 ∵PC⊥平面ABCD,DC?平面ABCD, ∴PC⊥DC.又AC⊥DC,PC∩AC=C,PC?平面PAC,AC?平面PAC,∴DC⊥平面PAC. (2)證明 ∵AB∥CD,CD⊥平面PAC, ∴AB⊥平面PAC,又∵AB?平面PAB, ∴平面PAB⊥平面PAC. (3)解 棱PB上存在點(diǎn)F,使得PA∥平面CEF. 證明如下: 取PB的中點(diǎn)F,連接EF,CE,CF,又∵E為AB的中點(diǎn), ∴EF為△PAB的中位線, ∴EF∥PA.又PA?平面CEF, E
14、F?平面CEF,∴PA∥平面CEF. 題型三 空間中的平行、垂直綜合問題 例3 (2015·山東)如圖,三棱臺DEFABC中,AB=2DE,G,H分別為AC,BC的中點(diǎn). (1)求證:BD∥平面FGH; (2)若CF⊥BC,AB⊥BC,求證:平面BCD⊥平面EGH. 證明 (1)方法一 如圖,連接DG,設(shè)CD∩GF=M,連接MH. 在三棱臺DEF-ABC中, AB=2DE,G為AC的中點(diǎn), 可得DF∥GC,DF=GC, 所以四邊形DFCG為平行四邊形. 則M為CD的中點(diǎn), 又H為BC的中點(diǎn), 所以HM∥BD,又HM?平面FGH,BD?平面FGH, 所以B
15、D∥平面FGH. 方法二 在三棱臺DEF-ABC中,由BC=2EF,H為BC的中點(diǎn), 可得BH∥EF,BH=EF, 所以四邊形HBEF為平行四邊形, 可得BE∥HF.在△ABC中,G為AC的中點(diǎn), H為BC的中點(diǎn),所以GH∥AB. 又GH∩HF=H,AB∩BE=B, 所以平面FGH∥平面ABED. 又因?yàn)锽D?平面ABED, 所以BD∥平面FGH. (2)連接HE, 因?yàn)镚,H分別為AC,BC的中點(diǎn), 所以GH∥AB. 由AB⊥BC,得GH⊥BC. 又H為BC的中點(diǎn), 所以EF∥HC,EF=HC, 因此四邊形EFCH是平行四邊形, 所以CF∥HE.又CF⊥BC
16、,所以HE⊥BC. 又HE,GH?平面EGH,HE∩GH=H, 所以BC⊥平面EGH. 又BC?平面BCD, 所以平面BCD⊥平面EGH. 點(diǎn)評 (1)立體幾何中,要證線垂直于線,常常先證線垂直于面,再用線垂直于面的性質(zhì)易得線垂直于線.要證線平行于面,只需先證線平行于線,再用線平行于面的判定定理易得. (2)證明立體幾何問題,要緊密結(jié)合圖形,有時(shí)要利用平面幾何的相關(guān)知識,因此需要多畫出一些圖形輔助使用. (3)平行關(guān)系往往用到三角形的中位線,垂直關(guān)系往往用到三角形的高線、中線. 變式訓(xùn)練3 (2015·北京)如圖,在三棱錐V-ABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB為等邊三角
17、形,AC⊥BC且AC=BC=,O,M分別為AB,VA的中點(diǎn). (1)求證:VB∥平面MOC; (2)求證:平面MOC⊥平面VAB; (3)求三棱錐V-ABC的體積. (1)證明 因?yàn)镺,M分別為AB,VA的中點(diǎn), 所以O(shè)M∥VB, 又因?yàn)閂B?平面MOC,所以VB∥平面MOC. (2)證明 因?yàn)锳C=BC,O為AB的中點(diǎn), 所以O(shè)C⊥AB. 又因?yàn)槠矫鎂AB⊥平面ABC,且OC?平面ABC, 所以O(shè)C⊥平面VAB.又OC?平面MOC, 所以平面MOC⊥平面VAB. (3)解 在等腰直角三角形ACB中,AC=BC=, 所以AB=2,OC=1, 所以等邊三角形VAB
18、的面積S△VAB=. 又因?yàn)镺C⊥平面VAB. 所以VC-VAB=·OC·S△VAB=, 又因?yàn)槿忮FV-ABC的體積與三棱錐C-VAB的體積相等, 所以三棱錐V-ABC的體積為. 高考題型精練 1.(2016·浙江)已知互相垂直的平面α,β交于直線l.若直線m,n滿足m∥α,n⊥β,則( ) A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n 答案 C 解析 由已知,α∩β=l,∴l(xiāng)?β, 又∵n⊥β,∴n⊥l,C正確.故選C. 2.(2015·安徽)已知m,n是兩條不同直線,α,β是兩個(gè)不同平面,則下列命題正確的是( ) A.若α,β垂直于同一平面,則α與β平行
19、 B.若m,n平行于同一平面,則m與n平行 C.若α,β不平行,則在α內(nèi)不存在與β平行的直線 D.若m,n不平行,則m與n不可能垂直于同一平面 答案 D 解析 對于A,α,β垂直于同一平面,α,β關(guān)系不確定,故A錯(cuò);對于B,m,n平行于同一平面,m,n關(guān)系不確定,可平行、相交、異面,故B錯(cuò);對于C,α,β不平行,但α內(nèi)能找出平行于β的直線,如α中平行于α,β交線的直線平行于β,故C錯(cuò);對于D,若假設(shè)m,n垂直于同一平面,則m∥n,其逆否命題即為D選項(xiàng),故D正確. 3.已知α,β是兩個(gè)不同的平面,給出下列四個(gè)條件: ①存在一條直線a,a⊥α,a⊥β;②存在一個(gè)平面γ,γ⊥α,γ⊥β;
20、③存在兩條平行直線a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α;④存在兩條異面直線a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α,可以推出α∥β的是( ) A.①③ B.②④ C.①④ D.②③ 答案 C 解析 對于②,平面α與β還可以相交; 對于③,當(dāng)a∥b時(shí),不一定能推出α∥β, 所以②③是錯(cuò)誤的,易知①④正確,故選C. 4.如圖,在正方形ABCD中,E,F(xiàn)分別是BC,CD的中點(diǎn),AC∩EF=G.現(xiàn)在沿AE,EF,F(xiàn)A把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體,使B,C,D三點(diǎn)重合,重合后的點(diǎn)記為P,則在四面體P-AEF中必有( ) A.AP⊥△PEF所在平面 B.AG⊥△PEF所在平面 C
21、.EP⊥△AEF所在平面 D.PG⊥△AEF所在平面 答案 A 解析 在折疊過程中,AB⊥BE,AD⊥DF保持不變. ∴?AP⊥平面PEF. 5.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P,Q分別是AA1,A1D1,CC1,BC的中點(diǎn),給出以下四個(gè)結(jié)論: ①A1C⊥MN;②A1C∥平面MNPQ;③A1C與PM相交;④NC與PM異面.其中不正確的結(jié)論是( ) A.① B.② C.③ D.④ 答案 B 解析 作出過M,N,P,Q四點(diǎn)的截面交C1D1于點(diǎn)S,交AB于點(diǎn)R,如圖所示中的六邊形MNSPQR,顯然點(diǎn)A1,C分別位于這個(gè)平面的兩側(cè),故A1C與
22、平面MNPQ一定相交,不可能平行,故結(jié)論②不正確. 6.下列四個(gè)正方體圖形中,A,B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn),M,N,P分別為其所在棱的中點(diǎn),能得出AB∥平面MNP的圖形的序號是( ) A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 答案 B 解析 ①中易知NP∥AA′,MN∥A′B, ∴平面MNP∥平面AA′B可得出AB∥平面MNP (如圖). ④中,NP∥AB, 能得出AB∥平面MNP. 7.(教材改編)如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為DD1的中點(diǎn),則BD1與平面AEC的位置關(guān)系為________. 答案 平行 解析 連接BD,設(shè)BD∩AC=O
23、, 連接EO,在△BDD1中,O為BD的中點(diǎn), 所以EO為△BDD1的中位線, 則BD1∥EO,而BD1?平面ACE,EO?平面ACE, 所以BD1∥平面ACE. 8.如圖,已知六棱錐P-ABCDEF的底面是正六邊形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,則下列結(jié)論中: ①PB⊥AE;②平面ABC⊥平面PBC;③直線BC∥平面PAE;④∠PDA=45°. 其中正確的有________(把所有正確的序號都填上). 答案 ①④ 解析 由PA⊥平面ABC,AE?平面ABC,得PA⊥AE, 又由正六邊形的性質(zhì)得AE⊥AB,PA∩AB=A, 得AE⊥平面PAB,又PB?平面PAB
24、, ∴AE⊥PB,①正確; ∵平面PAD⊥平面ABC, ∴平面ABC⊥平面PBC不成立,②錯(cuò); 由正六邊形的性質(zhì)得BC∥AD, 又AD?平面PAD,BC?平面PAD, ∴BC∥平面PAD, ∴直線BC∥平面PAE也不成立,③錯(cuò); 在Rt△PAD中,PA=AD=2AB, ∴∠PDA=45°,④正確. 9.如圖,三棱柱ABC—A1B1C1中,側(cè)面BB1C1C為菱形,B1C的中點(diǎn)為O,且AO⊥平面BB1C1C,則B1C與AB的位置關(guān)系為________. 答案 異面垂直 解析 ∵AO⊥平面BB1C1C,∴AO⊥B1C, 又∵平面BB1C1C為菱形,∴B1C⊥BO, ∴
25、B1C⊥平面ABO,∵AB?平面ABO,∴B1C⊥AB. 10.如圖所示,在四棱錐P—ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各邊都相等,M是PC上的一動點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)M滿足________時(shí),平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫一個(gè)你認(rèn)為是正確的條件即可) 答案 DM⊥PC(或BM⊥PC,答案不唯一) 解析 ∵四邊形ABCD是菱形, ∴AC⊥BD, 又∵PA⊥平面ABCD, ∴PA⊥BD, 又AC∩PA=A, ∴BD⊥平面PAC,∴BD⊥PC. ∴當(dāng)DM⊥PC(或BM⊥PC)時(shí), 即有PC⊥平面MBD, 而PC?平面PCD, ∴平面MBD⊥平面PCD. 11.(2015·
26、江蘇)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AC⊥BC,BC=CC1.設(shè)AB1的中點(diǎn)為D,B1C∩BC1=E. 求證:(1)DE∥平面AA1C1C; (2)BC1⊥AB1. 證明 (1)由題意知,E為B1C的中點(diǎn), 又D為AB1的中點(diǎn),因此DE∥AC. 又因?yàn)镈E?平面AA1C1C,AC?平面AA1C1C, 所以DE∥平面AA1C1C. (2)因?yàn)槔庵鵄BC-A1B1C1是直三棱柱, 所以CC1⊥平面ABC. 因?yàn)锳C?平面ABC, 所以AC⊥CC1. 又因?yàn)锳C⊥BC,CC1?平面BCC1B1, BC?平面BCC1B1,BC∩CC1=C, 所以AC⊥平面B
27、CC1B1. 又因?yàn)锽C1?平面BCC1B1, 所以BC1⊥AC. 因?yàn)锽C=CC1,所以矩形BCC1B1是正方形, 因此BC1⊥B1C. 因?yàn)锳C,B1C?平面B1AC,AC∩B1C=C, 所以BC1⊥平面B1AC. 又因?yàn)锳B1?平面B1AC, 所以BC1⊥AB1. 12.(2016·山東)在如圖所示的幾何體中,D是AC的中點(diǎn),EF∥DB. (1)已知AB=BC,AE=EC,求證:AC⊥FB; (2)已知G,H分別是EC和FB的中點(diǎn),求證:GH∥平面ABC. 證明 (1)因?yàn)镋F∥DB, 所以EF與DB確定平面BDEF, 如圖①,連接DE.因?yàn)锳E=EC, D為AC的中點(diǎn), 所以DE⊥AC.同理可得 BD⊥AC. 又BD∩DE=D, 所以AC⊥平面BDEF. 因?yàn)镕B?平面BDEF, 所以AC⊥FB. (2)如圖②,設(shè)FC的中點(diǎn)為I, 連接GI,HI. 在△CEF中,因?yàn)镚是CE的中點(diǎn),所以GI∥EF. 又EF∥DB, 所以GI∥DB. 在△CFB中,因?yàn)镠是FB的中點(diǎn),所以HI∥BC. 又HI∩GI=I, 所以平面GHI∥平面ABC, 因?yàn)镚H?平面GHI, 所以GH∥平面ABC.
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