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2017-2018學(xué)年度高中數(shù)學(xué) 第二章 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 2.1.3 空間中直線與平面 2.1.4 平面與平面之間的位置關(guān)系學(xué)案【含解析】新人教A版必修2

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2017-2018學(xué)年度高中數(shù)學(xué) 第二章 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 2.1.3 空間中直線與平面 2.1.4 平面與平面之間的位置關(guān)系學(xué)案【含解析】新人教A版必修2_第1頁(yè)
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1、 2.1.3 & 2.1.4 空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系 空間中直線與平面的位置關(guān)系 [提出問(wèn)題] 應(yīng)縣木塔,在山西應(yīng)縣城佛宮寺內(nèi),遼清寧二年(1056年)建.塔呈平面八角形,外觀五層,夾有暗層四級(jí),實(shí)為九層,總高67.31米,底層直徑30.27米,是國(guó)內(nèi)外現(xiàn)存最古老最高大的木結(jié)構(gòu)塔式建筑.塔建在4米高的兩層石砌臺(tái)基上,內(nèi)外兩槽立柱,構(gòu)成雙層套筒式結(jié)構(gòu),柱頭間有欄額和普柏枋,柱腳間有地伏等水平構(gòu)件,內(nèi)外槽之間有梁枋相連接,使雙層套筒緊密結(jié)合.暗層中用大量斜撐,結(jié)構(gòu)上起圈梁作用,加強(qiáng)木塔結(jié)構(gòu)的整體性. 問(wèn)題1:立柱和地面是什么位置關(guān)系? 提示:相交. 問(wèn)

2、題2:柱腳間有地伏等水平構(gòu)件看成直線,它和地面有什么關(guān)系? 提示:在同一平面內(nèi). 問(wèn)題3:直線和平面還有其他關(guān)系嗎? 提示:平行. [導(dǎo)入新知] 直線與平面的位置關(guān)系 位置關(guān)系 直線a在平面α內(nèi) 直線a在平面α外 直線a與平面α相交 直線a與平面α平行 公共點(diǎn) 無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn) 一個(gè)公共點(diǎn) 沒(méi)有公共點(diǎn) 符號(hào)表示 a?α a∩α=A a∥α 圖形表示 [化解疑難] 1.利用公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)也可以理解直線與平面的位置關(guān)系. (1)當(dāng)直線與平面無(wú)公共點(diǎn)時(shí),直線與平面平行. (2)當(dāng)直線與平面有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),直線與平面相交. (3)當(dāng)直線與平面有兩個(gè)

3、公共點(diǎn)時(shí),它們就有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn),這時(shí)直線在平面內(nèi). 2.直線在平面外包括兩種情形:a∥α與a∩α=A. 空間中平面與平面的位置關(guān)系 [提出問(wèn)題] 觀察拿在手中的兩本書(shū),我們可以想象兩本書(shū)為兩個(gè)平面. 問(wèn)題1:兩本書(shū)所在的平面可以平行嗎?公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是多少? 提示:可以.無(wú)公共點(diǎn). 問(wèn)題2:兩本書(shū)所在的平面可以相交嗎?公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是多少? 提示:可以.有無(wú)數(shù)個(gè). [導(dǎo)入新知] 兩個(gè)平面的位置關(guān)系 位置關(guān)系 圖示 表示法 公共點(diǎn)個(gè)數(shù) 兩平面平行 α∥β 沒(méi)有公共點(diǎn) 兩平面相交 α∩β=l 有無(wú)數(shù)個(gè) 公共點(diǎn) (在一條 直線上) [化解疑難]

4、 1.判斷面面位置關(guān)系時(shí),要利用好長(zhǎng)方體(或正方體)這一模型. 2.畫(huà)兩個(gè)互相平行的平面時(shí),要注意使表示平面的兩個(gè)平行四邊形的對(duì)應(yīng)邊平行. 直線與平面的位置關(guān)系 [例1] 下列說(shuō)法: ①若直線a在平面α外,則a∥α;②若直線a∥b,直線b?α,則a∥α;③若直線a∥b,b?α,那么直線a就平行于平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線. 其中說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為(  ) A.0    B.1     C.2     D.3 [答案] B [類(lèi)題通法] 空間中直線與平面只有三種位置關(guān)系:直線在平面內(nèi)、直線與平面相交、直線與平面平行. 在判斷直線與平面的位置關(guān)系時(shí),這三種情形都要考

5、慮到,避免疏忽或遺漏.另外,我們可以借助空間幾何圖形,把要判斷關(guān)系的直線、平面放在某些具體的空間圖形中,以便于正確作出判斷,避免憑空臆斷. [活學(xué)活用] 下列說(shuō)法中,正確的個(gè)數(shù)是(  ) ①如果兩條平行直線中的一條和一個(gè)平面相交,那么另一條直線也和這個(gè)平面相交;②一條直線和另一條直線平行,它就和經(jīng)過(guò)另一條直線的任何平面都平行;③經(jīng)過(guò)兩條異面直線中的一條直線,有一個(gè)平面與另一條直線平行;④兩條相交直線,其中一條與一個(gè)平面平行,則另一條一定與這個(gè)平面平行. A.0 B.1 C.2 D.3 答案:C 平面與平面的位置關(guān)系 [例2] (1)平面α內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與平面β平行,

6、問(wèn):α∥β是否正確?為什么? (2)平面α內(nèi)的所有直線與平面β都平行,問(wèn):α∥β是否正確?為什么? [解] (1)不正確. 如圖所示,設(shè)α∩β=l,則在平面α內(nèi)與l平行的直線可以有無(wú)數(shù)條:a1,a2,…,an,…,它們是一組平行線,這時(shí)a1,a2,…,an,…與平面β都平行(因?yàn)閍1,a2,…,an,…與平面β無(wú)交點(diǎn)),但此時(shí)α與β不平行,α∩β=l. (2)正確.平面α內(nèi)所有直線與平面β平行,則平面α與平面β無(wú)交點(diǎn),符合平面與平面平行的定義. [類(lèi)題通法] 兩個(gè)平面的位置關(guān)系同平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系類(lèi)似,可以從有無(wú)公共點(diǎn)區(qū)分:如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么由公理3可知,這兩個(gè)平

7、面相交于過(guò)這個(gè)點(diǎn)的一條直線;如果兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn),那么就說(shuō)這兩個(gè)平面互相平行.這樣我們可以得出兩個(gè)平面的位置關(guān)系:①平行——沒(méi)有公共點(diǎn);②相交——有且只有一條公共直線.若平面α與β平行,記作α∥β;若平面α與β相交,且交線為l,記作α∩β=l. [活學(xué)活用] 1.在底面為正六邊形的六棱柱中,互相平行的面視為一組,則共有________組互相平行的面,與其中一個(gè)側(cè)面相交的面共有________個(gè). 答案:4 6 2.如圖所示,平面ABC與三棱柱ABCA1B1C1的其他面之間有什么位置關(guān)系? 解:∵平面ABC與平面A1B1C1無(wú)公共點(diǎn), ∴平面ABC與平面A1B1C1平行

8、. ∵平面ABC與平面ABB1A1有公共直線AB, ∴平面ABC與平面ABB1A1相交.同理可得平面ABC與平面ACC1A1及平面BCC1B1均相交.      [典例] (12分)在正方體ABCDA1B1C1D1中,點(diǎn)Q是棱DD1上的動(dòng)點(diǎn),判斷過(guò)A,Q,B1三點(diǎn)的截面圖形的形狀. [解題流程] [規(guī)范解答] 由點(diǎn)Q在線段DD1上移動(dòng),當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)D1重合時(shí),截面圖形為等邊三角形AB1D1,如圖甲.(4分) 當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合時(shí),截面圖形為矩形AB1C1D,如圖乙.(8分) 當(dāng)點(diǎn)Q不與點(diǎn)D,D1重合時(shí),截面圖形為等腰梯形AQRB1,如圖丙.(12分) [

9、活學(xué)活用]  如圖所示,G是正方體ABCDA1B1C1D1的棱DD1延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),E,F(xiàn)是棱AB,BC的中點(diǎn).試分別畫(huà)出過(guò)下列各點(diǎn)、直線的平面與正方體表面的交線. (1)過(guò)點(diǎn)G及AC;(2)過(guò)三點(diǎn)E,F(xiàn),D1. 解:(1)畫(huà)法:連接GA交A1D1于點(diǎn)M,連接GC交C1D1于點(diǎn)N;連接MN,AC,則MA,CN,MN,AC為所求平面與正方體表面的交線.如圖①所示. (2)畫(huà)法:連接EF交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q;連接D1P交CC1于點(diǎn)M,連接D1Q交AA1于點(diǎn)N;連接MF,NE,則D1M,MF,F(xiàn)E,EN,ND1為所求平面與正方體表面的交線.如圖②所示.

10、 [隨堂即時(shí)演練] 1.M∈l,N∈l,N?α,M∈α,則有(  ) A.l∥α         B.l?α C.l與α相交 D.以上都有可能 答案:C 2.如圖所示,用符號(hào)語(yǔ)言可表示為(  ) A.α∩β=l B.α∥β,l∈α C.l∥β,l?α D.α∥β,l?α 答案:D 3.平面α∥平面β,直線a?α,則a與β的位置關(guān)系是________. 答案:平行 4.經(jīng)過(guò)平面外兩點(diǎn)可作該平面的平行平面的個(gè)數(shù)是________. 答案:0或1 5.三個(gè)平面α,β,γ,如果α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b,且直線c?β,c∥b. (1)判斷c與α的位置關(guān)

11、系,并說(shuō)明理由; (2)判斷c與a的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由. 解:(1)c∥α.因?yàn)棣痢桅?,所以α與β沒(méi)有公共點(diǎn),又c?β,所以c與α無(wú)公共點(diǎn),則c∥α. (2)c∥a.因?yàn)棣痢桅?,所以α與β沒(méi)有公共點(diǎn),又γ∩α=a,γ∩β=b,則a?α,b?β,且a,b?γ,所以a,b沒(méi)有公共點(diǎn).由于a,b都在平面γ內(nèi),因此a∥b,又c∥b,所以c∥a. [課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)] 一、選擇題 1.如果在兩個(gè)平面內(nèi)分別有一條直線,這兩條直線互相平行,那么兩個(gè)平面的位置關(guān)系一定是(  ) A.平行 B.相交 C.平行或相交 D.不能確定 答案:C 2.如果一條直線與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平行,那么這

12、條直線與另一個(gè)平面的位置關(guān)系為(  ) A.平行 B.相交 C.直線在平面內(nèi) D.平行或直線在平面內(nèi) 答案:D 3.(浙江高考)若直線l不平行于平面α,且l?α,則(  ) A.α內(nèi)的所有直線與l異面 B.α內(nèi)不存在與l平行的直線 C.α內(nèi)存在唯一的直線與l平行 D.α內(nèi)的直線與l都相交 答案:B 4.已知直線m,n和平面α,m∥n,m∥α,過(guò)m的平面β與α相交于直線a,則n與a的位置關(guān)系是(  ) A.平行 B.相交 C.異面 D.以上均有可能 答案:A 5.給出下列幾個(gè)說(shuō)法: ①過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行;②過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂

13、直;③過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與該平面平行;④過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與該平面平行. 其中正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)為(  ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案:B 二、填空題 6.下列命題: ①兩個(gè)平面有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn),則這兩個(gè)平面重合; ②若l,m是異面直線,l∥α,m∥β,則α∥β. 其中錯(cuò)誤命題的序號(hào)為_(kāi)_______. 答案:①② 7.與空間四邊形ABCD四個(gè)頂點(diǎn)距離相等的平面共有________個(gè). 答案:7 8.下列命題正確的有________(填序號(hào)). ①若直線與平面有兩個(gè)公共點(diǎn),則直線在平面內(nèi); ②若直線l上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面α內(nèi),則l∥

14、α; ③若直線l與平面α相交,則l與平面α內(nèi)的任意直線都是異面直線; ④如果兩條異面直線中的一條與一個(gè)平面平行,則另一條直線一定與該平面相交; ⑤若直線l與平面α平行,則l與平面α內(nèi)的直線平行或異面; ⑥若平面α∥平面β,直線a?α,直線b?β,則直線a∥b. 答案:①⑤ 三、解答題 9.如圖所示,在正方體ABCD A1B1C1D1中M,N分別是A1B1和BB1的中點(diǎn),則下列直線與平面的位置關(guān)系是什么? (1)AM所在的直線與平面ABCD的位置關(guān)系; (2)CN所在的直線與平面ABCD的位置關(guān)系; (3)AM所在的直線與平面CDD1C1的位置關(guān)系; (4)CN所在的直

15、線與平面CDD1C1的位置關(guān)系. 解:(1)AM所在的直線與平面ABCD相交; (2)CN所在的直線與平面ABCD相交; (3)AM所在的直線與平面CDD1C1平行; (4)CN所在的直線與平面CDD1C1相交. 10.如圖,已知平面α∩β=l,點(diǎn)A∈α,點(diǎn)B∈α,點(diǎn)C∈β,且A?l,B?l,直線AB與l不平行,那么平面ABC與平面β的交線與l有什么關(guān)系?證明你的結(jié)論. 解:平面ABC與β的交線與l相交. 證明:∵AB與l不平行,且AB?α,l?α,∴AB與l一定相交,設(shè)AB∩l=P,則P∈AB,P∈l. 又∵AB?平面ABC,l?β,∴P∈平面ABC,P∈β. ∴點(diǎn)P是平面ABC與β的一個(gè)公共點(diǎn),而點(diǎn)C也是平面ABC與β的一個(gè)公共點(diǎn),且P,C是不同的兩點(diǎn), ∴直線PC就是平面ABC與β的交線. 即平面ABC∩β=PC,而PC∩l=P, ∴平面ABC與β的交線與l相交. - 9 -

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