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2019-2020年高三12月模擬考試 數(shù)學(xué)理 一、選擇題：本題共12小題，每小題5分, 在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的. （1）已知集合，，則 　 (Ａ) 　 (Ｂ) (Ｃ) 　 (Ｄ) （2）設(shè)，其中是實數(shù)，則 （A）1 （B） （C） （D） （3）等比數(shù)列的前項和為，若，則公比 (A) (B) (C) (D) （4）已知雙曲線（）的漸近線方程為, 則雙曲線的離心率為 (A) (B) (C) (D) （5）若將函數(shù)的圖象向左平移個單位，所得圖象關(guān)于軸對稱，則的最小正值是 （A） （B） （C） （D） （6）GZ新聞臺做“一校一特色”訪談節(jié)目, 分A, B, C三期播出, A期播出兩間學(xué)校, B期， C期各播出1間學(xué)校, 現(xiàn)從8間候選學(xué)校中選出4間參與這三項任務(wù), 不同的選法共有 （A）140種 （B）420種 （C）840種　　 （D）1680種 （7）已知函數(shù) ，則函數(shù)的圖象是 （8）設(shè)，， ，則的大小關(guān)系為 (A) (B) (C) (D) （9）閱讀如下程序框圖，運行相應(yīng)的程序，則程序運行后輸出的結(jié)果為 (A) 7 (B) 9 (C) 10 (D) 11 （10）已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，是上一點，直線與曲線相交于，兩點，若，則 (Ａ) (Ｂ) (Ｃ) (Ｄ) （11）如圖, 網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1, 粗線畫出的是某三棱錐 的三視圖，則該三棱錐的外接球的表面積是 (A) (B) (C) (D) (12) 若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是 (A) (B) (C) (D) 第Ⅱ卷 本卷包括必考題和選考題兩部分。第13～21題為必考題，每個考生都必須作答。第22～23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。 二、填空題：本小題共4題，每小題5分。 （13）已知菱形的邊長為， , 則________． （14）按照國家規(guī)定, 某種大米質(zhì)量(單位:kg)必須服從正態(tài)分布, 根據(jù)檢測 結(jié)果可知,某公司為每位職工購買一袋這種包裝的大米作為福利, 若該公司有名職工, 則分發(fā)到的大米質(zhì)量在kg以下的職工數(shù)大約為 . （15）已知滿足約束條件若的最大值為4，則 . （16）在數(shù)列中,,,對所有正整數(shù)均有，則 . 三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。 （17）（本小題滿分12分） 已知△的內(nèi)角,,的對邊分別為，，，若，. （Ⅰ）求； （Ⅱ）若, 求. （18）（本小題滿分12分） 某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)分成個等級，等級系數(shù)依次為…，其中為標(biāo)準(zhǔn)，為標(biāo)準(zhǔn). 已知甲廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為元/件; 乙 廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為元/件，假定甲, 乙兩廠的產(chǎn)品都符合相 應(yīng)的執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn). （Ⅰ）已知甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的概率分布列如下所示： 且的數(shù)學(xué)期望, 求的值; （Ⅱ）為分析乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)，從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取件，相應(yīng)的等 級系數(shù)組成一個樣本，數(shù)據(jù)如下: 用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，求等級系數(shù)的數(shù)學(xué)期望； （Ⅲ）在（Ⅰ）,（Ⅱ）的條件下，若以“性價比”為判斷標(biāo)準(zhǔn)，則哪個工廠的產(chǎn)品更具可 購買性？說明理由. 注: ①產(chǎn)品的“性價比”；②“性價比”大的產(chǎn)品更具可購買性. (19) （本小題滿分12分） 如圖, 平面，平面, △是等邊三角形，, 是的中點. （Ⅰ）求證：; （Ⅱ）若直線與平面所成角的正切值為， 求二面角的余弦值. (20) （本小題滿分12分） 已知動圓與圓相切，且與圓相內(nèi)切，記圓心的軌跡為曲線. （Ⅰ）求曲線的方程； （Ⅱ）設(shè)為曲線上的一個不在軸上的動點，為坐標(biāo)原點，過點作的平行 線交曲線于兩個不同的點, 求△面積的最大值． (21) （本小題滿分12分） 設(shè)函數(shù). 若曲線在點處的切線方程為 （為自然對數(shù)的底數(shù)）. （Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）若，試比較與的大小，并予以證明. 請考生在第22～23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分。 （22）（本小題滿分10分）選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 以直角坐標(biāo)系的原點為極點,軸的正半軸為極軸,且兩個坐標(biāo)系取相等的長度單位.已知直線l的參數(shù)方程為為參數(shù), 曲線的極坐標(biāo)方程為. (Ⅰ) 求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程; （II）設(shè)直線與曲線C相交于兩點, 當(dāng)變化時, 求的最小值. (23)（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講 已知，不等式的解集是. （Ⅰ）求的值； （II）若存在實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍. xx廣州市普通高中畢業(yè)班模擬考試 理科數(shù)學(xué)試題答案及評分參考 評分說明: 1．本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評分參考制訂相應(yīng)的評分細則． 2．對計算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)得分數(shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分． 3．解答右端所注分數(shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分數(shù)． 4．只給整數(shù)分數(shù)．選擇題不給中間分． 一、選擇題 （1）B （2）D （3）A （4）B （5）A （6）C （7）D （8）C （9）B （10）B （11）D （12）A 二、填空題 （13） （14） （15） （16） 三、解答題 （17）解： （Ⅰ）因為，， 由余弦定理得,即. ……………………2分 所以. …………………………………………4分 由于, 所以. …………………………………………6分 （Ⅱ）法1: 由及, 得, ……………………7分 即, ………………………………………………………………8分 解得或(舍去). …………………………………………9分 由正弦定理得, …………………………………………10分 得. ………………………………………12分 法2: 由及正弦定理得, …………………………………………7分 得. …………………………………………8分 由于, 則, 則. …………………………………………9分 由于, 則. ………………………………………10分 所以 ………………………………………11分 . ……………………………………………………………12分 (18) 解: （Ⅰ）, 即, ? ……………………1分 又由的概率分布列得, ② ……………………2分 由??得 …………………………………………………………4分 （Ⅱ）由已知得，樣本的頻率分布表如下： ………………………………………………………………5分 用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，可得等級系數(shù)的概率分布列如下： ………………………………………………………………6分 所以. ……………7分 即乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學(xué)期望為. ……………………………………………8分 （Ⅲ）乙廠的產(chǎn)品更具可購買性，理由如下： 因為甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于, 價格為元/件，所以其性價比為， ………………………………………………………………………………9分 因為乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的期望等于, 價格為元/件，所以其性價比為， ……………………………………………………………………………10分 據(jù)此，乙廠的產(chǎn)品更具可購買性. ……………………………………………12分 (19) 解: （Ⅰ）因為△是等邊三角形，是的中點, 所以. …………………………………1分 因為平面, 平面, 所以. …………………………………2分 因為, 所以平面. ……………………3分 因為平面, 所以. ……………………………4分 （Ⅱ）法1: 以點為坐標(biāo)原點，所在直線為軸，所在直線為軸，過且 與直線平行的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系. 因為平面, 所以為直線與平面所成角. ……………………………………5分 由題意得, 即,…………………………………6分 從而. 不妨設(shè), 又, 則, .…………………………7分 故,, , . ……………………………8分 于是, ,,, 設(shè)平面與平面的法向量分別為, 由 得 令,得, 所以. …………………………………9分 由 得 令,得, . 所以. …………………………………10分 所以. …………………………………11分 所以二面角的余弦值為. …………………………………12分 法2: 因為平面, 所以為直線與平面所成角. …………………………………5分 由題意得, 即,…………………………………6分 從而. 不妨設(shè), 又, 則, , . …………………………………7分 由于平面,平面, 則∥. 取的中點, 連接, 則. 在Rt△中, , 在Rt△中, , 在Rt△中, , 取的中點, 連接,, , 則. …………………………………8分 所以為二面角的平面角. …………………………………9分 在Rt△中, , 在Rt△中, , 在Rt△中, , 因為, …………………………………10分 所以. …………………………………11分 所以二面角的余弦值為. …………………………………12分 (20) 解： （Ⅰ）設(shè)圓的半徑為, 圓心的坐標(biāo)為， 由于動圓與圓相切，且與圓相內(nèi)切， 所以動圓與圓只能內(nèi)切. …………………………………1分 所以 …………………………………2分 則. …………………………………3分 所以圓心的軌跡是以點為焦點的橢圓, 且, 則. 所以曲線的方程為. …………………………………4分 （Ⅱ）設(shè)，直線的方程為， 由 可得， 則. …………………………………5分 所以 …………………………………6分 …………………………………7分 因為，所以△的面積等于△的面積. …………………8分 點到直線的距離. ……………………………9分 所以△的面積. …………………………………10分 令，則 ，. 設(shè)，則. 因為, 所以 所以在上單調(diào)遞增. 所以當(dāng)時, 取得最小值, 其值為. …………………………………11分 所以△的面積的最大值為. …………………………………12分 說明: △的面積. (21) 解: （Ⅰ）函數(shù)的定義域為. . ………………………………………………………………1分 依題意得，即 ……………………3分 所以. ………………………………………………………………4分 所以，. 當(dāng)時, ; 當(dāng)時, . 所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是, 單調(diào)遞增區(qū)間是.………………6分 （Ⅱ）當(dāng)時，. 等價于， 也等價于. ………………………………………7分 不妨設(shè)， 設(shè)（）, 則. …………………………………………………………8分 當(dāng)時，，所以函數(shù)在上為增函數(shù)， 即， ……………………9分 故當(dāng)時，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等 號）. 令，則， …………………………………………10分 即（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），……………11分 綜上所述，當(dāng)時，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）. ………………………………………………………………12分 (22) 解: (Ⅰ) 由消去得, ……………………1分 所以直線的普通方程為. ……………………2分 由, 得, ……………………3分 把代入上式, 得, 所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為. …………………………………………5分 (II) 將直線l的參數(shù)方程代入, 得, ………………6分 設(shè)A、B兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為, 則, , …………………………………………7分 所以 . ……9分 當(dāng)時, 的最小值為4. …………………………………………10分 (23) 解： （Ⅰ）由, 得，即. ……………………1分 當(dāng)時，. …………………………………………………………2分 因為不等式的解集是 所以 解得…………………………………………………………3分 當(dāng)時，. …………………………………………………………4分 因為不等式的解集是 所以 無解. …………………………………………………………5分 所以 （II）因為………………7分 所以要使存在實數(shù)解，只需. ………………8分 解得或. ………………………………………………………9分 所以實數(shù)的取值范圍是. …………………………10分