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2019-2020年高二數(shù)學上 8.1《數(shù)乘向量及坐標運算》學案 滬教版 ●考試目標 主詞填空 1.實數(shù)與向量的積 a與λa同向的充要條件是λ>0. a與λa反向的充要條件是λ<0. λ(a+b)=λa+λb λ(a-b)=λa-λb 設(shè)a=(x,y),則λa=(λx,λy). 2.向量的坐標運算 設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2)a+b=,a-b=,a=bx1=x2且y1-y2, a∥b(a≠0,b≠0)x1y2-x2y1=0. 3.三點共線的充要條件 A、B、C三點共線存在λ∈R,使=λ. 4.平面向量的基本定理 如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線的向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a有且只有一對數(shù)λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2. ●題型示例 點津歸納 【例1】 設(shè)e1、e2是不共線的向量，已知向量=2e1+ke2,=e1+3e2,=2e1-e2,若A、B、D三點共線，求k值. 【解前點津】 因A、B、D三點共線，故存在實數(shù)λ,使=λ由此等式可得關(guān)于λ,k的方程組，從而可求得k值. 【規(guī)范解答】 由條件得:=-=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2. 因A、B、D三點共線，故存在實數(shù)λ,使=λ,所以2e1+ke2=λ(e1-e2)λ=2且k=-4λ,∴k=-8. 【解后歸納】 利用兩個向量共線的充要條件列方程是常用方法. 例2題圖 【例2】 一艘船以5 km/h速度向垂直于對岸方向行駛，航船實際航行方 向與水流方向成30角，求水流速度與船的實際速度. 【解前點津】 用向量分別表示水流速度，船向垂直于對岸行駛的速度， 船實際速度，將這三個向量的始點歸結(jié)在一處,利用圖形特點求解. 【規(guī)范解答】 如圖，表示水流速度，表示船向垂直于對岸行駛的 速度,表示船實際速度，∠AOC=30,||=5 km/h. ∵OACB為矩形，||=||cot30=||cot30=5=8.66(km/h),||=10km/h. 所以，水流速度為8.66km/h,船實際速度為10km/h. 【解后歸納】 有些物理量本身就可用向量表示.熟悉物理知識背景，數(shù)形結(jié)合，是應(yīng)用向量工具的一項基本功. 【例3】 (1)證明:三個兩兩不平行的向量a,b,c可以構(gòu)成一個三角形(每個向量的始點重合于別處二個向量中的一個向量的終點)的充要條件是:a+b+c=0. (2)證明三角形的三個中線向量可以構(gòu)成一個三角形. 【解前點津】 利用(1)的結(jié)論證明(2).用三條邊所在的向量分別表示三條中線.通過運算可獲結(jié)論. 【規(guī)范解答】 (1)充分性:∵a+b+c=0,∴a+b=-c根據(jù)三角形法則,三個兩兩不平行的向量a、b、c可以構(gòu)成一個三角形;必要性: ∵向量a、b、c可以構(gòu)成一個三角形， ∴不妨設(shè)在△ABC中,=a,=b,=c,根據(jù)多邊形法則, ∵++==0, ∴a+b+c=0. 例3題圖 (2)如圖，D、E、F分別是△ABC中三邊的中點， 因為=+=+, =+=+, =+=+BC. ∴將上述三式相加得,++=(++)=0=0. 【解后歸納】 熟練應(yīng)用“三角形”法則以及“多邊形法則”，是必須具備的一項“基本功”. 【例4】 用向量法證明:三角形三中線交于一點. 【解前點津】 在△ABC中,G是AD與BE的交點,連接AB的中點F與G及GC,欲證三中線共點，只須證明:G在中線CF上，從而只須證明與共線. 例4題圖 【規(guī)范解答】 ∵=+,=+, ∴=(+)+(+) ① 又∵=+,=+, ∴兩式相減得:+=(+)即(+)=(+) 代入①消去+得 =(+)+(+)=(+) ② ∵=+,=+, ∴2=(+) ③ 比較②③得=2, ∴∥, ∴C、G、F在一條直線上，故G在中線AF上. 【解后歸納】 證明“線共點”或“點共線”問題，常轉(zhuǎn)化為向量共線的問題. ●對應(yīng)訓練 分階提升 一、基礎(chǔ)夯實 1.設(shè)e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個非零向量，則有 ( ) A.e1∥e2 B.|e1|=|e2| C.同一平面內(nèi)的任一向量a,都有a=λe1+μe2(λ,μ∈R) D.若e1與e2不共線，則同一平面內(nèi)的任一向量a,都存在實數(shù)λ,μ,使a=λe1+μe2 2.已知a=e1-2e2,b=2e1+e2,且e1,e2是不共線的非零向量，則a+b與c=6e1-2e2的關(guān)系是 ( ) A.不共線 B.共線 C.相等 D.無法確定 3.已知向量e1,e2不共線，實數(shù)x,y滿足:(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,則x-y的值等于 ( ) A.3 B.-3 C.0 D.2 4.若a,b不共線,且λa+μb=0(λ,μ∈R),則 ( ) A.λμ=1 B.λμ=-1 C.λ=μ=0 D.λ,μ不確定 5.已知a,b不共線，且c=λ1a+λ2b(λ1,λ2∈R),若c,b共線,則λ1= ( ) A.2 B.1 C.-1 D.0 6.若O、A、B為平面上三點，C為線段AB的中點，則 ( ) A.= B.=() C.=2 D.=() 7.已知=(x,y),點B的坐標為(-2,1),則的坐標為 ( ) A.(x-2,y+1) B.(x+2,y-1) C.(-2-x,1-y) D.(x+2,y+1) 8.已知a=(3,-1),b=(-1,2),則-3a-2b等于 ( ) A.(7,1) B.(-7,-1) C.(-7,1) D.(7,-1) 9.已知點B的坐標為(m,n),的坐標為(i,j),則點A的坐標為 ( ) A.(m-i,n-j) B.(i-m,j-n) C.(m+i,n+j) D.(m+n,i+j) 二、思維激活 10.已知平行四邊形ABCD的頂點:A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6)則第四個頂點D的坐標是 . 11.已知向量a=(3,-2),b=(-2,1),c=(7,-4),若c=λa+μb,則λ= ,μ= . 12.已知a=(1,2),b=(-3,2),若(ka+b)∥(a-3b),則實數(shù)k= . 13.已知=i-2j,=i+mj,其中i、j分別是x軸、y軸正方向上的單位向量,若A、B、C三點共線，則實數(shù)m = . 三、能力提高 14.在平行四邊形ABCD中. (1)設(shè)對角線=a,=b,求:,,,; (2)設(shè)邊和的中點為M、N,且=p,=q,求,. 15.設(shè)a=,B(1,0),b=(-3,4),c=(-1,1)且a=3b-2c,求點A的坐標. 16.用向量證明:平行四邊形對角線互相平分. 17.在平行六面體ABCD-EFGH中,證明:++=2. 第17題圖 第2課 數(shù)乘向量及坐標運算習題解答 1.D 直接使用平面向量基本定理. 2.B ∵a+b=3e1-e2=c. 3.A 由條件:3x-4y=6且3=2x-3y,解之:x=6且y=3故x-y=3. 4.C 5.D 令c=xb則由xb=λ1a+λ2b得x=λ2且λ1=0. 第6題圖解 6.B 如圖所示: ∴= 7.C ∵,所以,=-=(-2,1)-(x,y)=(-2-x,1-y). 8.B -3a-2b-3(3,-1)-2(-1,2)=(-9,3)+(+2,-4)=(-7,-1). 9.A =-=(m,n)-(i,j)=(m-i,n-j). 10.設(shè)D(x,y),∵=,∴(-1,-2)-(3,-1)=(x,y)-(5,6)故(-4,-1)=(x-5,y-6). 由 得: 故D點坐標是(1,5). 11.由(7,-4)=λ(3,-2)+μ(-2,1)得:7=3λ-2μ,且-4=-2λ+μ解之:λ=1,μ=-2. 12.∵ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2);a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4), ∴10(2k+2)=-4(k-3) k=-. 13.因,=(1,m)故由∥得-2=m即m=-2. 14.(1)如圖(1)，記平行四邊形ABCD的對角線交點為0,因平行四邊形對角線互相平分，所以: 第14題圖解（1） =+=a-b; =+=b+a; =+=-a+b; 第14題圖解(2) =+=-b-a. (2)如圖(2)所示,∵=++=+q-=+q ① 又=++=-+(-p)+=-p ② 解①②構(gòu)成的方程組得:=q-p,=q-p. 15.設(shè)A(x,y),則=(1-x,-y)代入a=3b-2c得: (1-x,-y)=3(-3,4)-2(-1,1),故. 16.如圖，AC與BD是平行四邊形ABCD的兩對角線，O是其交點. 第16題圖解 設(shè)A(0,0),B(a,0),D(b,c),則可推算c(a+b,c), 于是直線lBD為:y=, 直線lAC為:y=, 解此方程組得交點O的坐標是, 故O是AC與BD的中點. 17.證明:∵ABCD-EFGH是平行六面體， ∴=,=,=故有:=+ ① =+ ② =+ ③ =++ ④ 由①+②+③+④得:4=+++(+)+(+)+2=+++2, ∴++=2.