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2019-2020年高中物理競(jìng)賽 第5部分《振動(dòng)和波》教案 新人教版 《振動(dòng)和波》的競(jìng)賽考綱和高考要求有很大的不同，必須做一些相對(duì)詳細(xì)的補(bǔ)充。 一、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng) 1、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)定義：= －k ① 凡是所受合力和位移滿(mǎn)足①式的質(zhì)點(diǎn)，均可稱(chēng)之為諧振子，如彈簧振子、小角度單擺等。 諧振子的加速度：= － 2、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的方程 回避高等數(shù)學(xué)工具，我們可以將簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)看成勻速圓周運(yùn)動(dòng)在某一條直線(xiàn)上的投影運(yùn)動(dòng)（以下均看在x方向的投影），圓周運(yùn)動(dòng)的半徑即為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅A 。 依據(jù)：x = －mω2Acosθ= －mω2 對(duì)于一個(gè)給定的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，m、ω是恒定不變的，可以令： mω2 = k 這樣，以上兩式就符合了簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的定義式①。所以，x方向的位移、速度、加速度就是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的相關(guān)規(guī)律。從圖1不難得出—— 位移方程： = Acos(ωt + φ) ② 速度方程： = －ωAsin(ωt +φ) ③加速度方程：= －ω2A cos(ωt +φ) ④ 相關(guān)名詞：(ωt +φ)稱(chēng)相位，φ稱(chēng)初相。 運(yùn)動(dòng)學(xué)參量的相互關(guān)系：= －ω2 A = tgφ= － 3、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成 a、同方向、同頻率振動(dòng)合成。兩個(gè)振動(dòng)x1 = A1cos(ωt +φ1)和x2 = A2cos(ωt +φ2) 合成，可令合振動(dòng)x = Acos(ωt +φ) ，由于x = x1 + x2 ，解得 A = ，φ= arctg 顯然，當(dāng)φ2－φ1 = 2kπ時(shí)（k = 0，1，2，…），合振幅A最大，當(dāng)φ2－φ1 = （2k + 1）π時(shí)（k = 0，1，2，…），合振幅最小。 b、方向垂直、同頻率振動(dòng)合成。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)垂直的振動(dòng)x = A1cos(ωt + φ1)和y = A2cos(ωt + φ2)時(shí)，這兩個(gè)振動(dòng)方程事實(shí)上已經(jīng)構(gòu)成了質(zhì)點(diǎn)在二維空間運(yùn)動(dòng)的軌跡參數(shù)方程，消去參數(shù)t后，得一般形式的軌跡方程為 +－2cos(φ2－φ1) = sin2(φ2－φ1) 顯然，當(dāng)φ2－φ1 = 2kπ時(shí)（k = 0，1，2，…），有y = x ，軌跡為直線(xiàn)，合運(yùn)動(dòng)仍為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)； 當(dāng)φ2－φ1 = （2k + 1）π時(shí)（k = 0，1，2，…），有+= 1 ，軌跡為橢圓，合運(yùn)動(dòng)不再是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)； 當(dāng)φ2－φ1取其它值，軌跡將更為復(fù)雜，稱(chēng)“李薩如圖形”，不是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。 c、同方向、同振幅、頻率相近的振動(dòng)合成。令x1 = Acos(ω1t + φ)和x2 = Acos(ω2t + φ) ，由于合運(yùn)動(dòng)x = x1 + x2 ，得：x =（2Acost）cos（t +φ）。合運(yùn)動(dòng)是振動(dòng)，但不是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，稱(chēng)為角頻率為的“拍”現(xiàn)象。 4、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期 由②式得：ω= ，而圓周運(yùn)動(dòng)的角速度和簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的角頻率是一致的，所以 T = 2π ⑤ 5、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的能量 一個(gè)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振子的能量由動(dòng)能和勢(shì)能構(gòu)成，即 = mv2 + kx2 = kA2 注意：振子的勢(shì)能是由（回復(fù)力系數(shù)）k和（相對(duì)平衡位置位移）x決定的一個(gè)抽象的概念，而不是具體地指重力勢(shì)能或彈性勢(shì)能。當(dāng)我們計(jì)量了振子的抽象勢(shì)能后，其它的具體勢(shì)能不能再做重復(fù)計(jì)量。 6、阻尼振動(dòng)、受迫振動(dòng)和共振 和高考要求基本相同。 二、機(jī)械波 1、波的產(chǎn)生和傳播 產(chǎn)生的過(guò)程和條件；傳播的性質(zhì)，相關(guān)參量（決定參量的物理因素） 2、機(jī)械波的描述 a、波動(dòng)圖象。和振動(dòng)圖象的聯(lián)系 b、波動(dòng)方程 如果一列簡(jiǎn)諧波沿x方向傳播，振源的振動(dòng)方程為y = Acos（ωt + φ），波的傳播速度為v ，那么在離振源x處一個(gè)振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程便是 y = Acos〔ωt + φ - 2π〕= Acos〔ω（t - ）+ φ〕 這個(gè)方程展示的是一個(gè)復(fù)變函數(shù)。對(duì)任意一個(gè)時(shí)刻t ，都有一個(gè)y（x）的正弦函數(shù)，在x-y坐標(biāo)下可以描繪出一個(gè)瞬時(shí)波形。所以，稱(chēng)y = Acos〔ω（t - ）+ φ〕為波動(dòng)方程。 3、波的干涉 a、波的疊加。幾列波在同一介質(zhì)種傳播時(shí)，能獨(dú)立的維持它們的各自形態(tài)傳播，在相遇的區(qū)域則遵從矢量疊加（包括位移、速度和加速度的疊加）。 b、波的干涉。兩列波頻率相同、相位差恒定時(shí)，在同一介質(zhì)中的疊加將形成一種特殊形態(tài)：振動(dòng)加強(qiáng)的區(qū)域和振動(dòng)削弱的區(qū)域穩(wěn)定分布且彼此隔開(kāi)。 我們可以用波程差的方法來(lái)討論干涉的定量規(guī)律。如圖2所示，我們用S1和S2表示兩個(gè)波源，P表示空間任意一點(diǎn)。 當(dāng)振源的振動(dòng)方向相同時(shí)，令振源S1的振動(dòng)方程為y1 = A1cosωt ，振源S1的振動(dòng)方程為y2 = A2cosωt ，則在空間P點(diǎn)（距S1為r1 ，距S2為r2），兩振源引起的分振動(dòng)分別是 y1′= A1cos〔ω（t ? ）〕 y2′= A2cos〔ω（t ? ）〕 P點(diǎn)便出現(xiàn)兩個(gè)頻率相同、初相不同的振動(dòng)疊加問(wèn)題（φ1 = ，φ2 = ），且初相差Δφ= （r2 – r1）。根據(jù)前面已經(jīng)做過(guò)的討論，有 r2 ? r1 = kλ時(shí)（k = 0，1，2，…），P點(diǎn)振動(dòng)加強(qiáng)，振幅為A1 + A2 ； r2 ? r1 =（2k ? 1）時(shí)（k = 0，1，2，…），P點(diǎn)振動(dòng)削弱，振幅為│A1－A2│。 4、波的反射、折射和衍射 知識(shí)點(diǎn)和高考要求相同。 5、多普勒效應(yīng) 當(dāng)波源或者接受者相對(duì)與波的傳播介質(zhì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，接收者會(huì)發(fā)現(xiàn)波的頻率發(fā)生變化。多普勒效應(yīng)的定量討論可以分為以下三種情況（在討論中注意：波源的發(fā)波頻率f和波相對(duì)介質(zhì)的傳播速度v是恒定不變的）—— a、只有接收者相對(duì)介質(zhì)運(yùn)動(dòng)（如圖3所示） 設(shè)接收者以速度v1正對(duì)靜止的波源運(yùn)動(dòng)。 如果接收者靜止在A(yíng)點(diǎn)，他單位時(shí)間接收的波的個(gè)數(shù)為f ， 當(dāng)他迎著波源運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)其在單位時(shí)間到達(dá)B點(diǎn)，則= v1 ，、 在從A運(yùn)動(dòng)到B的過(guò)程中，接收者事實(shí)上“提前”多接收到了n個(gè)波 n = = = 顯然，在單位時(shí)間內(nèi)，接收者接收到的總的波的數(shù)目為：f + n = f ，這就是接收者發(fā)現(xiàn)的頻率f1 。即 f1 = f 顯然，如果v1背離波源運(yùn)動(dòng)，只要將上式中的v1代入負(fù)值即可。如果v1的方向不是正對(duì)S ，只要將v1出正對(duì)的分量即可。 b、只有波源相對(duì)介質(zhì)運(yùn)動(dòng)（如圖4所示） 設(shè)波源以速度v2正對(duì)靜止的接收者運(yùn)動(dòng)。 如果波源S不動(dòng)，在單位時(shí)間內(nèi)，接收者在A(yíng)點(diǎn)應(yīng)接收f(shuō)個(gè)波，故S到A的距離：= fλ 在單位時(shí)間內(nèi)，S運(yùn)動(dòng)至S′，即= v2 。由于波源的運(yùn)動(dòng)，事實(shí)造成了S到A的f個(gè)波被壓縮在了S′到A的空間里，波長(zhǎng)將變短，新的波長(zhǎng) λ′= = = = 而每個(gè)波在介質(zhì)中的傳播速度仍為v ，故“被壓縮”的波（A接收到的波）的頻率變?yōu)? f2 = = f 當(dāng)v2背離接收者，或有一定夾角的討論，類(lèi)似a情形。 c、當(dāng)接收者和波源均相對(duì)傳播介質(zhì)運(yùn)動(dòng) 當(dāng)接收者正對(duì)波源以速度v1（相對(duì)介質(zhì)速度）運(yùn)動(dòng)，波源也正對(duì)接收者以速度v2（相對(duì)介質(zhì)速度）運(yùn)動(dòng)，我們的討論可以在b情形的過(guò)程上延續(xù)… f3 = f2 = f 關(guān)于速度方向改變的問(wèn)題，討論類(lèi)似a情形。 6、聲波 a、樂(lè)音和噪音 b、聲音的三要素：音調(diào)、響度和音品 c、聲音的共鳴 第二講 重要模型與專(zhuān)題 一、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的證明與周期計(jì)算 物理情形：如圖5所示，將一粗細(xì)均勻、兩邊開(kāi)口的U型管固定，其中裝有一定量的水銀，汞柱總長(zhǎng)為L(zhǎng) 。當(dāng)水銀受到一個(gè)初始的擾動(dòng)后，開(kāi)始在管中振動(dòng)。忽略管壁對(duì)汞的阻力，試證明汞柱做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，并求其周期。 模型分析：對(duì)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的證明，只要以汞柱為對(duì)象，看它的回復(fù)力與位移關(guān)系是否滿(mǎn)足定義式①，值得注意的是，回復(fù)力系指振動(dòng)方向上的合力（而非整體合力）。當(dāng)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)被證明后，回復(fù)力系數(shù)k就有了，求周期就是順理成章的事。 本題中，可設(shè)汞柱兩端偏離平衡位置的瞬時(shí)位移為x 、水銀密度為ρ、U型管橫截面積為S ，則次瞬時(shí)的回復(fù)力 ΣF = ρg2xS = x 由于L、m為固定值，可令： = k ，而且ΣF與x的方向相反，故汞柱做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。 周期T = 2π= 2π 答：汞柱的周期為2π 。 學(xué)生活動(dòng)：如圖6所示，兩個(gè)相同的柱形滾輪平行、登高、水平放置，繞各自的軸線(xiàn)等角速、反方向地轉(zhuǎn)動(dòng)，在滾輪上覆蓋一塊均質(zhì)的木板。已知兩滾輪軸線(xiàn)的距離為L(zhǎng) 、滾輪與木板之間的動(dòng)摩擦因素為μ、木板的質(zhì)量為m ，且木板放置時(shí)，重心不在兩滾輪的正中央。試證明木板做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，并求木板運(yùn)動(dòng)的周期。 思路提示：找平衡位置（木板重心在兩滾輪中央處）→力矩平衡和ΣF6= 0結(jié)合求兩處彈力→求摩擦力合力… 答案：木板運(yùn)動(dòng)周期為2π 。 鞏固應(yīng)用：如圖7所示，三根長(zhǎng)度均為L(zhǎng) = 2.00m地質(zhì)量均勻直桿，構(gòu)成一正三角形框架ABC，C點(diǎn)懸掛在一光滑水平軸上，整個(gè)框架可繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)。桿AB是一導(dǎo)軌，一電動(dòng)松鼠可在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)?，F(xiàn)觀(guān)察到松鼠正在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)，而框架卻靜止不動(dòng)，試討論松鼠的運(yùn)動(dòng)是一種什么樣的運(yùn)動(dòng)。 解說(shuō)：由于框架靜止不動(dòng)，松鼠在豎直方向必平衡，即：松鼠所受框架支持力等于松鼠重力。設(shè)松鼠的質(zhì)量為m ，即： N = mg ① 再回到框架，其靜止平衡必滿(mǎn)足框架所受合力矩為零。以C點(diǎn)為轉(zhuǎn)軸，形成力矩的只有松鼠的壓力N、和松鼠可能加速的靜摩擦力f ，它們合力矩為零，即： MN = Mf 現(xiàn)考查松鼠在框架上的某個(gè)一般位置（如圖7，設(shè)它在導(dǎo)軌方向上距C點(diǎn)為x），上式即成： Nx = fLsin60 ② 解①②兩式可得：f = x ，且f的方向水平向左。 根據(jù)牛頓第三定律，這個(gè)力就是松鼠在導(dǎo)軌方向上的合力。如果我們以C在導(dǎo)軌上的投影點(diǎn)為參考點(diǎn)，x就是松鼠的瞬時(shí)位移。再考慮到合力與位移的方向因素，松鼠的合力與位移滿(mǎn)足關(guān)系—— = －k 其中k = ，對(duì)于這個(gè)系統(tǒng)而言，k是固定不變的。 顯然這就是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的定義式。 答案：松鼠做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。 評(píng)說(shuō)：這是第十三屆物理奧賽預(yù)賽試題，問(wèn)法比較模糊。如果理解為定性求解，以上答案已經(jīng)足夠。但考慮到原題中還是有定量的條件，所以做進(jìn)一步的定量運(yùn)算也是有必要的。譬如，我們可以求出松鼠的運(yùn)動(dòng)周期為：T = 2π = 2π = 2.64s 。 二、典型的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng) 1、彈簧振子 物理情形：如圖8所示，用彈性系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧連著一個(gè)質(zhì)量為m的小球，置于傾角為θ的光滑斜面上。證明：小球在彈簧方向的振動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，并求其周期T 。 學(xué)生自己證明…。周期T = 2π 模型分析：這個(gè)結(jié)論表明，彈簧振子完全可以突破放置的方向而伸展為一個(gè)廣義的概念，且伸展后不會(huì)改變運(yùn)動(dòng)的實(shí)質(zhì)。其次，我們還可以這樣拓展：把上面的下滑力換程任何一個(gè)恒力（如電場(chǎng)力），它的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)仍然不會(huì)改變。 當(dāng)然，這里的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)不變并不是所有運(yùn)動(dòng)參量均不改變。譬如，振子的平衡位置、振動(dòng)方程還是會(huì)改變的。下面我們看另一類(lèi)型的拓展—— 物理情形：如圖9所示，兩根相同的彈性系數(shù)分別為k1和k2的輕質(zhì)彈簧，連接一個(gè)質(zhì)量為m的滑塊，可以在光滑的水平面上滑動(dòng)。試求這個(gè)系統(tǒng)的振動(dòng)周期T 。 解說(shuō)：這里涉及的是彈簧的串、并聯(lián)知識(shí)綜合。根據(jù)彈性系數(shù)的定義，不難推導(dǎo)出幾個(gè)彈性系數(shù)分別為k1、k2、…、kn的彈簧串、并聯(lián)后的彈性系數(shù)定式（設(shè)新彈簧系統(tǒng)的彈性系數(shù)為k）——串聯(lián)： = 并聯(lián)：k = 在圖9所示的情形中，同學(xué)們不難得出：T = 2π 當(dāng)情形變成圖10時(shí)，會(huì)不會(huì)和圖9一樣呢？詳細(xì)分析形變量和受力的關(guān)系，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，事實(shí)上，這時(shí)已經(jīng)變成了彈簧的并聯(lián)。 答案：T = 2π 。 思考：如果兩個(gè)彈簧通過(guò)一個(gè)動(dòng)滑輪（不計(jì)質(zhì)量）再與質(zhì)量為m的鉤碼相連，如圖11所示，鉤碼在豎直方向上的振動(dòng)周期又是多少？ 解：這是一個(gè)極容易出錯(cuò)的變換——因?yàn)閳D形的外表形狀很象“并聯(lián)”。但經(jīng)過(guò)仔細(xì)分析后，會(huì)發(fā)現(xiàn)，動(dòng)滑輪在這個(gè)物理情形中起到了重要的作用——致使這個(gè)變換的結(jié)果既不是串聯(lián)、也不是并聯(lián)。 ★而且，我們前面已經(jīng)證明過(guò)，重力的存在并不會(huì)改變彈簧振子的振動(dòng)方程，所以為了方便起見(jiàn)，這里（包括后面一個(gè)“在思考”題）的受力分析沒(méi)有考慮重力。 具體分析如下： 設(shè)右邊彈簧的形變量為x2 、滑輪（相對(duì)彈簧自由長(zhǎng)度時(shí)）的位移為x 、鉤子上的拉力為F ，則 k1x1 = k2x2 x = F = 2 k2x2 解以上三式，得到：F = x ，也就是說(shuō)，彈簧系統(tǒng)新的彈性系數(shù)k = 。 答：T = π 。 再思考：如果兩彈簧和鉤碼通過(guò)輕桿和轉(zhuǎn)軸，連成了圖12所示的系統(tǒng)，已知k1 、k2 、m 、a 、b ，再求鉤碼的振動(dòng)周期T 。 思路提示：探討鉤碼位移和回復(fù)力關(guān)系，和“思考”題類(lèi)似。 （過(guò)程備考：設(shè)右彈簧伸長(zhǎng)x2 ，則中間彈簧伸長(zhǎng)x1 = x2 鉤碼的位移量x = x1 + x2 而鉤碼的回復(fù)力F = k1x1 結(jié)合以上三式解回復(fù)力系數(shù)k = = ，所以…） 答：T = 2π 。 2、單擺 單擺分析的基本點(diǎn)，在于探討其回復(fù)力隨位移的變化規(guī)律。相對(duì)原始模型的伸展，一是關(guān)于擺長(zhǎng)的變化，二是關(guān)于“視重加速度”的變化，以及在具體情形中的處理。至于復(fù)雜的擺動(dòng)情形研究，往往會(huì)超出這種基本的變形，而僅僅是在分析方法上做適當(dāng)借鑒。 物理情形1：如圖13所示，在一輛靜止的小車(chē)內(nèi)用長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕繩靜止懸掛著一個(gè)小鋼球，當(dāng)小車(chē)突然獲得水平方向的大小為a的加速度后（a＜g），試描述小球相對(duì)小車(chē)的運(yùn)動(dòng)。 模型分析：小鋼球相對(duì)車(chē)向a的反方向擺起，擺至繩與豎直方向夾角θ= arctg時(shí)，達(dá)到最大速度，此位置即是小球相對(duì)車(chē)“單擺”的平衡位置。以車(chē)為參照，小球受到的場(chǎng)力除了重力G外，還有一慣性力F 。所以，此時(shí)小球在車(chē)中相當(dāng)于處在一個(gè)方向傾斜θ、大小變?yōu)榈男隆爸亓Α钡淖饔茫瑢俪厍闆r。這是一種“視重加速度”增加的情形。 解說(shuō)：由于擺長(zhǎng)L未變，而g視 = ，如果a很小，致使最大擺角不超過(guò)5的話(huà)，小角度單擺可以視為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，周期也可以求出來(lái)。 答案：小球以繩偏離豎直方向θ= arctg的角度為平衡位置做最大擺角為θ的單擺運(yùn)動(dòng)，如果θ≤5，則小球的擺動(dòng)周期為T(mén) = 2π 物理情形2：某秋千兩邊繩子不等長(zhǎng)，且懸點(diǎn)不等高，相關(guān)數(shù)據(jù)如圖14所示，且有a2 + b2 = + ，試求它的周期（認(rèn)為人的體積足夠小）。 模型分析：用C球替代人，它實(shí)際上是在繞AB軸擺動(dòng)，類(lèi)似將單擺放置在光滑斜面上的情形。故視重加速度g視 = gcosθ= g ，等效擺長(zhǎng)l = ，如圖15所示。 由于a2 + b2 = + 可知，AC⊥CB ，因此不難求出 = ，最后應(yīng)用單擺周期公式即可。 答案：T = 2π 。 相關(guān)變換1：如圖16所示，質(zhì)量為M的車(chē)廂中用長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)繩懸掛著一個(gè)質(zhì)量為m的小球，車(chē)輪與水平地面間的摩擦不計(jì)，試求這個(gè)系統(tǒng)做微小振動(dòng)的周期。 分析：我們知道，證明小角度單擺作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)用到了近似處理。在本題，也必須充分理解“小角度”的含義，大膽地應(yīng)用近似處理方法。 解法一：以車(chē)為參照，小球?qū)⑾鄬?duì)一個(gè)非慣性系作單擺運(yùn)動(dòng)，在一般方位角θ的受力如圖17所示，其中慣性力F = ma ，且a為車(chē)子的加速度。由于球在垂直T方向振動(dòng)，故回復(fù)力 F回 = Gsinθ+ Fcosθ= mgsinθ+ macosθ ① *由于球作“微小”擺動(dòng)，其圓周運(yùn)動(dòng)效應(yīng)可以忽略，故有 T + Fsinθ≈ mgcosθ ② 再隔離車(chē)，有 Tsinθ= Ma ③ 解①②③式得 F回 = *再由于球作“微小”擺動(dòng)，sin2θ→0 ，所以 F回 = ④ 令擺球的振動(dòng)位移為x ，常規(guī)處理 sinθ≈ ⑤ 解④⑤即得 F回 = x 顯然， = k是恒定的，所以小球作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。最后求周期用公式即可。 解法二：由于車(chē)和球的系統(tǒng)不受合外力，故系統(tǒng)質(zhì)心無(wú)加速度。小球可以看成是繞此質(zhì)心作單擺運(yùn)動(dòng)，而新擺長(zhǎng)L′會(huì)小于L 。由于質(zhì)心是慣性參照系，故小球的受力、回復(fù)力的合成就很常規(guī)了。 若繩子在車(chē)內(nèi)的懸掛點(diǎn)在正中央，則質(zhì)心在水平方向上應(yīng)與小球相距x = Lsinθ，不難理解，“新擺長(zhǎng)”L′= L 。（從嚴(yán)謹(jǐn)?shù)囊饬x上來(lái)講，這個(gè)“擺長(zhǎng)”并不固定：隨著車(chē)往“平衡位置”靠近，它會(huì)加長(zhǎng)。所以，這里的等效擺長(zhǎng)得出和解法一的忽略圓周運(yùn)動(dòng)效應(yīng)事實(shí)上都是一種相對(duì)“模糊”的處理。如果非要做精準(zhǔn)的運(yùn)算，不啟用高等數(shù)學(xué)工具恐怕不行。） 答：T = 2π 。 相關(guān)變換2：如圖18所示，有一個(gè)均質(zhì)的細(xì)圓環(huán)，借助一些質(zhì)量不計(jì)的輻條，將一個(gè)與環(huán)等質(zhì)量的小球固定于環(huán)心處，然后用三根豎直的、長(zhǎng)度均為L(zhǎng)且不可伸長(zhǎng)的輕繩將這個(gè)物體懸掛在天花板上，環(huán)上三個(gè)結(jié)點(diǎn)之間的距離相等。試求這個(gè)物體在水平方向做微小扭動(dòng)的周期。 分析：此題的分析角度大變。象分析其它物理問(wèn)題一樣，分析振動(dòng)也有動(dòng)力學(xué)途徑和能量?jī)煞N途徑，此處若援用動(dòng)力學(xué)途徑尋求回復(fù)力系數(shù)k有相當(dāng)?shù)碾y度，因此啟用能量分析。 本題的任務(wù)不在簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的證明，而是可以直接應(yīng)用簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的相關(guān)結(jié)論。根據(jù)前面的介紹，任何簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的總能都可以表達(dá)為 E = kA2 ①而我們對(duì)過(guò)程進(jìn)行具體分析時(shí)，令最大擺角為θ（為了便于尋求參量，這里把擺角夸大了）、環(huán)和球的質(zhì)量均為m ，發(fā)現(xiàn)最大的勢(shì)能（即總能）可以表達(dá)為（參見(jiàn)圖19） E = 2mgL(1 ? cosθ) ② 且振幅A可以表達(dá)為 A = 2Lsin ③ 解①②③式易得：k = 最后求周期時(shí)應(yīng)注意，中間的球體未參與振動(dòng)，故不能納入振子質(zhì)量（振子質(zhì)量只有m）。 答：T = π 。 三、振動(dòng)的合成 物理情形：如圖20所示，一個(gè)手電筒和一個(gè)屏幕的質(zhì)量均為m ，都被彈性系數(shù)為k的彈簧懸掛著。平衡時(shí)手電筒的光斑恰好照在屏幕的正中央O點(diǎn)?，F(xiàn)在令手電筒和屏幕都在豎直方向上振動(dòng)（無(wú)水平晃動(dòng)或扭動(dòng)），振動(dòng)方程分別為y1 = Acos(ωt + φ1)，y2 = Acos(ωt + φ2) 。試問(wèn)：兩者初位相滿(mǎn)足什么條件時(shí)，可以形成這樣的效果：（1）光斑相對(duì)屏幕靜止不動(dòng)：（2）光斑相對(duì)屏幕作振幅為2A的振動(dòng)。 模型分析：振動(dòng)的疊加包括振動(dòng)的相加和相減。這里考查光斑相對(duì)屏幕的運(yùn)動(dòng)事實(shí)上是尋求手電筒相對(duì)屏幕的振動(dòng)，服從振動(dòng)的減法。設(shè)相對(duì)振動(dòng)為y ，有 y = y1 ? y2 = Acos(ωt + φ1) ? Acos(ωt + φ2) = ?2Asinsin() 解說(shuō)：（1）光斑相對(duì)屏幕靜止不動(dòng)，即y = 0 ，得 φ1 = φ2 （2）要振幅為2A ，必須 = 1 ，得φ1 ? φ2 = π 答案：初位相相同；初位相相反。 相關(guān)變換：一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)垂直的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其表達(dá)式分別為x = 2cos(2ωt +2φ) ，y = sinωt 。（1）設(shè)φ = ，求質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程，并在xOy平面繪出其曲線(xiàn)；（2）設(shè)φ = π ，軌跡曲線(xiàn)又怎樣？ 解：兩個(gè)振動(dòng)方程事實(shí)已經(jīng)構(gòu)成了質(zhì)點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程，我們所要做的，只不過(guò)是消掉參數(shù)，并尋求在兩個(gè)具體φ值下的特解。在實(shí)際操作時(shí)，將這兩項(xiàng)工作的次序顛倒會(huì)方便一些。 （1）當(dāng)φ = 時(shí)，x = ?2(1 ? 2sin2ωt) ，即 x = 4y2 ? 2 描圖時(shí)應(yīng)注意，振動(dòng)的物理意義體現(xiàn)在：函數(shù)的定義域 ?1 ≤ y ≤ 1 (這事實(shí)上已經(jīng)決定了值域 ?2 ≤ x ≤ 2 ) （2）當(dāng)φ =π時(shí)，同理 x = 2(1 ? 2sin2ωt)= 2 ? 4y2 答：軌跡方程分別為x = 4y2 ? 2和x = 2 ? 4y2 ，曲線(xiàn)分別如圖21的（a）（b）所示—— 四、簡(jiǎn)諧波的基本計(jì)算 物理情形：一平面簡(jiǎn)諧波向?x方向傳播，振幅A = 6cm ，圓頻率ω= 6πrad/s ，當(dāng)t = 2.0s時(shí)，距原點(diǎn)O為12cm處的P點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)為yP = 3cm ，且vP ＞ 0 ,而距原點(diǎn)22cm處的Q點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)為yQ = 0 ，且vQ ＜ 0 。設(shè)波長(zhǎng)λ＞10cm ，求振動(dòng)方程，并畫(huà)出t = 0時(shí)的波形圖。 解說(shuō)：這是一個(gè)對(duì)波動(dòng)方程進(jìn)行了解的基本訓(xùn)練題。簡(jiǎn)諧波方程的一般形式已經(jīng)總結(jié)得出，在知道A、ω的前提下，加上本題給出的兩個(gè)特解，應(yīng)該足以解出v和φ值。 由一般的波動(dòng)方程y = Acos〔ω（t - ）+ φ〕 （★說(shuō)明：如果我們狹義地理解為波源就在坐標(biāo)原點(diǎn)的話(huà)，題目給出特解是不存在的——因?yàn)椴ㄏ?x方向傳播——所以，此處的波源不在原點(diǎn)。同學(xué)們自己理解：由于初相φ的任意性，上面的波動(dòng)方程對(duì)波源不在原點(diǎn)的情形也是適用的。） 參照簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的位移方程和速度方程的關(guān)系，可以得出上面波動(dòng)方程所對(duì)應(yīng)質(zhì)點(diǎn)的速度（復(fù)變函數(shù)） v = ?ωAsin〔ω（t - ）+ φ〕 代t = 2.0s時(shí)P的特解，有—— yP = 6cos〔6π（2 - ）+ φ〕= 3 ，vP = ?36πsin〔6π（2 - ）+ φ〕＞ 0 即 6π（2 - ）+ φ = 2k1π - ① 代t = 2.0s時(shí)Q的特解，有—— yQ = 6cos〔6π（2 - ）+ φ〕= 0 ，vQ = ?36πsin〔6π（2 - ）+ φ〕＜ 0 即 6π（2 - ）+ φ = 2k2π + ② 又由于 = 22 ? 12 = 10 ＜λ ，故k1 = k2 。解①②兩式易得 v = ?72cm/s ， φ= （或?） 所以波動(dòng)方程為：y = 6cos〔6π（t + ）+ 〕，且波長(zhǎng)λ= v = 24cm 。 當(dāng)t = 0時(shí)， y = 6cos（x + ），可以描出y-x圖象為—— 答案：波動(dòng)方程為y = 6cos〔6π（t + ）+ 〕，t = 0時(shí)的波形圖如圖22所示。 相關(guān)變換：同一媒質(zhì)中有甲、乙兩列平面簡(jiǎn)諧波，波源作同頻率、同方向、同振幅的振動(dòng)。兩波相向傳播，波長(zhǎng)為8m ，波傳播方向上A、B兩點(diǎn)相距20m ，甲波在A(yíng)處為波峰時(shí)，乙波在B處位相為? ，求AB連線(xiàn)上因干涉而靜止的各點(diǎn)的位置。 解：因?yàn)椴恢兰?、乙兩波源的位置，設(shè)它們分別在S1和S2兩點(diǎn)，距A、B分別為a和b ，如圖23所示。 它們?cè)贏(yíng)、B之間P點(diǎn)（坐標(biāo)為x）形成的振動(dòng)分別為—— y甲 = Acosω（t - ）= Acos〔ωt ? （a + x）〕 y乙 = Acosω（t ? ）= Acos〔ωt ? （20 + b ? x）〕 這也就是兩波的波動(dòng)方程（注意：由于兩式中a、b、x均是純數(shù)，故乙波的速度矢量性也沒(méi)有表達(dá)） 當(dāng)甲波在A(yíng)處（x = 0）為波峰時(shí)，有 ωt = ①此時(shí)，乙波在B處（x = 20）的位相為? ，有 ωt ? = ? ② 結(jié)合①②兩式，得到 b ? a = 2 所以，甲波在任意坐標(biāo)x處的位相 θ甲 = ωt ? （a + x） 乙波則為θ乙 = ωt ? （22 + a ? x） 兩列波因干涉而靜止點(diǎn)，必然滿(mǎn)足θ甲 ?θ乙 =（2k - 1）π所以有 x = 13 ? 4k ，其中 k = 0，1，2，… 在0~20的范圍內(nèi)，x = 1、5、9、13、17m 答：距A點(diǎn)1m、5m、9m、13m、17m的五個(gè)點(diǎn)因干涉始終處于靜止?fàn)顟B(tài)。 思考：此題如果不設(shè)波源的位置也是可以解的，請(qǐng)同學(xué)們自己嘗試一下… （后記：此題直接應(yīng)用波的干涉的結(jié)論——位相差的規(guī)律，如若不然，直接求y甲和y乙的疊加，解方程將會(huì)困難得多。此外如果波源不是“同方向”振動(dòng)，位相差的規(guī)律會(huì)不同。） 第三講 典型例題解析 教材范本：龔霞玲主編《奧林匹克物理思維訓(xùn)練教材》，知識(shí)出版社，xx年8月第一版。 例題選講針對(duì)“教材”第九、第十章的部分例題和習(xí)題。關(guān)于波的知識(shí)，現(xiàn)在的很多奧賽教材都基本只涉及高考范疇的內(nèi)容，《奧林匹克物理思維訓(xùn)練教材》的第十章也是如此。這是不是意味著奧賽的考綱有所更新——要求降低了？