高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.5.3 微積分基本定理(二)課件 蘇教版選修2-2.ppt
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1.5.3 微積分基本定理(二),第 1章 1.5 定積分,1.理解定積分的幾何意義,會(huì)通過定積分求由兩條或多條曲線圍成的圖形的面積. 2.掌握利用定積分求曲邊梯形面積的幾種常見題型及方法. 3.通過具體實(shí)例了解定積分在物理中的應(yīng)用,會(huì)求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程和變力做功的問題.,,學(xué)習(xí)目標(biāo),,,欄目索引,,,知識(shí)梳理 自主學(xué)習(xí),題型探究 重點(diǎn)突破,當(dāng)堂檢測(cè) 自查自糾,知識(shí)梳理 自主學(xué)習(xí),知識(shí)點(diǎn)一 定積分在求幾何圖形面積方面的應(yīng)用 1.求由一條曲線y=f(x)和直線x=a,x=b(a<b)及y=0所圍成的平面圖形的面積S.,,答案,,答案,,2.求由兩條曲線f(x)和g(x)(f(x)>g(x)),直線x=a,x=b (a<b)所圍成平面圖形的面積S. (1)如圖④,當(dāng)f(x)>g(x)≥0時(shí),S= .,答案,3.當(dāng)g(x)<f(x)≤0時(shí),同理得S= .,,思考 (1)怎樣利用定積分求不分割型圖形的面積? 答案 求由曲線圍成的面積,要根據(jù)圖形,確定積分上下限,用定積分來表示面積,然后計(jì)算定積分即可. (2)當(dāng)f(x)0時(shí),f(x)與x軸所圍圖形的面積怎樣表示? 答案 如圖,因?yàn)榍吿菪紊线吔绾瘮?shù)為g(x)=0,下邊界函數(shù)為f(x),,答案,4.利用定積分求平面圖形面積的步驟: (1)畫出圖形:在平面直角坐標(biāo)系中畫出曲線或直線的大致圖象; (2)確定圖形范圍,通過解方程組求出交點(diǎn)的橫坐標(biāo)(或縱坐標(biāo)),確定積分上、下限; (3)確定被積函數(shù); (4)寫出平面圖形面積的定積分表達(dá)式; (5)利用微積分基本定理計(jì)算定積分,求出平面圖形的面積,寫出答案.,,知識(shí)點(diǎn)二 定積分在物理中的應(yīng)用 1.在變速直線運(yùn)動(dòng)中求路程、位移 路程是位移的絕對(duì)值之和,從時(shí)刻t=a到時(shí)刻t=b所經(jīng)過的路程s和位移s′分別為: (1)若v(t)≥0,則s= ,s′= . (2)若v(t)≤0,則s= ,s′= . (3)若在區(qū)間[a,c]上v(t)≥0,在區(qū)間[c,b]上v(t)0, 則s= ,s′= .,答案,,2.定積分在物理中的應(yīng)用 (1)做變速直線運(yùn)動(dòng)的物體所經(jīng)過的路程s,等于其速度函數(shù)v=v(t)(v(t)≥0)在時(shí)間區(qū)間[a,b]上的定積分,即s= . (2)一物體在恒力F(單位:N)的作用下做直線運(yùn)動(dòng),如果物體沿著與F相同的方向移動(dòng)了s(單位:m),則力F所做的功為W=Fs;而若是變力所做的功W,等于其力函數(shù)F(x)在位移區(qū)間[a,b]上的定積分,即W= .,答案,,思考 下列判斷正確的是______. (1)路程是標(biāo)量,位移是矢量,路程和位移是兩個(gè)不同的概念; (2)利用定積分求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程和位移是同一個(gè)式子 (3)利用定積分求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程和位移不是同一個(gè)式子 解析 (1)顯然正確. 對(duì)于(2)(3)兩個(gè)判斷,由于當(dāng)v(t)≥0時(shí),求某一時(shí)間段內(nèi)的路程和位移均用 求解; 當(dāng)v(t)0時(shí),求某一時(shí)間段內(nèi)的位移用 求解,這一時(shí)段的路程是位移的相反數(shù),即路程為 所以(2)錯(cuò)(3)正確.,,,,(1)(3),答案,返回,題型探究 重點(diǎn)突破,,解析答案,題型一 利用定積分求平面圖形的面積問題,反思與感悟,解 在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系上畫出兩個(gè)拋物線的大致圖形,如圖. 方法一 以x為積分變量.,設(shè)點(diǎn)P(1,0),則所求面積,,,,解析答案,反思與感悟,,方法二 以y為積分變量.,設(shè)點(diǎn)P(1,0),則所求面積,,反思與感悟,,反思與感悟,若以x為積分變量,則被積函數(shù)的原函數(shù)不易確定,而且計(jì)算也比較麻煩;若以y為積分變量,則可以避免這種情況.選取積分變量有時(shí)對(duì)解題很關(guān)鍵.,,解析答案,跟蹤訓(xùn)練1 在曲線y=x2(x≥0)上的某一點(diǎn)A處作一切線,使之與曲線以及x軸所圍成圖形的面積為 .試求:切點(diǎn)A的坐標(biāo)和過切點(diǎn)A的切線方程.,解 如圖所示,設(shè)切點(diǎn)A(x0,y0), 由y′=2x得過A點(diǎn)的切線方程為y-y0=2x0(x-x0),,設(shè)由曲線和過A點(diǎn)的切線及x軸所圍成圖形的面積為S, 則S=S曲邊△AOB-S△ABC.,S曲邊△AOB=,從而切點(diǎn)為A(1,1),切線方程為y=2x-1.,,解析答案,題型二 對(duì)用定積分解決變速問題的理解 例2 一點(diǎn)在直線上從時(shí)刻t=0(s)開始以速度v=t2-4t+3(m/s)運(yùn)動(dòng),求: (1)此點(diǎn)在t=4 s時(shí)的位置; (2)此點(diǎn)在t=4 s時(shí)運(yùn)動(dòng)的路程.,反思與感悟,,解 因?yàn)槲恢脹Q定于位移,所以它是v(t)在[0,4]上的定積分,而路程是位移的絕對(duì)值之和,所以需要判斷在[0,4]上哪些時(shí)間段的位移為負(fù).,(2)因?yàn)関(t)=t2-4t+3=(t-1)(t-3),所以在區(qū)間[0,1]及[3,4]上,v(t)≥0, 在區(qū)間[1,3]上,v(t)≤0,所以該點(diǎn)在t=4 s時(shí)的路程為,反思與感悟,,反思與感悟,解決此類問題的一般步驟:(1)求出每一時(shí)間段上的速度函數(shù);(2)根據(jù)定積分的物理意義,求出對(duì)應(yīng)時(shí)間段上的定積分.,,解析答案,跟蹤訓(xùn)練2 有一輛汽車以每小時(shí)36 km的速度沿平直的公路行駛,在B處需要減速停車.設(shè)汽車以2 m/s2的加速度剎車,問:從開始剎車到停車,汽車行駛了多遠(yuǎn)? 解 設(shè)從開始剎車到停車,汽車經(jīng)過了t s. v0=36 km/h=10 m/s,v(t)=v0-at=10-2t. 令v(t)=0,解得t=5. 所以從開始剎車到停車,汽車行駛的路程為,故從開始剎車到停車,汽車行駛了25 m.,,解析答案,題型三 用定積分解決變力做功問題 例3 設(shè)有一個(gè)長(zhǎng)為25 cm的彈簧,若加以100 N的力,則彈簧伸長(zhǎng)到30 cm,求使彈簧由25 cm伸長(zhǎng)到40 cm所做的功.,解 設(shè)x表示彈簧伸長(zhǎng)的長(zhǎng)度,f(x)表示加在彈簧上的力, 則f(x)=kx(其中常數(shù)k為比例系數(shù)). 因?yàn)楫?dāng)f(x)=100時(shí),x=5,所以k=20. 所以f(x)=20x. 彈簧由25 cm伸長(zhǎng)到40 cm時(shí),彈簧伸長(zhǎng)的長(zhǎng)度x從0 cm變化到15 cm,,反思與感悟,,反思與感悟,(1)根據(jù)物理學(xué)知識(shí),求出變力f(x)的表達(dá)式;(2)由功的物理意義知,物體在變力f(x)的作用下,沿力的方向做直線運(yùn)動(dòng),使物體由一個(gè)位置移到另一個(gè)位置,因此,求功之前應(yīng)先求出位移的起始位置和終止位置;(3)根據(jù)變力做功的公式W= 求出變力所做的功.,,解析答案,跟蹤訓(xùn)練3 如圖所示,設(shè)氣缸內(nèi)活塞一側(cè)存在一定量氣體,氣體做等溫膨脹時(shí)推動(dòng)活塞向右移動(dòng)一段距離,若氣體體積由V1變?yōu)閂2,求氣體壓力所做的功.,解 由物理學(xué)知識(shí)知,氣體膨脹為等溫過程,,L表示活塞移動(dòng)的距離,V=LQ).,記L1,L2分別表示活塞的初始位置和終止位置, 于是有,,=C(ln V2-ln V1).,所以氣體體積由V1變?yōu)閂2,氣體壓力所做的功為C(ln V2-ln V1).,,例4 求由拋物線y2=8x(y>0)與直線x+y-6=0及y=0所圍成圖形的面積.,易錯(cuò)易混,用定積分求平面圖形面積時(shí),因?qū)D形分割不當(dāng)致誤,解析答案,返回,防范措施,,錯(cuò)解 由題意,作出圖形如圖,所以拋物線y2=8x(y>0)與直線x+y-6=0的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,4),,,,解析答案,防范措施,,防范措施,,合理劃分積分上、下限及正確選擇積分變量,最好結(jié)合圖形進(jìn)行處理.,,返回,防范措施,當(dāng)堂檢測(cè),1,2,3,4,5,1.在下面所給圖形的面積S及相應(yīng)表達(dá)式中,正確的有________.,,1,2,3,4,5,解析答案,1,2,3,4,5,③和④正確. 答案 ③④,,解析答案,1,2,3,4,5,解析,,,=1-0+1+1=3.,3,,1,2,3,4,5,3.一列車沿直線軌道前進(jìn),剎車后列車速度v(t)=27-0.9t,則列車剎車距離為_____.,解析 停車時(shí)v(t)=0,由27-0.9t=0,得t=30,,405,解析答案,,解析答案,1,2,3,4,5,4.由曲線y=x2+4與直線y=5x,x=0,x=4所圍成平面圖形的面積是____.,解析 由圖形可得,,解析答案,1,2,3,4,5,5.一個(gè)彈簧壓縮x cm可產(chǎn)生4x N的力,把它從自然長(zhǎng)度壓縮到比自然長(zhǎng)度短5 cm,求彈簧克服彈力所做的功.,解 設(shè)F(x)=kx, ∵彈簧壓縮x cm可產(chǎn)生4x N的力,∴k=4.,,課堂小結(jié),1.利用定積分求平面圖形面積的一般步驟: (1)在平面直角坐標(biāo)系中畫出圖形;(2)通過解方程求出交點(diǎn)坐標(biāo);(3)寫出平面圖形面積的定積分表達(dá)式,當(dāng)被求平面區(qū)域較復(fù)雜時(shí),可分割求和;(4)運(yùn)用微積分基本定理計(jì)算定積分,求出平面圖形的面積. 2.路程問題. (1)用定積分解決變速直線運(yùn)動(dòng)的位移和路程問題時(shí),將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是關(guān)鍵.(2)路程是位移的絕對(duì)值之和,因此在求路程時(shí),要先判斷速度在區(qū)間內(nèi)是否恒正,若符號(hào)不定,應(yīng)求出使速度恒正或恒負(fù)的區(qū)間,然后分別計(jì)算.,3.變力做功問題. (1)變力做功問題,首先要將變力用其方向上的位移表示出來,這是關(guān)鍵一步.(2)根據(jù)變力做功的公式,將其轉(zhuǎn)化為求定積分的問題.,,返回,- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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