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2019-2020年高三數學一輪復習 第七章 不等式、推理與證明第五節(jié) 合情推理與演繹推理練習 一、選擇題(65分＝30分) 1．下列幾種推理過程是演繹推理的是(　　) A．兩條平行直線與第三條直線相交，內錯角相等，如果∠A和∠B是兩條平行直線的內錯角，則∠A＝∠B B．金導電，銀導電，銅導電，鐵導電，所以一切金屬都導電 C．由圓的性質推測球的性質 D．科學家利用魚的沉浮原理制造潛艇 解析：兩條平行直線與第三條直線相交，內錯角相等，(大前提) ∠A與∠B是兩條平行直線的內錯角，(小前提) ∠A＝∠B.(結論) B是歸納推理，C、D是類比推理． 答案：A 2．下面使用類比推理正確的是(　　) A．“若a3＝b3，則a＝b”類推出“若a0＝b0，則a＝b” B．“(a＋b)c＝ac＋bc”類推出“＝＋” C．“(a＋b)c＝ac＋bc”類推出“＝＋(c≠0)” D．“(ab)n＝anbn”類推出“(a＋b)n＝an＋bn” 解析：由類比推理的特點可知C正確． 答案：C 3．由>，>，>，…若a>b>0且m>0，則與之間大小關系為(　　) A．相等　　　　　　　 B．前者大 C．后者大 D．不確定 解析：觀察題設規(guī)律，由歸納推理易得>. 答案：B 4．如圖所示，面積為S的平面凸四邊形的第i條邊的邊長記為ai(i＝1,2,3,4)，此四邊形內任一點P到第i條邊的距離為hi(i＝1,2,3,4)，若＝＝＝＝k，則(ihi)＝.類比以上性質，體積為V的三棱錐的第i個面的面積記為Si(i＝1,2,3,4)，此三棱錐內任一點Q到第i個面的距離記為Hi(i＝1,2,3,4)，若＝＝＝＝K，則(iHi)＝(　　) A. B. C. D. 解析：平面中的面積與空間中的體積類比，平面二維與空間三維類比． 答案：B 5．(xx舟山模擬)定義A*B，B*C，C*D，D*A的運算分別對應圖中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么圖中(A)、(B)所對應的運算結果可能是(　　) A．B*D、A*D B．B*D、A*C C．B*C、A*D D．C*D、A*D 解析：根據(1)、(2)、(3)、(4)可知A對應|； B對應□；C對應——；D對應○. 答案：B 6．(xx清遠模擬)設f(x)＝，又記f1(x)＝f(x)，fk＋1(x)＝f(fk(x))，k＝1,2，…，則f2 009(x)等于(　　) A．－ B．x C. D. 解析：計算f2(x)＝f()＝＝－， f3(x)＝f(－)＝＝，f4(x)＝＝x， f5(x)＝f1(x)＝，歸納得f4k＋1(x)＝，k∈N*， 從而f2 009(x)＝. 答案：D 二、填空題(35分＝15分) 7．(xx南陽模擬)觀察下列圖形中小正方形的個數，則第6個圖中有________個小正方形． 解析：第1～5個圖形中分別有3,6,10,15,21個小正方形，它們分別為1＋2,1＋2＋3,1＋2＋3＋4,1＋2＋3＋4＋5,1＋2＋3＋4＋5＋6， 因此an＝1＋2＋3＋…＋(n＋1)． 故a6＝1＋2＋3＋…＋7＝＝28， 即第6個圖中有28個小正方形． 答案：28 8．(xx福州模擬)根據三角恒等變換，可得如下等式： cosθ＝cosθ； cos2θ＝2cos2θ－1； cos3θ＝4cos3θ－3cosθ； cos4θ＝8cos4θ－8cos2θ＋1； cos5θ＝16cos5θ－20cos3θ＋5cosθ. 依此規(guī)律，猜測cos6θ＝32cos6θ＋mcos4θ＋ncos2θ－1，其中m＋n＝________. 解析：由所給的三角恒等變換等式可知，系數和常數項的和是1，∴32＋m＋n－1＝1，∴m＋n＝－30. 答案：－30 9．(xx福建高考)觀察下列等式： ①cos2α＝2cos2α－1； ②cos4α＝8cos4α－8cos2α＋1； ③cos6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1； ④cos8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1； ⑤cos10α＝mcos10α－1 280cos8α＋1 120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1. 可以推測，m－n＋p＝________. 解析：各式第一項系數依次為2,23,25,27，m，依規(guī)律可得m＝29＝512；各式中cos2α的系數依次為212，－222,232，－242，p，由規(guī)律推出p＝252＝50；由各式系數和為1可推出n＝－400，則m－n＋p＝962. 答案：962 三、解答題(共37分) 10．(12分)(xx青島調研)已知橢圓具有性質：若M、N是橢圓C上關于原點對稱的兩個點，點P是橢圓上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為kPM，kPN時，那么kPM與kPN之積是與點P的位置無關的定值．試對雙曲線－＝1寫出具有類似特性的性質，并加以證明． 解析：類似的性質為：若M、N是雙曲線－＝1上關于原點對稱的兩個點，點P是雙曲線上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為kPM，kPN時，那么kPM與kPN之積是與點P的位置無關的定值． 證明如下： 設點M、P的坐標分別為(m，n)，(x，y)， 則N(－m，－n)． 因為點M(m，n)在已知雙曲線上， 所以n2＝m2－b2.同理y2＝x2－b2. 則kPMkPN＝＝ ＝＝(定值)． 11．(12分)先閱讀下列不等式的證法，再解決后面的問題： 已知a1，a2∈R，a1＋a2＝1，求證a12＋a22≥. 證明：構造函數f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2， f(x)＝2x2－2(a1＋a2)x＋a12＋a22＝2x2－2x＋a12＋a22. 因為對一切x∈R，恒有f(x)≥0，所以Δ＝4－8(a12＋a22)≤0，從而得a12＋a22≥. (1)若a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1，請寫出上述問題的推廣式； (2)參與上述證法，對你推廣的問題加以證明． (1)解析：若a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1. 求證：a12＋a22＋…＋an2≥. (2)證明：構造函數f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2 ＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋a12＋a22＋…＋an2＝nx2－2x＋a12＋a22＋…＋an2.因為對一切x∈R，都有f(x)≥0，所以Δ＝4－4n(a12＋a22＋…＋an2)≤0， 從而證得：a12＋a22＋…＋an2≥. 12．(13分)(xx廣東六校)某少數民族的刺繡有著悠久的歷史，如圖(1)、(2)、(3)、(4)為她們刺繡最簡單的四個圖案，這些圖案都是由小正方形構成，小正方形數越多刺繡越漂亮．現按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設第n個圖形包括f(n)個小正方形． (1)寫出f(5)的值； (2)利用合情推理的“歸納推理思想”，歸納出f(n＋1)與f(n)之間的關系式，并根據你得到的關系式求出f(n)的表達式； (3)求＋＋＋…＋的值． 解析：(1)f(5)＝41. (2)因為f(2)－f(1)＝4＝41， f(3)－f(2)＝8＝42， f(4)－f(3)＝12＝43， f(5)－f(4)＝16＝44， …… 由上式規(guī)律，所以得出f(n＋1)－f(n)＝4n. 因為f(n＋1)－f(n)＝4n?f(n＋1)＝f(n)＋4n ?f(n)＝f(n－1)＋4(n－1) ＝f(n－2)＋4(n－1)＋4(n－2) ＝f(n－3)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3) ＝… ＝f(1)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋…＋4 ＝2n2－2n＋1. (3)當n≥2時，＝＝(－)， ∴＋＋＋…＋ ＝1＋(1－＋－＋－＋…＋－) ＝1＋(1－)＝－.