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2019-2020年高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 4-28幾何證明選講同步練習(xí) 理 人教版 班級(jí)________ 姓名_______　時(shí)間：45分鐘　分值：100分　總得分_______ 一、填空題(每小題6分，共30分) 1．(xx陜西)如圖，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，則BE＝________. 解析：由∠B＝∠D，AE⊥BC，知△ABE∽△ADC， ∴＝，∴AE＝AC＝＝2，∴BE＝＝＝4. 答案：4 2.(xx湖南)如圖，A、E是半圓周上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，直線BC＝4，AD⊥BC，垂足為D，BE與AD相交于點(diǎn)F，則AF的長為________． 解析： 如圖所示，∵A、E是半圓周上兩個(gè)三等分點(diǎn)， ∴△ABO和△AOE均為正三角形． ∴AE＝BO＝BC＝2.∵AD⊥BC， ∴AD＝＝，BD＝1. 又∠BOA＝∠OAE＝60，∴AE∥BD. ∴△BDF∽△EAF，∴＝＝. ∴AF＝2FD，∴3AF＝2(FD＋AF)＝2AD＝2， ∴AF＝. 答案： 3．(xx深圳卷)如圖，A，B是兩圓的交點(diǎn)，AC是小圓的直徑，D和E分別是CA和CB的延長線與大圓的交點(diǎn)，已知AC＝4，BE＝10，且BC＝AD，則DE＝________. 解析：連接AB，設(shè)BC＝AD＝x，結(jié)合圖形可得 △CAB與△CED相似，于是＝. 即＝?x＝2. 又因?yàn)锳C是小圓的直徑，所以∠CBA＝90， 由于∠CDE＝∠CBA，所以∠CDE＝90. 在直角三角形CDE中，DE＝＝＝6. 答案：6 4．(xx佛山卷)如圖，過圓外一點(diǎn)P作⊙O的割線PBA與切線PE，E為切點(diǎn)，連接AE、BE，∠APE的平分線分別與AE、BE相交于點(diǎn)C、D，若∠AEB＝30，則∠PCE＝________. 解析：由切割線性質(zhì)得：PE2＝PBPA，即＝， ∴△PBE∽△PEA，∴∠PEB＝∠PAE，又△PEA的內(nèi)角和為2(∠CPA＋∠PAE)＋30＝180，所以∠CPA＋∠PAE＝75，即∠PCE＝75. 答案：75 5.如圖，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段AB，AD的中點(diǎn)，則EF＝________. 分析：本題考查勾股定理及三角形中位線的性質(zhì)． 解析：連接BD、DE，由題意可知DE⊥AB，DE＝a，BC＝DE＝a，∴BD＝ ＝a，∴EF＝BD＝. 答案： 二、解答題(每小題10分，共70分) 6．如圖，已知△ABC的兩條角平分線AD和CE相交于H，∠B＝60，F(xiàn)在AC上，且AE＝AF. (1)求證：B，D，H，E四點(diǎn)共圓； (2)求證：CE平分∠DEF. 證明：(1)在△ABC中，因?yàn)椤螧＝60，所以∠BAC＋∠BCA＝120.因?yàn)锳D，CE是角平分線，所以∠HAC＋∠HCA＝60，故∠AHC＝120.于是∠EHD＝∠AHC＝120.因?yàn)椤螮BD＋∠EHD＝180，所以B，D，H，E四點(diǎn)共圓． (2)連接BH，則BH為∠ABC的平分線，所以∠HBD＝30.由(1)知B，D，H，E四點(diǎn)共圓， 所以∠CED＝∠HBD＝30. 又∠AHE＝∠EBD＝60，由已知可得EF⊥AD， 可得∠CEF＝30， 所以CE平分∠DEF. 7．如圖所示，⊙O為△ABC的外接圓，且AB＝AC，過點(diǎn)A的直線交⊙O于D，交BC的延長線于F，DE是BD的延長線，連接CD. (1)求證：∠EDF＝∠CDF； (2)求證：AB2＝AFAD. 證明： (1)∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB.∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠CDF＝∠ABC.又∠ADB與∠EDF是對(duì)頂角， ∴∠ADB＝∠EDF.又∠ADB＝∠ACB， ∴∠EDF＝∠CDF. (2)由(1)知∠ADB＝∠ABC.又∵∠BAD＝∠FAB， ∴△ADB∽△ABF，∴＝，∴AB2＝AFAD. 8．(xx遼寧)如圖，A，B，C，D四點(diǎn)在同一圓上，AD的延長線與BC的延長線交于E點(diǎn)，且EC＝ED. (1)證明：CD∥AB； (2)延長CD到F，延長DC到G，使得EF＝EG，證明：A，B，G，F(xiàn)四點(diǎn)共圓． 證明：(1)因?yàn)镋C＝ED，所以∠EDC＝∠ECD. 因?yàn)锳，B，C，D四點(diǎn)在同一圓上，所以∠EDC＝∠EBA， 故∠ECD＝∠EBA. 所以CD∥AB. (2)由(1)知，AE＝BE，因?yàn)镋F＝EG，故∠EFD＝∠EGC， 從而∠FED＝∠GEC. 連接AF，BG，則△EFA≌△EGB，故∠FAE＝∠GBE. 又CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，所以∠FAB＝∠GBA， 所以∠AFG＋∠GBA＝180， 故A，B，G，F(xiàn)四點(diǎn)共圓． 9．已知，如圖，AB是⊙O的直徑，G為AB延長線上的一點(diǎn)，GCD是⊙O的割線，過點(diǎn)G作AB的垂線，交直線AC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，過G作⊙O的切線，切點(diǎn)為H.求證： (1)C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共圓； (2)GH2＝GEGF. 證明：(1)連接CB，∵∠ACB＝90，AG⊥FG，又∵∠EAG＝∠BAC， ∴∠ABC＝∠AEG.∵∠ADC＝180－∠ABC＝180－∠AEG＝∠CEF，∴∠ADC＋∠FDC＝∠CEF＋∠FDC＝180， ∴C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共圓． (2)由C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共圓，知∠GCE＝∠AFE，∠GEC＝∠GDF，∴△GCE∽△GFD，故＝，即GCGD＝GEGF.∵GH為圓的切線，GCD為割線， ∴GH2＝GCGD，∴GH2＝GEGF. 10．(xx課標(biāo))如圖，D，E分別為△ABC的邊AB，AC上的點(diǎn)，且不與△ABC的頂點(diǎn)重合．已知AE的長為m，AC的長為n，AD，AB的長是關(guān)于x的方程x2－14x＋mn＝0的兩個(gè)根． (1)證明：C，B，D，E四點(diǎn)共圓； (2)若∠A＝90，且m＝4，n＝6，求C，B，D，E所在圓的半徑． 解：(1)證明：連接DE，根據(jù)題意在△ADE和△ACB中， ADAB＝mn＝AEAC， 即＝.又∠DAE＝∠CAB，從而△ADE∽△ACB. 因此∠ADE＝∠ACB. 所以C，B，D，E四點(diǎn)共圓． (2)m＝4，n＝6時(shí)，方程x2－14x＋mn＝0的兩根為x1＝2，x2＝12.故AD＝2，AB＝12. 取CE的中點(diǎn)G，DB的中點(diǎn)F，分別過G，F(xiàn)作AC，AB的垂線，兩垂線相交于H點(diǎn)，連接DH.因?yàn)镃，B，D，E四點(diǎn)共圓，所以C，B，D，E四點(diǎn)所在圓的圓心為H，半徑為DH. 由于∠A＝90，故GH∥AB，HF∥AC.從而HF＝AG＝5，DF＝(12－2)＝5. 故C，B，D，E四點(diǎn)所在圓的半徑為5. 11.(xx哈師大附中、東北師大附中、遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)第一次聯(lián)考)已知四邊形PQRS是圓內(nèi)接四邊形，∠PSR＝90，過點(diǎn)Q作PR、PS的垂線，垂足分別為點(diǎn)H、K. (1)求證：Q、H、K、P四點(diǎn)共圓； (2)求證：QT＝TS. 證明：(1)∵∠PHQ＝∠PKQ＝90， ∴Q、H、K、P四點(diǎn)共圓． (2)∵Q、H、K、P四點(diǎn)共圓，∴∠HKS＝∠HQP， ① ∵∠PSR＝90，∴PR為圓的直徑，∴∠PQR＝90，∠QRH＝∠HQP， ② 而∠QSP＝∠QRH， ③ 由①②③得，∠QSP＝∠HKS，TS＝TK， 又∠SKQ＝90，∵∠SQK＝∠TKQ，∴QT＝TK，∴QT＝TS. 12．(xx河南省教學(xué)質(zhì)量調(diào)研)如圖，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分線，交BC的延長線于點(diǎn)D，延長DA交△ABC的外接圓于點(diǎn)F，連接FB、FC. (1)求證：FB＝FC； (2)求證：FB2＝FAFD； (3)若AB是△ABC外接圓的直徑，∠EAC＝120，BC＝6 cm，求AD的長． 解：(1)證明：∵AD平分∠EAC. ∴∠EAD＝∠DAC. ∵四邊形AFBC內(nèi)接于圓， ∴∠DAC＝∠FBC. ∵∠EAD＝∠FAB＝∠FCB，∴∠FBC＝∠FCB， ∴FB＝FC. (2)證明：∵∠FAB＝∠FCB＝∠FBC，∠AFB＝∠BFD， ∴△FBA∽△FDB，∴＝， ∴FB2＝FAFD. (3)∵AB是圓的直徑，∴∠ACB＝90. ∵∠EAC＝120，∴∠DAC＝∠EAC＝60，∠BAC＝60. ∴∠D＝30. ∵BC＝6 cm，∴AC＝2cm，∴AD＝2AC＝4cm.