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2019-2020年高中數(shù)學 2-2-3第3課時 直線與橢圓的位置關系同步檢測 新人教版選修2-1 一、選擇題 1．點P為橢圓＋＝1上一點，以點P以及焦點F1、F2為頂點的三角形的面積為1，則P點的坐標為(　　) A．(，1)　　　　 B．(，1) C．(，1) D．(，1) [答案]　D [解析]　設P(x0，y0)，∵a2＝5，b2＝4，∴c＝1， ∴S△PF1F2＝|F1F2||y0|＝|y0|＝1，∴y0＝1， ∵＋＝1， ∴x0＝.故選D. 2．已知m、n、m＋n成等差數(shù)列，m、n、mn成等比數(shù)列，則橢圓＋＝1的離心率為(　　) A.　　　 B.　　　 C.　　　 D. [答案]　C [解析]　由已知得：， 解得，∴e＝＝，故選C. 3．在△ABC中，BC＝24，AB＋AC＝26，則△ABC面積的最大值為(　　) A．24 B．65 C．60 D．30 [答案]　C [解析]　∵AB＋AC>BC，∴A點在以BC為焦點的橢圓上，因此當A為短軸端點時，△ABC面積取最大值Smax＝BC5＝60，∴選C. 4．已知P是以F1、F2為焦點的橢圓＋＝1(a>b>0)上一點，若＝0，tan∠PF1F2＝，則橢圓的離心率為(　　) A.　　　 B.　　　 C.　　　 D. [答案]　D [解析]　由＝0知∠F1PF2為直角， 設|PF1|＝x，由tan∠PF1F2＝知，|PF2|＝2x， ∴a＝x，由|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2得c＝x， ∴e＝＝. 5．如圖F1、F2分別是橢圓＋＝1(a>b>0)的兩個焦點，A和B是以O為圓心，以|OF1|為半徑的圓與該左半橢圓的兩個交點，且△F2AB是等邊三角形，則橢圓的離心率為(　　) A.　　　 B.　　　 C.　　　 D.－1 [答案]　D [解析]　連結AF1，由圓的性質知，∠F1AF2＝90， 又∵△F2AB是等邊三角形， ∴∠AF2F1＝30， ∴AF1＝c，AF2＝c， ∴e＝＝＝＝－1.故選D. 6．過橢圓＋＝1的焦點的最長弦和最短弦的長分別為(　　) A．8,6 B．4,3 C．2， D．4,2 [答案]　B [解析]　橢圓過焦點的弦中最長的是長軸，最短的為垂直于長軸的弦(通徑)是. ∴最長的弦為2a＝4，最短的弦為＝2＝3 故選B. 7．(09江西理)過橢圓＋＝1(a>b>0)的左焦點F1作x軸的垂線交橢圓于點P，F(xiàn)2為右焦點，若∠F1PF2＝60，則橢圓的離心率為(　　) A. B. C. D. [答案]　B [解析]　把x＝－c代入橢圓方程可得yc＝， ∴|PF1|＝，∴|PF2|＝， 故|PF1|＋|PF2|＝＝2a，即3b2＝2a2 又∵a2＝b2＋c2， ∴3(a2－c2)＝2a2， ∴()2＝，即e＝. 8．已知點P是橢圓＋＝1在第三象限內(nèi)一點，且它與兩焦點連線互相垂直．若點P到直線4x－3y－2m＋1＝0的距離不大于3，則實數(shù)m的取值范圍是(　　) A．[－7,8] B．[－，] C．[－2,2] D．(－∞，－7]∪[8，＋∞) [答案]　A [解析]　橢圓＋＝1的兩焦點坐標分別為F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)，設橢圓上點P(x，y)(x<0，y<0)，由題意得 解得P(－3，－4) 由點到直線的距離公式可得 ≤3， 解得－7≤m≤8，故選A. 9．設橢圓＋＝1(a>b>0)的離心率為e＝，右焦點為F(c,0)，方程ax2＋bx－c＝0的兩個實根分別為x1和x2，則點P(x1，x2)(　　) A．必在圓x2＋y2＝2上 B．必在圓x2＋y2＝2外 C．必在圓x2＋y2＝2內(nèi) D．以上三種情形都有可能 [答案]　C [解析]　e＝?＝?c＝， ＝?＝ ?＝?b＝a ∴ax2＋bx－c＝0?ax2＋ax－＝0 ?x2＋x－＝0，x1＋x2＝－，x1x2＝－ ∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝＋1＝<2 ∴在圓x2＋y2＝2內(nèi)，故選C. 10．已知F1、F2是橢圓的兩個焦點，滿足＝0的點M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是(　　) A．(0,1) B．(0，] C．(0，) D．[，1) [答案]　C [解析]　依題意得，cb>0)的焦距為2c.以點O為圓心，a為半徑作圓M.若過點P作圓M的兩條切線互相垂直，則該橢圓的離心率為________． [答案]　 [解析]　設切點為Q、B，如圖所示．切線QP、PB互相垂直，又半徑OQ垂直于QP，所以△OPQ為等腰直角三角形，可得 a＝，∴e＝＝. 12．若過橢圓＋＝1內(nèi)一點(2,1)的弦被該點平分，則該弦所在直線的方程是______________． [答案]　x＋2y－4＝0 [解析]　設弦兩端點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＋＝1，＋＝1，兩式相減并把x1＋x2＝4，y1＋y2＝2代入得，＝－， ∴所求直線方程為y－1＝－(x－2)， 即x＋2y－4＝0. 13．設F1、F2分別為橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左右兩個焦點，若橢圓C上的點A(1，)到F1，F(xiàn)2兩點的距離之和為4，則橢圓C的方程是________，焦點坐標是________． [答案]　＋＝1；(1,0) [解析]　由|AF1|＋|AF2|＝2a＝4得a＝2 ∴原方程化為：＋＝1， 將A(1，)代入方程得b2＝3 ∴橢圓方程為：＋＝1，焦點坐標為(1,0) 14．如圖所示，某隧道設計為雙向四車道，車道總寬22米，要求通行車輛限高4.5米，隧道全長2.5千米，隧道的拱線近似地看成半個橢圓形狀． 若最大拱高h為6米，則隧道設計的拱寬l約為________．(精確到0.1米) [答案]　33.3米 [解析]　如圖所示，建立直角坐標系， 則點P(11,4.5)， 橢圓方程為＋＝1. 將b＝h＝6與點P坐標代入橢圓方程，得a＝， 此時l＝2a＝≈33.3 因此隧道的拱寬約為33.3米． 三、解答題 15．(xx北京文，19)已知橢圓C的左、右焦點坐標分別是(－，0)，(，0)，離心率是，直經(jīng)y＝t與橢圓C交于不同的兩點M、N，以線段MN為直徑作圓P，圓心為P. (1)求橢圓C的方程； (2)若圓P與x軸相切，求圓心P的坐標． [分析]　本題考查了圓和橢圓的標準方程，以及放縮法和三角換元在求最值中的應用． [解析]　(1)∵＝且c＝，∴a＝，b＝1. ∴橢圓c的方程為＋y2＝1. (2)由題意知點P(0，t)(－10，b>0，a≠b)欲求橢圓方程，需求a、b，為此需要得到關于a、b的兩個方程，由OM的斜率為，OA⊥OB易得a、b的兩個方程． [解析]　設A(x1，y1)，B(x2，y2), M(，)．由 ∴(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0. ∴＝，＝1－＝. ∴M(，)，∵kOM＝，∴b＝a.① ∵OA⊥OB，∴＝－1，∴x1x2＋y1y2＝0. ∵x1x2＝， y1y2＝(1－x1)(1－x2)＝1－(x1＋x2)＋x1x2 ＝1－＋＝. ∴＋＝0，∴a＋b＝2.② 由①②得a＝2(－1)，b＝2(2－)． ∴所求方程為2(－1)x2＋2(2－)y2＝1. [點評]　直線與橢圓相交的問題，通常采取設而不求，即設出A(x1，y1)，B(x2，y2)，但不是真的求出x1、y1、x2、y2，而是借助于一元二次方程根與系數(shù)的關系來解決問題. 由OA⊥OB得x1x2＋y1y2＝0是解決本題的關鍵． 17．A、B是兩定點，且|AB|＝2，動點M到A的距離為4，線段MB的垂直平分線l交MA于P. (1)求點P的軌跡方程； (2)若點P到A、B兩點的距離之積為m，當m取最大值時，求P的坐標． [解析]　(1)以直線AB為x軸，AB的垂直平分線為y軸建立直角坐標系，則A(－1,0)，B(1,0)． ∵l為MB的垂直平分線， ∴|PM|＝|PB|， ∴|PA|＋|PB|＝|PA|＋|PM|＝4， ∴點P的軌跡是以A，B為兩個焦點，長軸長為4的橢圓，其方程為＋＝1. (2)∵m＝|PA||PB|≤()2＝4， ∴當且僅當|PA|＝|PB|時，m最大，這時P的坐標(0，)或(0，－)． 18．已知A(4,0)、B(2,2)是橢圓＋＝1內(nèi)的兩個點，M是橢圓上的動點，求|MA|＋|MB|的最大值和最小值． [解析]　如下圖所示，由＋＝1，得a＝5，b＝3，c＝4. 所以點A(4,0)為橢圓一個焦點，記另一個焦點為F(－4,0)． 又因為|MA|＋|MF|＝2a＝10， 所以|MA|＋|MB|＝10－|MF|＋|MB|， 又|BF|＝2， 所以－2＝－|FB|≤|MB|－|MF|≤|FB|＝2. 所以10－2≤|MA|＋|MB|≤10＋2. 當F、B、M三點共線時等號成立．所以|MA|＋|MB|的最大值為10＋2，最小值為10－2. [點評]　本題應用三角形中兩邊之差小于第三邊，兩邊之和大于第三邊的思想，并結合橢圓定義求解．