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2019-2020年高三第二次調(diào)研考試 數(shù)學文 全卷滿分150分，時間120分鐘． 一．選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。 1．設集合，，則（ ） (A) (B) (C) (D) 2．已知復數(shù)的共軛復數(shù)為，若（為虛數(shù)單位），則（　　） (A) (B) (C) (D) 3．已知等差數(shù)列的前項和為，且，，則（ ） (A) (B) (C) (D) 4．已知雙曲線的漸近線方程為，則雙曲線的 離心率為 ( ) (A) (B) (C) (D) 5．若，，，則（ ） (A) (B) (C) (D) 6．已知，且，則 （　?。? (A) (B) (C) (D) 7．某商場為了了解毛衣的月銷售量（件）與月平均氣溫（℃）之間的關(guān)系，隨機統(tǒng)計 了某4個月的月銷售量與當月平均氣溫，其數(shù)據(jù)如下表： 月平均氣溫x（℃） 17 13 8 2 月銷售量y（件） 24 33 40 55 約為6℃，據(jù)此估計該商場下個月毛衣銷售量約為（ ）件． (A) (B) (C) (D) 8．如圖，某幾何體的三視圖是三個全等的等腰直角三角形， 且直角邊長都等于1，則該幾何體的外接球的體積為（　?。? (A) (B) (C) (D) 9．已知等邊三角形△的邊長為，其重心為，則（ ） (A) (B) (C) (D) 10．設為橢圓的兩個焦點，點在橢圓上，若線段的中點在軸上， 則的值為（ ） (A) (B) (C) (D) 11．將函數(shù)的圖象向左平移個單位，再向上平移1個單位，得到 的圖象，若，且，則的最大值為（ ） (A) (B) (C) (D) 12．已知函數(shù)，若函數(shù)的圖象上關(guān)于原點對稱的點有對， 則實數(shù)的取值范圍是（ ） (A) (B) (C) (D) 二．填空題：本大題共4小題，每小題5分。 13．已知函數(shù)，，則 ． 14．已知實數(shù)、滿足，則的最小值是 ． 15．《周易》歷來被人們視作儒家群經(jīng)之首，它表現(xiàn)了古代中華民族對萬事萬物的深刻而又 樸素的認識，是中華人文文化的基礎(chǔ)，它反映出中國古代的二進制計數(shù)的思想方法．我 們用近代術(shù)語解釋為：把陽爻“”當作數(shù)字“1”，把陰爻“”當作數(shù)字“0”， 則八卦所代表的數(shù)表示如下： 卦名 符號 表示的二進制數(shù) 表示的十進制數(shù) 坤 000 0 震 001 1 坎 010 2 兌 011 3 依次類推，則六十四卦中的“屯”卦，符號“”表示的十進制數(shù)是 ． 16．數(shù)列的前項和為，若，則數(shù)列的前項和為 ． 三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題， 每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。 （一）必考題：60分。 17．（本小題滿分12分） 中，是邊的中點，,,. （1）求邊的長； （2）求的面積. 18．（本小題滿分12分） 為了解少年兒童的肥胖是否與常喝碳酸飲料有關(guān)，現(xiàn)對名小學六年級學生進行了問卷 調(diào)查，并得到如下列聯(lián)表．平均每天喝以上為“常喝”，體重超過為“肥胖”． 常喝 不常喝 合計 肥胖 2 不肥胖 18 合計 30 已知在全部人中隨機抽取1人，抽到肥胖的學生的概率為． （1）請將上面的列聯(lián)表補充完整； （2）是否有的把握認為肥胖與常喝碳酸飲料有關(guān)？請說明你的理由； （3）已知常喝碳酸飲料且肥胖的學生中恰有2名女生，現(xiàn)從常喝碳酸飲料且肥胖的 學生中隨機抽取2人參加一個電視節(jié)目，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 參考數(shù)據(jù)： 0．100 0．050 0．025 0．010 0．005 0．001 2．706 3．841 5．024 6．635 7．879 10．828 , 其中為樣本容量． 19．（本小題滿分12分） 如圖，在多面體中，是等邊三角形，是等腰直角三角形， ，平面平面，平面，點為的中點． （1）求證：∥平面； （2）若，求三棱錐的體積． 20．（本小題滿分12分） 已知函數(shù)，其中． （1）若曲線在點處的切線與直線平行，求的值； （2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間． 21．（本小題滿分12分） 在平面直角坐標系中，過點的直線與拋物線相交于點、兩點， 設，. （1）求證：為定值； （2）是否存在平行于軸的定直線被以為直徑的圓截得的弦長為定值？如果存在， 求出該直線方程和弦長，如果不存在，說明理由． （二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分。 22．（本小題滿分10分）[選修4―4：坐標系與參數(shù)方程] 已知曲線（為參數(shù)）和定點，、是此曲線的左、 右焦點，以原點為極點，以軸的正半軸為極軸建立極坐標系． （1）求直線的極坐標方程； （2）經(jīng)過點且與直線垂直的直線交此圓錐曲線于、兩點， 求的值． 23．（本小題滿分10分）[選修4―5：不等式選講] 已知函數(shù). （1）當時，求不等式的解集； （2）若二次函數(shù)與函數(shù)的圖象恒有公共點， 求實數(shù)的取值范圍. 惠州市xx高三第二次調(diào)研考試 數(shù)學（文科）參考答案 一、選擇題（每小題5分，共60分） 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C C B A D A A B C D B D 1．【解析】由題意,故選C. 2．【解析】，則，故選C. 3．【解析】由等差數(shù)列可知，得，所以，故選B . 4．【解析】雙曲線的漸近線，得，又，得到 所以，，故選A . 5．【解析】依題意，，，而由得，故選D . 6．【解析】由，得，且， 所以，，又，故選A . 7．【解析】計算得，回歸直線過點，且，代入得，則回歸方程為 ，則時，故選A . A B C D 8．【解析】還原幾何體為一個三棱錐，放入棱長為1的正方體中，如圖所示， 外接球的半徑為，則，故選B . 9．【解析】如圖建立平面直角坐標系，則，，， G C O y x B A 得重心,則向量，， 所以，故選C . （也可以，由向量數(shù)量積的定義計算得出） y x O F2 F1 P M 10．【解析】如圖，設線段的中點在軸上，點是的中點， 所以，可得軸，， ，，故選D . 11．【解析】由題意可得，，所以，又，所以 ，由，得，因為 O y x ，所以，故選B . 12．【解析】依題意，函數(shù)圖象上存在關(guān)于原點對稱的點，可作函數(shù) 關(guān)于原點對稱的函數(shù) 的圖象，使得它與直線的交點個數(shù)為2即可， 當直線與的圖象相切時，設切點為， 又的導數(shù)為，則，解得，可得切線的 斜率為1，結(jié)合圖象可知時函數(shù)與直線有兩個交點，即原函 數(shù)圖象上有兩個點關(guān)于原點對稱，故選D . 二、填空題：（每小題5分，共20分） 13． 14. 15. 16. 13【解析】由已知得，即，所以 ， 也可得出. 14【解析】畫出可行域平移直線可知在點取得最小值，代入目標函數(shù)得. 15【解析】由題意類推，可知六十四卦中的“屯”卦符合“”表示二進制數(shù)的， 轉(zhuǎn)化為十進制數(shù)的計算為. 16【解析】當時，得，當時，得 ，則數(shù)列為等比數(shù)列，公比為，，得，由錯位相減法 求和得. 三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟． 17.解：（1）設，則，由余弦定理， 在△中，有 ……………………2分 在△中，有 ……………………4分 且，即，得 ……………………6分 ∴ ……………………7分 （2） 由（1）可知，，，得 ……………………9分 A B C D ∴ ……………………12分 18．解：（1）設全部30人中的肥胖學生共名，則， ∴ 常喝碳酸飲料且肥胖的學生有6名． ……………………2分 列聯(lián)表如下： 常喝 不常喝 合計 肥胖 6 2 8 不肥胖 4 18 22 合計 10 20 30 ……………………4分 （2）∵， ……………………6分 又 ……………………7分 ∴有的把握認為肥胖與常喝碳酸飲料有關(guān)． ……………………8分 （3）設常喝碳酸飲料且肥胖的4名男生為，2名女生為，則從中隨機抽取2名的情形 有；；；；共15種， …………………10分 其中一名男生一名女生的情形共有8種， ……………………11分 ∴正好抽到一名男生和一名女生的概率為． ……………………12分 19.（1）證明：∵△是等腰直角三角形， ，點為的中點，∴． ∵ 平面平面， 平面平面， 平面， ∴平面． …………4分 ∵ 平面,∴ ∥． …………5分 ∵ 平面,平面, ∴ ∥平面． …………6分 （2）法1：由（1）知∥平面, ∴ 點到平面的距離等于點到平面的距離． …………7分 ∵ ，△是等邊三角形,點為的中點 ∴ …………8分 ∴ …………10分 …………12分 法2：由（1）知∥平面, ∴ 點到平面的距離等于點到平面的距離． …………7分 過作，垂足為點， ∵ 平面,平面, ∴ ． ∵ 平面,平面,， ∴ 平面． …………9分 ∵ ，△是等邊三角形， ∴ ，，． …………10分 ∴ ． ∴ 三棱錐的體積為． …………12分 20. 解: (1)由可知，函數(shù)定義域為， 且，依題意， 解得 ……………………………………… 4分 （2）依題意， 令，得 ① 當時，，由，得；由，得 則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為 ……… 6分 ② 當，即時，由，得或 由，得 則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為， 函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為 ………………… 8分 ③ 當，即時，恒成立，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 ……………………………………… 10分 ④ 當，即時，由，得或，由，得 則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為， 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 ………………… 12分 21、解：（Ⅰ）（解法1）當直線AB垂直于x軸時，, 因此(定值) ……………………2分 當直線AB不垂直于x軸時，設直線AB的方程為 由得 因此有為定值 …………………… 4分 （解法2）設直線AB的方程為 由得 因此有為定值 ……………………（4分） (Ⅱ)設存在直線：滿足條件，則 AC的中點， 因此以AC為直徑的圓的半徑 E點到直線的距離 ……………………7分 所以所截弦長為 ……………………10分 當即時，弦長為定值2，這時直線方程為 …………………… 12分 22. 解：（1）曲線C：可化為， 其軌跡為橢圓，焦點為F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0）． ……………………2分 經(jīng)過A（0，）和F2（1，0）的直線方程為，即 ∴ 直線的極坐標方程為：. ……………………5分 （2）由（1）知，直線AF2的斜率為， 因為⊥AF2，所以的斜率為，傾斜角為30， 所以的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）， 代入橢圓C的方程中，得． ……………………8分 因為M，N在點F1的兩側(cè)， 所以|MF1|﹣|NF1|=|t1+t2|=． ……………………10分 23. 【解析】 解：（1）當時，， ……………………3分 由得不等式的解集為. ……………………5分 （2）由二次函數(shù)，該函數(shù)在取得最小值2， 因為，在處取得最大值，………8分 所以要使二次函數(shù)與函數(shù)的圖象恒有公共點， 只需，即. ……………10分