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第一節(jié) 2019-2020年高中數(shù)學 隨機抽樣知識點復習 湘教版選修3 高考命題走向： 多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，以實際問題為背景；熱點是隨機抽樣方法中的分層抽樣、系統(tǒng)抽樣 知識點： 1．簡單隨機抽樣： 定義：設(shè)一個總體含有N個個體，從中逐個不放回地抽取n個個體作為樣本（n《N），如果每次抽取時總體內(nèi)的各個個體被抽到的機會都相等，就把這種抽樣稱為簡單隨機抽樣。 方法：抽簽法和隨機數(shù)表法 2．系統(tǒng)抽樣： 定義：當總體中的個數(shù)較多時，可將總體分成均衡的幾組，然后按照預先定出的規(guī)則，從每組中抽取1個個體，得到所需要的樣本，這種抽樣叫做系統(tǒng)抽樣。 從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本步驟可概括為： （1）編號：先將總體的N個個體編號 （2）分組：對編號進行分組，確定組間隔.當是整數(shù)時，取； （3）確定起始個體號：在第1組中用簡單隨機抽樣確定起始的個體編號（l《k）； （4）抽取樣本：按照一定的規(guī)則抽取樣本，通常是將加上間隔得到樣本：。 注意：當不是整數(shù)時，通過從總體中剔除一些個體使剩下的個體數(shù)N能被整除，再重新編號——分組——確定起始個體號——抽取樣本。此時 3．分層抽樣： 定義：在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨立地抽取一定數(shù)量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法叫做分層抽樣。 4．三種抽樣方法的區(qū)別、聯(lián)系及它們的適用范圍？ 典例解析 題型1：統(tǒng)計概念及簡單隨機抽樣 1．為調(diào)查參加運動會的1000名運動員的年齡情況，從中抽查了100名運動員的年齡，就這個問題來說，下列說法正確的是（ ） A．1000名運動員是總體 B．每個運動員是個體 C．抽取的100名運動員是樣本 D．樣本容量是100 2．今用簡單隨機抽樣從含有6個個體的總體中抽取一個容量為2的樣本。問：① 總體中的某一個體在第一次抽取時被抽到的概率是多少?② 個體在第1次未被抽到，而是在第2次被抽到的概率是多少?③ 在整個抽樣過程中，個體被抽到的概率是多少? 3．假設(shè)要考察某公司生產(chǎn)的500克袋裝牛奶的質(zhì)量是否達標，現(xiàn)從800袋牛奶中抽取60袋進行檢驗，利用隨機數(shù)表抽取樣本時，先將800袋牛奶按000，001，…，799進行編號，如果從隨機數(shù)表第8行第7列的數(shù)開始向右讀，請你衣次寫出最先檢測的5袋牛奶的編號 （下面摘取了隨機數(shù)表第7行至第9行） 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 題型2：系統(tǒng)抽樣 4．為了了解參加某種知識競賽的1003名學生的成績，請用系統(tǒng)抽樣抽取一個容量為50的樣本。 5．一個總體中有100個個體，隨機編號為0，1，2，…，99，依編號順序平均分成10個小組，組號依次為1，2，3，…，10.現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為10的樣本，若在第1組中抽到的號碼為6，那么在第7組中抽取的號碼是___________. 題型3：分層抽樣 6．甲校有3600名學生，乙校有5400名學生，丙校有1800名學生，為統(tǒng)計三校學生某方面的情況，計劃采用分層抽樣法，抽取一個樣本容量為90人的樣本，應在這三校分別抽取學生（ ） A．30人，30人，30人　　 B．30人，45人，15人 C．20人，30人，10人　 D．30人，50人，10人 7．防疫站對學生進行身體健康檢查，采用分層抽樣法抽取。紅星中學共有學生1600名，抽取一個容量為200的樣本，已經(jīng)女生比男生少抽了10人，則該校有女生 人。 8．某單位最近組織了一次健身活動，活動分為登山組和游泳組，且每個職工至多參加了其中一組。在參加活動的職工中，青年人占42.5％，中年人占47.5％，老年人占10％。登山組的職工占參加活動總?cè)藬?shù)的，且該組中，青年人占50％，中年人占40％，老年人占10％。為了了解各組不同的年齡層次的職工對本次活動的滿意程度，現(xiàn)用分層抽樣的方法從參加活動的全體職工中抽取一個容量為200的樣本。試確定 （Ⅰ）游泳組中，青年人、中年人、老年人分別所占的比例； （Ⅱ）游泳組中，青年人、中年人、老年人分別應抽取的人數(shù)。 題型4：綜合問題 9．某公司在甲、乙、丙、丁四個地區(qū)分別有150個、120個、180個、150個銷售點.公司為了調(diào)查產(chǎn)品銷售的情況，需從這600個銷售點中抽取一個容量為100的樣本，記這項調(diào)查為①；在丙地區(qū)中有20個特大型銷售點，要從中抽取7個調(diào)查其銷售收入和售后服務情況，記這項調(diào)查為②.則完成①、②這兩項調(diào)查宜采用的抽樣方法依次是（ ） A．分層抽樣法，系統(tǒng)抽樣法 B．分層抽樣法，簡單隨機抽樣法 C．系統(tǒng)抽樣法，分層抽樣法 D．簡單隨機抽樣法，分層抽樣法 10．某初級中學有學生270人，其中一年級108人，二、三年級各81人，現(xiàn)要利用抽樣方法抽取10人參加某項調(diào)查，考慮選用簡單隨機抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣三種方案，使用簡單隨機抽樣和分層抽樣時，將學生按一、二、三年級依次統(tǒng)一編號為1，2，…，270；使用系統(tǒng)抽樣時，將學生統(tǒng)一隨機編號1，2，…，270，并將整個編號依次分為10段.如果抽得號碼有下列四種情況： ①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250； ②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265； ③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254； ④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270； 關(guān)于上述樣本的下列結(jié)論中，正確的是 （ ） A．②、③都不能為系統(tǒng)抽樣 B．②、④都不能為分層抽樣 C．①、④都可能為系統(tǒng)抽樣 D．①、③都可能為分層抽樣 高考命題走向： 以基本題目（中、低檔題）為主，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，以實際問題為背景，亦可與概率結(jié)合以解答題形式出現(xiàn)；熱點問題是頻率分布直方圖和用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征。 知識點： 1．作頻率分布直方圖步驟： （1）求極差（即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差）； （2）決定組距與組數(shù)； （3）將數(shù)據(jù)分組； （4）列頻率分布表； （5）畫頻率分布直方圖。 2.折線圖，總體密度曲線，莖葉圖 折線圖：連接頻率分布直方圖中小長方形上端中點，就得到頻率分布折線圖。 總體密度曲線：隨著樣本容量的增加，作圖時所分的組數(shù)增加，組距減小，相應的頻率折線圖會越來越接近于一條光滑的曲線，即總體密度曲線。 3．利用頻率分布直方圖估計樣本的數(shù)字特征 （1）眾數(shù)：在頻率分布直方圖中，眾數(shù)是最高的矩形的中點的橫坐標 （2）平均數(shù)：平均數(shù)的估計值等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和 （3）中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等，由此可以估計中位數(shù)的值 4．標準差和方差 如果這n個數(shù)據(jù)是 標準差 方差 典例解析 題型1：頻率分布直方圖，條形圖，莖葉圖 1．為檢測某種產(chǎn)品的質(zhì)量,抽取了一個容量為30的樣本,檢測結(jié)果為一級品5件,二級品8件,三級品13件,次品14件. （1）列出樣本頻率分布表; （2）畫出表示樣本頻率分布的條形圖; （3）根據(jù)上述結(jié)果,估計商品為二級品或三級品的概率約是多少？ 2．某中學對高三年級進行身高統(tǒng)計，測量隨機抽取的40名學生的身高，其結(jié)果如下（單位：cm） 分組 ［140，145） ［145，150） ［150，155） ［155，160） ［160，165） ［165，170） ［170，175） ［175，180） 合計 人數(shù) 1 2 5 9 13 6 3 1 40 （1）列出頻率分布表； （2）畫出頻率分布直方圖，折線圖； （3）估計數(shù)據(jù)落在［150，170］范圍內(nèi)的概率。 3．潮州統(tǒng)計局就某地居民的月收入調(diào)查了人，并根據(jù) 所得數(shù)據(jù)畫了樣本的頻率分布直方圖（每個分組包括左端點， 不包括右端點，如第一組表示收入在）。 （1）求居民月收入在的頻率； （2）根據(jù)頻率分布直方圖算出樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)； （3）為了分析居民的收入與年齡、職業(yè)等方面的關(guān)系，必須按月收入再從這人中用分層抽樣方法抽出人作進一步分析，則月收入在的這段應抽多少人？ 0.005 0.010 0.018 0.028 0.039 時速（km/h） 70 60 50 40 30 80 4．200輛汽車正在經(jīng)過某一雷達區(qū)，這些汽車運行 的時速頻率分布直方圖如圖所示，則時速超過60km/h 的汽車數(shù)量約為________________. 5．為了了解某地區(qū)高三學生的身體發(fā)育情況，抽查了 該地區(qū)100名年齡為17.5歲－１８歲的男生體重(kg) , 得到頻率分布直方圖如下：根據(jù)上圖可得這100名學生 中體重在〔56.5,64.5〕的學生人數(shù)是 (A)20 (B)30 (C)40 (D)50 6．甲、乙兩位同學某學科的連續(xù)五次考試成績用莖葉圖 甲 乙 表示如右，則平均分數(shù)較高的是 ，成績較為穩(wěn)定的 9 8 6 3 8 9 9 是 2 1 0 7 1 題型2：標準差與方差 7．在一次歌手大獎賽上，七位評委為歌手打出的分數(shù)如下： 9.4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7 去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均值和方差分別為 （A）9.4, 0.484 （B）9.4, 0.016 （C）9.5, 0.04 （D）9.5, 0.016 8．甲、乙兩種冬小麥試驗品種連續(xù)5年的平均單位面積產(chǎn)量如下（單位：t / hm2） 品種 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2 乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8 其中產(chǎn)量比較穩(wěn)定的小麥品種是 。 第三節(jié) 變量間的相關(guān)關(guān)系 高考命題走向： 以考查線性回歸系數(shù)為主，同時可考查利用散點圖判斷兩個變量間的相關(guān)關(guān)系，多以選擇，填空出現(xiàn) 知識點： 1．兩個變量的相關(guān)關(guān)系——一種不確定的關(guān)系。（與函數(shù)關(guān)系的區(qū)別與聯(lián)系？） 相關(guān)系數(shù)（判定兩個變量線性相關(guān)性）： ⑴>0時，變量正相關(guān)，從散點圖上看，點散布在從左下角到右上角的區(qū)域； <0時，變量負相關(guān)，從散點圖上看，點散布在從左上角到右下角的區(qū)域；； ⑵ 越接近于1，兩個變量的線性相關(guān)性越強； 接近于0，兩個變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系 2．回歸直線方程：設(shè)x與y是具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量，且相應于n個觀測值的n個點大致分布在某一條直線的附近，就可以認為y對x的回歸函數(shù)的類型為直線型：。其中，。我們稱這個方程為y對x的回歸直線方程。 典例解析 1．有關(guān)線性回歸的說法，不正確的是（ 　 ） A.相關(guān)關(guān)系的兩個變量不是因果關(guān)系 B.散點圖能直觀地反映數(shù)據(jù)的相關(guān)程度 C.回歸直線最能代表線性相關(guān)的兩個變量之間的關(guān)系 D.任一組數(shù)據(jù)都有回歸方程 2．下面哪些變量是相關(guān)關(guān)系（　 ） A.出租車費與行駛的里程 B.房屋面積與房屋價格 C.身高與體重 D.鐵的大小與質(zhì)量 3．一位母親記錄了兒子3～9歲的身高，由此建立的身高與年齡的回歸模型為y=7.19x+73.93用這個模型預測這個孩子10歲時的身高，則正確的敘述是 （ ） （A）身高一定是145.83cm （B）身高在145.83cm以上 （C）身高在145.83cm以下 （D）身高在145.83cm左右 4．是，，，的平均數(shù)，是，，，的平均數(shù)，是，，，的平均數(shù)，則下列各式正確的是（　 ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 5．工人月工資（元）依勞動生產(chǎn)率（千元）變化的回歸直線方程為，下列判斷正確的是（ ） （A）勞動生產(chǎn)率為1000元時，工資為50元（B）勞動生產(chǎn)率提高1000元時，工資提高150元 （C）勞動生產(chǎn)率提高1000元時，工資提高90元（D）勞動生產(chǎn)率為1000元時，工資為90元 6．已知之間的一組數(shù)據(jù)： 1.08 1.12 1.19 1.28 2.25 2.37 2.40 2.55 與之間的線性性回歸方程必過定點_________________. 7．某種產(chǎn)品的廣告費用支出（萬元）與銷售（萬元）之間有如下的對應數(shù)據(jù): 2 4 5 6 8 30 40 60 50 70 若由資料可知對呈線性相關(guān)關(guān)系，試求： （1） 線性回歸方程； （2） 據(jù)此估計廣告費用支出為10時銷售收入的值. 第四節(jié) 典型統(tǒng)計案例 知識點： 1． 事件的獨立性， 2． 列聯(lián)表獨立性分析 3． 一元線性回歸: 典例解析 1．打靶時甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若兩人同時射擊一個目標，則它們都中靶的概率是（ ） A.3/5 B.3/4 C.12/25 D.14/25 2．某醫(yī)療機構(gòu)通過抽樣調(diào)查（樣本容量），利用列聯(lián)表和卡方統(tǒng)計量研究患肺病是否與吸煙有關(guān).計算得，經(jīng)查對臨界值表知，則下列結(jié)論正確的是（ ） A.在100個吸煙的人中約有95個人患肺病 B.若某人吸煙，那么他有的可能性患肺病 C.有的把握認為“患肺病與吸煙有關(guān)” D.有的把握認為“患肺病與吸煙有關(guān)” 3．為了考察某種藥物預防疾病的效果，進行動物試驗，得到如下的列聯(lián)表： 藥物效果與動物試驗列聯(lián)表 患病 未患病 服用藥 10 45 沒服用藥 20 30 請問能有 把握認為藥物有效（，） 4．在對人們的休閑方式的一次調(diào)查中，共調(diào)查了124人，其中女性70人，男性54人．女性中有43人主要的休閑方式是看電視，另外27人主要的休閑方式是運動；男性中有21人主要的休閑方式是看電視，另外33人主要的休閑方式是運動． （1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個22的列聯(lián)表；（2）判斷性別與休閑方式是否有關(guān)系． 5． 下表為某地近幾年機動車輛數(shù)與交通事故數(shù)的統(tǒng)計資料 機動車輛數(shù)／千臺 95 110 120 135 150 交通事故數(shù)／千件 6.2 7.5 8.5 9.8 10.2 （1）對進行線性相關(guān)性檢驗 （2）如果具有線性相關(guān)關(guān)系，求出回歸直線方程 （3）估計機動車輛為80千臺時，交通事故數(shù)約為多少千件？（） 附：（xx廣東高考，第18題，12分）下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量（噸）與相應的生產(chǎn)能耗（噸標準煤）的幾組對照數(shù)據(jù)． （1）請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖； （2）請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程； （3）已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標準煤．試根據(jù)（2）求出的線性回歸方程，預測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標準煤？ （參考數(shù)值：） 解: (1) 散點圖略 (2) ； 所求的回歸方程為 (3) 當 ， 預測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低(噸) 答：略