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2019-2020年高中數(shù)學競賽輔導資料《集合》 集合的劃分反映了集合與子集之間的關系，這既是一類數(shù)學問題，也是數(shù)學中的解題策略——分類思想的基礎，在近幾年來的數(shù)學競賽中經常出現(xiàn)，日益受到重視，本講主要介紹有關的概念、結論以及處理集合、子集與劃分問題的方法。 1． 集合的概念 集合是一個不定義的概念，集合中的元素有三個特征： （1） 確定性 設是一個給定的集合，是某一具體對象，則或者是的元素，或者不是的元素，兩者必居其一，即∈與僅有一種情況成立。 （2） 互異性 一個給定的集合中的元素是指互不相同的對象,即同一個集合中不應出現(xiàn)同一個元素。 （3） 無序性 2． 集合的表示方法 主要有列舉法、描述法、區(qū)間法、語言敘述法。常用數(shù)集如：應熟記。 3． 實數(shù)的子集與數(shù)軸上的點集之間的互相轉換，有序實數(shù)對的集合與平面上的點集可以互相轉換。對于方程、不等式的解集，要注意它們的幾何意義。 4． 子集、真子集及相等集 （1）或＝； （2）且≠； （3）＝且。 5． 一個階集合（即由個元素組成的集合）有個不同的子集，其中有－1個非空子集，也有－1個真子集。 6． 集合的交、并、補運算 ={且}；={或} 且} 要掌握有關集合的幾個運算律： （1） 交換律 ＝，＝； （2） 結合律（）＝（）， （）＝()； （3） 分配律 （）＝（）（） （）＝ () （） （4）0—1律 ＝，＝，＝，＝ （5）等冪律 ＝，＝ （6）吸收律 ()＝，（）＝ （7）求補律 CIA＝，CIA＝ （8）反演律 7． 有限集合所含元素個數(shù)的幾個簡單性質 設表示集合所含元素的個數(shù),（1）, 當時， （2）－ 例題講解 元素與集合的關系 1． 設＝{|＝,}，求證：（1）∈()； （2） 2． 以某些整數(shù)為元素的集合具有下列性質：①中的元素有正數(shù)，有負數(shù)； ②中的元素有奇數(shù),有偶數(shù)；③－1；④若，∈,則＋∈試判斷實數(shù)0和2與集合的關系。 3． 設為滿足下列條件的有理數(shù)的集合：①若∈，∈，則+∈， ；②對任一個有理數(shù)，三個關系∈，－∈，＝0有且僅有一個成立。證明：是由全體正有理數(shù)組成的集合。 兩個集合之間的關系 在兩個集合之間的關系中，我們感興趣的是“子集”、“真子集”、“相等”這三種特殊關系。這些關系是通過元素與集合的關系來揭示的，因而判斷兩個集合之間的關系通?？蓮呐袛嘣嘏c這兩個集合的關系入手。 4． 設函數(shù)，集合， 。 （1） 證明：； （2） 當時，求。 （3） 當只有一個元素時，求證：． 5．為非空集合，對于1，2，3的任意一個排列，若，則 （1） 證明：三個集合中至少有兩個相等。 （2） 三個集合中是否可能有兩個集無公共元素？ 6．已知集合： 問 （1） 當取何值時，為含有兩個元素的集合？ （2） 當取何值時，為含有三個元素的集合？ 7．設且≥15，都是{1，2，3，…，}真子集，，且 ={1，2，3，…，}。證明：或者中必有兩個不同數(shù)的和為完全平方數(shù)。 課后練習 1．下列八個關系式:①{0}= ②=0 ③ {} ④{}⑤{0} ⑥0 ⑦{0} ⑧{} 其中正確的個數(shù) （ ） （A）4 （B）5 （C）6 （D）7 2．設A、B是全集U的兩個子集，且AB，則下列式子成立的是 （ ） （A）CUACUB （B）CUACUB=U （C）ACUB= （D）CUAB= 3．已知M=，且，設，則 （ ） （A）M （B）N （C）P （D） 4．設集合，則 （ ） （A） （B） （C） （D） 5．設M={1,2,3,…,1995}，A是M的子集且滿足條件: 當x∈A時,15xA，則A中元素的個數(shù)最多是_______________. 6．集合A,B的并集A∪B={a1,a2,a3}，當且僅當A≠B時，(A,B)與(B,A)視為不同的對，則這樣的(A,B)對的個數(shù)有_________________. 7．若非空集合A={x|2a+1≤x≤3a-5}，B={x|3≤x≤22},則能使AA∩B成立的a的取值范圍是_______________. 8．若A={x|0≤x2+ax+5≤4}為單元素集合，則實數(shù)a的值為___________________. 9．設A={n|100≤n≤600,n∈N}，則集合A中被7除余2且不能被57整除的數(shù)的個數(shù)為______________. 10．己知集合A={x|x=f(x)}，B={x|x=f(f(x))},其中f(x)=x2+ax+b (a,b∈R)， 證明：（1）AB （2）若A只含有一個元素，則A=B . 11．集合A={（x,y）},集合B={（x,y）,且0}， 又A，求實數(shù)m的取值范圍. 課后練習答案 1-4 C C B A 5．解：由于1995=15133，所以，只要n>133，就有15n>1995.故取出所有大于133而不超過1995的整數(shù). 由于這時己取出了159=135, … 15133=1995. 故9至133的整數(shù)都不能再取，還可取1至8這8個數(shù)，即共取出1995—133+8=1870個數(shù), 這說明所求數(shù)≥1870。 另一方面，把k與15k配對，（k不是15的倍數(shù)，且1≤k≤133）共得133—8=125對，每對數(shù)中至多能取1個數(shù)為A的元素，這說明所求數(shù)≤1870，綜上可知應填1870 6．解：A=φ時，有1種可能；A為一元集時，B必須含有其余2元，共有6種可能；A為二元集時，B必須含有另一元.共有12種可能；A為三元集時，B可為其任一子集.共8種可能.故共有1+6+12+8=27個. 7．解：由A非空知2a+1≤3a-5，故a≥6. 由AAB知AB. 即3≤2a+1且3a-5≤22, 解之，得1≤a≤9. 于是知6≤a≤9 8．解：由.若，則A有無數(shù)個元，若，則A為空集，只有當即時，A為單元素集或.所以 9．解：被7除余2的數(shù)可寫為7k+2. 由100≤7k+2≤600.知14≤k≤85. 又若某個k使7k+2能被57整除，則可設7k+2=57n. 即. 即n-2應為7的倍數(shù). 設n=7m+2代入，得k=57m+16. ∴14≤57m+16≤85. m=0,1.于是所求的個數(shù)為85-(14-1)-2=70 10．證明：（1） (2)設A={c}，即二次方程f(x)-x=0有惟一解c，即c為 f(x)-x=0的重根. ∴ f(x)-x=(x-c)2 即f(x)=(x-c)2+x,于是f(f(x))=(f(x)-c)2+f(x), f(f(x))-x=(f(x)-c)2+f(x)-x=[(x-c)2+x-c]2+(x-c)2=0 ∴ 故f(f(x))=x也只有惟一解x=c，即B={c}. 所以A=B 11．解：由得 設 由數(shù)形結合得: 解得： 例題答案： 1．分析：如果集合＝{|具有性質}，那么判斷對象是否是集合的元素的基本方法就是檢驗是否具有性質。 解：（1）∵,∈且＝,故∈； （2）假設，則存在，使＝ 即 (*) 由于與具有相同的奇偶性，所以（*）式左邊有且僅有兩種可能：奇數(shù)或4的倍數(shù)，另一方面，（*）式右邊只能被4除余2的數(shù)，故（*）式不能成立。由此，。 2．解：由④若，∈,則＋∈可知，若∈，則 （1） 由①可設，∈，且＞0，＜0，則－＝|| (||∈) 故,－∈,由④,0＝(－)+∈。 （2）2。若2∈，則中的負數(shù)全為偶數(shù)，不然的話，當－（）∈（）時，－1＝（－）＋∈，與③矛盾。于是，由②知中必有正奇數(shù)。設，我們取適當正整數(shù)，使 ，則負奇數(shù)。前后矛盾。 3．證明：設任意的∈，≠0,由②知∈，或－∈之一成立。再由①，若∈，則；若－∈，則?？傊?，。 取=1，則1∈。再由①，2=1+1∈，3=1+2∈，…，可知全體正整數(shù)都屬于。 設，由①，又由前證知，所以∈。因此，含有全體正有理數(shù)。 再由①知，0及全體負有理數(shù)不屬于。即是由全體正有理數(shù)組成的集合。 4．解：（1）設任意∈，則＝.而 故∈,所以. （2） 因，所以 解得 故 。由得 解得 ＝{。 5．證明：（1）若，則 所以每個集合中均有非負元素。 當三個集合中的元素都為零時，命題顯然成立。 否則，設中的最小正元素為，不妨設，設為中最小的非負元素，不妨設則－∈。 若＞0,則0≤－＜，與的取法矛盾。所以=0。 任取因0∈,故－0＝∈。所以，同理。 所以=。 （3） 可能。例如=={奇數(shù)}，={偶數(shù)}顯然滿足條件，和與都無公共元素。 6．解：=。與分別為方程組 （Ⅰ） （Ⅱ） 的解集。由（Ⅰ）解得（）=（0，1）=（，）；由（Ⅱ）解得 （）=（1，0），（，） （1） 使恰有兩個元素的情況只有兩種可能： ① ② 由①解得=0；由②解得=1。 故=0或1時，恰有兩個元素。 （2） 使恰有三個元素的情況是：= 解得，故當時，恰有三個元素。 7．證明：由題設，{1，2，3，…，}的任何元素必屬于且只屬于它的真子集之一。 假設結論不真，則存在如題設的{1，2，3，…，}的真子集，使得無論是還是中的任兩個不同的數(shù)的和都不是完全平方數(shù)。 不妨設1∈，則3，否則1+3=，與假設矛盾，所以3∈。同樣6，所以6∈，這時10，，即10∈。因≥15，而15或者在中，或者在中，但當15∈時，因1∈，1+15=，矛盾；當15∈時，因10∈，于是有10+15=，仍然矛盾。因此假設不真。即結論成立。