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2019-2020年高三下學期期中練習 數學理 本試卷共4 頁，150 分．考試時長120 分鐘．考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上 作答無效．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回． 一、選擇題共8 小題，每小題5 分，共40 分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目 要求的一項． 1．函數的定義域為 A．［0，＋）+ B．［1，＋）+ ) C．（－，0］+ D．（－，1］ 【知識點】函數的定義域與值域 【試題解析】要使函數有意義，需滿足：即 所以函數的定義域為：． 故答案為：A 【答案】A 2．某程序的框圖如圖所示，若輸入的z＝i（其中i為虛數單位），則輸出的S 值為 A．－1 　　 B．1 　　　 C．－i 　　 D．i 【知識點】算法和程序框圖 【試題解析】由題知：n=9時，否，是， 則輸出 的值為。 故答案為：D 【答案】D 3．若x，y 滿足，則的最大值為 A．　　　　B．3 C．　　　　D．4 【知識點】線性規(guī)劃 【試題解析】作可行域： 由圖知：當目標函數線過點C（1，3）時，目標函數值最大，為 故答案為：C 【答案】C 4．某三棱錐的三視圖如圖所示，則其體積為 A．　　　B． C．　　D． 【知識點】空間幾何體的表面積與體積空間幾何體的三視圖與直觀圖 【試題解析】該三棱錐的底面是以2為底，以為高的三角形，高為1， 所以 故答案為：A 【答案】A 5．已知數列 的前n 項和為Sn，則“ 為常數列”是“”的 A．充分不必要條件 　　B．必要不充分條件 C．充分必要條件 　　　D．既不充分也不必要條件 【知識點】充分條件與必要條件 【試題解析】若為常數列，則； 反過來，若，則，即為常數列。 所以“為常數列”是“，”的充分必要條件。 故答案為：C 【答案】C 6．在極坐標系中，圓C1 :與圓C2:相交于 A，B兩點，則｜AB｜＝ A．1 　　B．　 C．　　 D． 2 【知識點】圓與圓的位置關系 【試題解析】化圓為標準方程， 兩圓方程作差，得相交弦AB所在直線方程為： 圓的圓心為（1，0），半徑為1． 所以圓心到直線AB的距離為： 所以弦長的一半為：即弦長為：。 故答案為：B 【答案】B 7．已知函數是偶函數，則下列結論可能成立的是 A． 　　B． C． 　　　D． 【知識點】函數的奇偶性分段函數，抽象函數與復合函數 【試題解析】因為函數為偶函數，所以 設 即所以 故答案為：C 【答案】C 8．某生產基地有五臺機器，現有五項工作待完成，每臺機器完成每項工作后獲得的效益值 如表所示．若每臺機器只完成一項工作，且完成五項工作后獲得的效益值總和最大，則 下列敘述正確的是 A．甲只能承擔第四項工作　B．乙不能承擔第二項工作 C．丙可以不承擔第三項工作 　D．丁可以承擔第三項工作 【知識點】加法計數原理 【試題解析】由表知：五項工作獲得效益值總和最大為17+23+14+11+15=80，但不能同時取得。 要使總和最大，甲可以承擔第一或四項工作；丙只能承擔第三項工作；丁則不可以承擔第三項工作，所以丁承擔第五項工作；乙若承擔第二項工作，則甲承擔第四項工作；戊承擔第一項工作，此時效益值總和為17+23+14+11+13=78． 乙若不承擔第二項工作，承擔第一項，甲承擔第二項工作，則戊承擔第四項工作，此時效益值總和為17+22+14+11+15=79． 所以乙不能承擔第二項工作。 故答案為：B 【答案】B 二、填空題共6 小題，每小題5 分，共30 分． 9．已知向量，若，則t ＝ _______． 【知識點】平面向量坐標運算 【試題解析】由題知：若，則 故答案為： 【答案】 10．在等比數列中，a2＝2，且，則的值為_______． 【知識點】等比數列 【試題解析】在等比數列中， 由得：解得：或 所以 故答案為： 【答案】 11．在三個數中，最小的數是_______． 【知識點】對數與對數函數指數與指數函數 【試題解析】 故答案為： 【答案】 12．已知雙曲線C：的一條漸近線l 的傾斜角為，且C 的一個焦點到l 的距離 為，則C 的方程為_______． 【知識點】雙曲線 【試題解析】由題知：所以，所以 因為雙曲線的焦點到漸近線的距離為b，所以b=2，所以 所以的方程為： 故答案為： 2， 【答案】2， 13．如圖，在三角形三條邊上的6個不同的圓內分別填入數字1，2，3 中的一個． （?。┊斆織l邊上的三個數字之和為4 時，不同的填法有_______種； （ⅱ）當同一條邊上的三個數字都不同時，不同的填法有_______種． 【知識點】乘法計數原理加法計數原理 【試題解析】當每條邊上的三個數字之和為4時，這三個數字為1，1，2． 最上面為2時，中間都是1，最下面為1，2，1，1種； 最上面為1時，左中為1時，最下面為2，1，1，1種； 左中為2時，右中可以是1，2兩種； 所以共4種填法。 當同一條邊上的三個數字都不同時，最上面有3種填法，左中有2種填法，其余都唯一， 所以共種填法。 故答案為： 【答案】 14．已知函數，對于實數t ，若存在a＞0，b ＞0 ，滿足：，使得 2，則記a＋b的最大值為H（t ）． （ⅰ）當 ＝2x時，H（0）＝ _______． （ⅱ）當且t時，函數H（t）的值域為_______． 【知識點】函數綜合 【試題解析】（i） t=0．當時， ，使得，即 所以 （ii）當且時， 當時， 由題得： 因為H（t）在[1，單調遞增，所以H（ 當時， 由題得： 因為H（t）在（單調遞減，所以H（ 綜上，H，的值域為 故答案為： 【答案】 三、解答題共6 小題，共80 分．解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程． 15．（本小題滿分13 分） 如圖，在△ABC 中，點D在邊 AB上，且．記∠ACD＝ ，∠BCD＝． （Ⅰ）求證： ； （Ⅱ）若，求BC 的長． 【知識點】余弦定理正弦定理 【試題解析】（Ⅰ） 在中，由正弦定理，有 在中，由正弦定理，有 因為，所以 因為， 所以 （Ⅱ）因為，， 由（Ⅰ）得 設，由余弦定理， 代入，得到， 解得，所以． 【答案】見解析 16．（本小題滿分13 分） xx 年世界衛(wèi)生組織、聯(lián)合國兒童基金會等機構將青蒿素作為一線抗瘧藥品推 廣．xx 年12 月10 日，我國科學家屠呦呦教授由于在發(fā)現青蒿素和治療瘧疾的療法 上的貢獻獲得諾貝爾醫(yī)學獎．目前，國內青蒿人工種植發(fā)展迅速． 某農科所為了深入研究海拔因素對青蒿素產量的影響，在山上和山下的試驗田中 分別種植了100 株青蒿進行對比試驗．現在從山上和山下的試驗田中各隨機選取了4 株青蒿作為樣本，每株提取的青蒿素產量（單位：克）如下表所示： （Ⅰ）根據樣本數據，試估計山下試驗田青蒿素的總產量； （Ⅱ）記山上與山下兩塊試驗田單株青蒿素產量的方差分別為，，根據樣本數據， 試估計與的大小關系（只需寫出結論）； （Ⅲ）從樣本中的山上與山下青蒿中各隨機選取1 株，記這2 株的產量總和為，求 隨機變量的分布列和數學期望． 【知識點】隨機變量的期望與方差隨機變量的分布列樣本的數據特征 【試題解析】(I)由山下試驗田4株青蒿樣本青蒿素產量數據，得樣本平均數 則山下試驗田株青蒿的青蒿素產量估算為 g （Ⅱ）比較山上、山下單株青蒿素青蒿素產量方差和，結果為． （Ⅲ）依題意，隨機變量可以取， ， ， ， 隨機變量的分布列為 隨機變量的期望 【答案】見解析 17．（本小題滿分14 分） 如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，點M ，N 分別為線段PB，PC 上的點，MN⊥PB． （Ⅰ）求證： BC⊥平面PAB ； （Ⅱ）求證：當點M 不與點P ，B 重合時，M ，N ，D ， A 四個點在同一個平面內； （Ⅲ）當PA＝AB＝2，二面角C－AN －D的大小為時，求PN 的長． 【知識點】利用直線方向向量與平面法向量解決計算問題空間的角垂直 【試題解析】（Ⅰ）證明：在正方形中，， 因為平面，平面， 所以． 因為，且，平面， 所以平面 （Ⅱ）證明：因為平面，平面， 所以 在中，，， 所以． 在正方形中，， 所以， 所以可以確定一個平面，記為 所以四個點在同一個平面內 （Ⅲ）因為平面，平面， 所以，． 又，如圖，以為原點， 所在直線為軸建立空間直角坐標系， 所以． 設平面的一個法向量為， 平面的一個法向量為， 設，， 因為，所以， 又，所以，即， 取， 得到， 因為， 所以，即， 取得， 到， 因為二面大小為， 所以， 所以 解得， 所以 【答案】見解析 18．（本小題滿分13 分） 已知函數f (x) ＝ln x＋－1， （Ⅰ）求函數 f (x)的最小值； （Ⅱ）求函數g(x)的單調區(qū)間； （Ⅲ）求證：直線 y＝x不是曲線 y ＝g(x)的切線。 【知識點】導數的綜合運用利用導數求最值和極值利用導數研究函數的單調性 【試題解析】（Ⅰ）函數的定義域為， 當變化時，，的變化情況如下表： 函數在上的極小值為， 所以的最小值為 （Ⅱ）解：函數的定義域為， 由（Ⅰ）得，，所以 所以的單調增區(qū)間是，無單調減區(qū)間． （Ⅲ）證明：假設直線是曲線的切線． 設切點為，則，即 又，則． 所以， 得，與矛盾 所以假設不成立，直線不是曲線的切線 【答案】見解析 19．（本小題滿分14 分） 已知橢圓C：的離心率為，橢圓C 與y 軸交于A ， B 兩點， 且｜AB｜＝2． （Ⅰ）求橢圓C 的方程； （Ⅱ）設點P是橢圓C上的一個動點，且點P在 y軸的右側．直線PA，PB與直線x＝ 4 分別交于M ， N 兩點．若以MN 為直徑的圓與x 軸交于兩點E ， F ，求點P 橫 坐標的取值范圍及｜EF｜的最大值． 【知識點】圓錐曲線綜合橢圓 【試題解析】（Ⅰ）由題意可得，， ， 得， 解， 橢圓的標準方程為． （Ⅱ）設，，， 所以，直線的方程為， 同理：直線的方程為， 直線與直線的交點為， 直線與直線的交點為， 線段的中點， 所以圓的方程為， 令，則， 因為，所以， 所以， 因為這個圓與軸相交，該方程有兩個不同的實數解， 所以，解得． 設交點坐標，則（） 所以該圓被軸截得的弦長為最大值為2． 【答案】見解析 20．（本小題滿分13 分） 給定正整數n(n≥3)，集合．若存在集合A，B，C，同時滿足下 列條件： ① U n ＝A∪B∪C，且A∩B ＝ B∩C ＝A∩C＝； ②集合A 中的元素都為奇數，集合B 中的元素都為偶數，所有能被3 整除的數都在集 合C 中（集合C 中還可以包含其它數）； ③集合A ， B ，C 中各元素之和分別記為SA ， SB ，SC ，有SA ＝SB ＝SC ； 則稱集合 Un為可分集合． （Ⅰ）已知U8為可分集合，寫出相應的一組滿足條件的集合A ， B ，C ； （Ⅱ）證明：若n 是3 的倍數，則Un不是可分集合； （Ⅲ）若Un為可分集合且n 為奇數，求n 的最小值． （考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效） 【知識點】數列綜合應用 【試題解析】（I）依照題意，可以取，， （II）假設存在是的倍數且是可分集合． 設，則依照題意， 故， 而這個數的和為，故， 矛盾， 所以是3的倍數時，一定不是可分集合 (Ⅲ)35． 因為所有元素和為，又中元素是偶數，所以=(為正整數) 所以，因為為連續(xù)整數，故這兩個數一個為奇數，另一個為偶數 由（Ⅱ）知道，不是3的倍數，所以一定有是的倍數． 當為奇數時，為偶數，而， 所以一定有既是的倍數，又是的倍數，所以， 所以． 定義集合，即集合由集合中所有不是3的倍數的奇數組成， 定義集合，即集合由集合中所有不是3的倍數的偶數組成， 根據集合的性質知道，集合， 此時集合中的元素之和都是，而， 此時中所有的倍數的和為， ， 顯然必須從集合中各取出一些元素，這些元素的和都是， 所以從集合中必須取偶數個元素放到集合中，所以， 所以，此時 而令集合， 集合， 集合， 檢驗可知，此時是可分集合， 所以的最小值為． 【答案】見解析