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2019-2020年高考數(shù)學 考點18 空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖、空間幾何體的表面積與體積練習 空間幾何體的表面積與體積 1.（xx陜西高考理科Ｔ7）若某空間幾何體的三視圖如圖所示， 則該幾何體的體積是（ ） (A) (B) (C) 1 (D) 2 【命題立意】本題考查三視圖的概念及空間想象能力，屬中檔題. 【思路點撥】三視圖幾何體是直三棱柱該幾何體的體積. 【規(guī)范解答】選C.由該幾何體的三視圖可知，該幾何體是直三棱柱，且棱柱的底面是兩直角邊長分別為和1的直角三角形，棱柱的高為，所以該幾何體的體積 2.（xx遼寧高考文科Ｔ11）已知S，A，B，C是球O表面上的點，SA⊥平面ABC,AB⊥BC，SA=AB=1，BC=,則球O的表面積等于（ ） （A）4 (B）3 (C)2 (D) 【命題立意】本題考查了空間兩點間距離公式和球的表面積公式. 【思路點撥】 建立空間坐標系 設球心坐標 球的半徑 球的表面積 【規(guī)范解答】選A.平面ABC，AB，AC平面ABC，，， 故可以A為原點，AC所在的直線為軸，AS所在的直線為軸建立如圖所示的空間直 角坐標系A-xyz，則,,,,設球心O 坐標為，則點O到各頂點S，A，B，C的距離相等，都等于球的半徑R. ， 解得， 球的表面積為.故選A. 【方法技巧】1.選用球心到各頂點的距離都相等來確定球心，才能求出半徑， 2.也可用另外的方法找到球心，因為∠ABC是直角，所以AC是過A，B，C三點的小圓的直徑，所以球心在過AC和平面ABC垂直的平面上，可知球心在平面SAC中，又因為球心到點 S，A，C的距離都相等，且△SAC是直角三角形，所以球心就是斜邊SC的中點，球的半徑為SC的一半， 3.另外，可將三棱錐S-ABC補成一個長方體進行求解. 3.（xx遼寧高考理科Ｔ12）有四根長都為2的直鐵條，若再選兩根長都為a的直鐵條，使這六根鐵條端點處相連能夠焊接成一個三棱錐形的鐵架，則a的取值范圍是（ ） (A)（0,） (B)（1,） (C) (,） (D) （0,） 【命題立意】以三棱錐為背景考查三角形中的三邊關系，考查空間想象能力和運算能力. 【思路點撥】分兩種情況，一種是長度為a的棱在一個三角形中，另一種情況是長度為a的棱不在一個三角形中，分別討論. 【規(guī)范解答】選A. 對于第一種情況，取BC的中點D連結(jié)PD，AD，則 在△PAD中， 對于第二種情況同理可以得到， 綜合兩種情況，及，所以a的取值范圍是（0,）. 4.（xx安徽高考理科Ｔ8）一個幾何體的三視圖如圖， 該幾何體的表面積為（ ） (A)280 (B)292 (C)360 (D)372 【命題立意】本題主要考查三視圖知識，考查考生的空間想 象能力． 【思路點撥】把三視圖轉(zhuǎn)化為直觀圖，進而運算求解. 【規(guī)范解答】選 C.由幾何體的三視圖可知，該幾何體由兩個長方體組合而成，其表面積等于下面長方體的全面積加上面長方體的4個側(cè)面面積之和.其中下面的長方體的三邊分別為8,10,2, 上面的長方體的三邊分別為6,2,8,所以該幾何體的表面積為 ，故C正確. 【方法技巧】把三視圖轉(zhuǎn)化為直觀圖是解決此題的關鍵，由三視圖很容易知道是兩個長方體的組合體，畫出直觀圖，得出各個棱的長度，把幾何體的表面積轉(zhuǎn)化為下面長方體的表面積加上面長方體的4個側(cè)面面積之和. 5.（xx浙江高考文科Ｔ8）若某幾何體的三視圖 （單位：cm）如圖所示，則此幾何體的體積是（ ） （A）cm3 （B）cm3 （C）cm3 （D）cm3 【命題立意】本題主要考查了對三視圖所表達的空間幾何體的 識別以及幾何體體積的計算，屬容易題. 【思路點撥】解答本題要先由三視圖，想象出直觀圖，再求體積. 【規(guī)范解答】選B.此幾何體上方為正四棱柱、下方為四棱臺.所以其體積為 （cm3）. 【方法技巧】對于不規(guī)則幾何體求體積時可分為幾部分規(guī)則的幾何體，再求體積和. 6.（xx北京高考理科Ｔ3）一個長方體 去掉一個小長方體，所得幾何體的正（主）視 圖與側(cè)（左）視圖分別如圖所示，則該幾何 體的俯視圖為（ ） （A） （B） （C） （D） 【命題立意】本題考查三視圖知識，考查同學們的空間想象能力. 【思路點撥】結(jié)合正、側(cè)視圖，想象直觀圖. 【規(guī)范解答】選C.由主、左視圖可知直觀圖如圖所示： 因此，俯視圖是選項C. 7.（xx北京高考理科Ｔ8）如圖，正方體ABCD-的棱長為2，動點E，F(xiàn)在棱上，動點P，Q分別在棱AD，CD上，若EF=1，E=x，DQ=y，DＰ＝ｚ（ｘ，ｙ，ｚ大于零），則四面體PEＦＱ的體積（ ） （Ａ）與ｘ，ｙ，ｚ都有關 （Ｂ）與ｘ有關，與ｙ，ｚ無關 （Ｃ）與ｙ有關，與ｘ，ｚ無關 （Ｄ）與ｚ有關，與ｘ，ｙ無關 【命題立意】本題考查幾何體體積的求法，關鍵是找到易求面積的底面與高.考查空間想象能力，運算能力. 【思路點撥】把四面體PEFQ的體積表示出來，由于中，，Q到EF的距離為側(cè)面的對角線長，故選擇為底面.點P到的距離，即是點P到對角面的距離. 【規(guī)范解答】選D.S△EFQ，點P到平面EFQ的距離h=，S△EFQh.因此體積只與有關，而與無關. 8.（xx北京高考文科Ｔ8）如圖，正方體 的棱長為2，動點E，F(xiàn)在棱上.點Q是CD的中點，動點P在 棱AD上，若EF=1，DP=x，E=y(x,y大于零)，則三棱錐P-EFQ的 體積（ ） （A）與x，y都有關 （B）與x，y都無關 （C）與x有關，與y無關 （D）與y有關，與x無關 【命題立意】本題考查幾何體體積的相關知識，關鍵是找到易求面積的底面與高. 【思路點撥】把△EFQ看作底面，點P到對角面的距離即為對應的高. 【規(guī)范解答】選C.，點P到平面EFQ的距離h=. ,與x有關，與y無關. 9.（xx 海南寧夏高考理科T10）設三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長為，頂點都在一個球面上，則該球的表面積為（ ） （A） （B） （C） （D） 【命題立意】本小題主要考查了幾何體的外接球問題. 【思路點撥】找出球與棱柱的相應關系，找出球的半徑與三棱柱棱長之間的關系. 【規(guī)范解答】選Ｂ.設球心為，設正三棱柱上底面為，中心為，因為三棱柱所有棱的長為，則可知 ，，又由球的相關性質(zhì)可知，球的半徑，所以球的表面積為，故選Ｂ. 1 1 1 10.（xx福建高考文科Ｔ3）若一個底面是正三角形的三棱柱的正視圖如圖所示，則其側(cè)面積等于（ ） (A) (B)2 (C) (D)6 【命題立意】本題考查三棱柱的三視圖、側(cè)面積. 【思路點撥】由題意判斷幾何體的形狀，結(jié)合三視圖的數(shù)據(jù)求出側(cè)面積. 【規(guī)范解答】選D.由正視圖知：三棱柱是以底面邊長為2，高為1的正三棱柱，側(cè)面積為321=6. 11.（xx廣東高考理科Ｔ6）如圖，△ ABC為正三角形，////, ⊥平面ABC且3== =AB,則多面體ABC -的正視圖（也稱主視圖）是（ ） 【命題立意】本題考查三視圖的畫法. 【思路點撥】可由投影的方法得到. 【規(guī)范解答】選.由//及3=可得四邊形的投影為梯形，再由3== =AB及底面為正三角形可得正視圖為. 12.（xx 海南寧夏高考理科T14）正視圖為一個三角形的幾何體可以是 (寫出三種)． 【命題立意】本題主要考查空間幾何體的三視圖的相關知識. 【思路點撥】一般來說，錐體的正視圖中才會出現(xiàn)三角形. 【規(guī)范解答】由幾何體的三視圖可知，正視圖為三角形的可以是三棱錐、圓錐、四棱錐等. 【答案】三棱錐、圓錐、四棱錐（不唯一） 13.（xx天津高考文科Ｔ12）一個幾何體的三視圖如圖所示， 則這個幾何體的體積為 . 【命題立意】本題主要考查三視圖的基礎知識，和柱體體積的計算，屬于容易題. 【思路點撥】由三視圖還原幾何體的形狀. 【規(guī)范解答】由俯視圖可知該幾何體的底面為直角梯形，則由正視圖和側(cè)視圖可知該幾何體的高為1，結(jié)合三個視圖可知該幾何體是底面為直角梯形的直四棱柱，所以該幾何體的體積為. 【答案】3 【方法技巧】根據(jù)三視圖還原幾何體實物，要仔細分析和認真觀察三視圖，進行充分的空間想象，結(jié)合三視圖的形狀，從不同的角度去還原，看圖和想圖是兩個重要的步驟，“想”與“看”中，形體分析的看圖方法是解決此類問題的常見方法. 14.（xx湖南高考文科Ｔ13）如圖中的三個直角三角形是一個體積為20 cm3的幾何體的三視圖，則h= cm. 【命題立意】考查空間想象能力和把三視圖等價轉(zhuǎn)化 為直觀圖的能力. 【思路點撥】三視圖→直觀圖，特別注意數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化. 【規(guī)范解答】在長方體ABCD-A1B1C1D1中體會三視圖， 得到三視圖的直觀圖是三棱錐D1-DAC，D1D⊥DA， D1D⊥DC，且DC=5，DA=6，則V=DADCh=20,∴h=4cm. 【答案】4 【方法技巧】在把三視圖轉(zhuǎn)化為直觀圖時，常常利用長方體為載體進行分析，常常注意三個方面：虛線和實線，面高和體高，垂直. 15.（xx遼寧高考理科Ｔ15）如圖，網(wǎng)格紙的小正方形的邊長是1，在其上用粗線畫出了某多面體的三視圖，則這個多面體最長的一條棱的長為______. 【命題立意】考查了幾何體的三視圖和幾何體中的簡單計算. 【思路點撥】由三視圖作出該幾何體的直觀圖，判斷出最長的棱，計算得出答案. 【規(guī)范解答】由三視圖可知該幾何體是一個四棱錐，（如圖）底面ABCD是正方形，邊長是2，，高PC＝2，，，所以最長的棱是PA，長為. 【答案】 16.（xx浙江高考理科Ｔ12）若某幾何體的三視圖（單位：cm） 如圖所示，則此幾何體的體積是___________. 【命題立意】本題考查三視圖、體積的計算公式，考查空間想象能力、 運算能力. 【思路點撥】先由三視圖想象出直觀圖，再分解求體積. 【規(guī)范解答】該幾何體的直觀圖：上面是一個正四棱柱 （底面邊長4，高2），下面是一個四棱臺（上底面邊長為4， 下底面邊長為8，高為3）.因此， 其體積為：. 【答案】144 【方法技巧】（1）在由三視圖畫直觀圖時，要注意三視圖中的尺寸與直觀圖中尺寸間的對應關系.（2）求復雜幾何體的體積一般先把它分成幾個簡單的幾何體，再分別求體積. 17.（xx天津高考理科Ｔ１2）一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積為 . 【命題立意】考查三視圖的概念及錐體的體積公式. 【思路點撥】由三視圖還原幾何體的形狀. 【規(guī)范解答】由三視圖可得該幾何體是一個組合體，上面是一個高為1的正四棱錐，其底是邊長為2的正方形，下面是一個長為1、寬為1、高為2的長方體，所以所求幾何體的體積為. 【答案】 【方法技巧】根據(jù)三視圖還原幾何體實物，要仔細分析和認真觀察三視圖，進行充分的空間想象，結(jié)合三視圖的形狀，從不同的角度去還原，看圖和想圖是兩個重要的步驟，“想”與“看”中，形體分析的看圖方法是解決此類問題的常見方法. 1 1 1 18.（xx福建高考理科Ｔ12）若一個底面是正三角形的三棱柱的 正視圖如圖所示，則其表面積等于 . 【命題立意】本題主要考查三棱柱的三視圖與直觀圖、表面積. 【思路點撥】 把三視圖恢復成直觀圖，求出上、下底面和各個側(cè) 面的面積，進而求出表面積. 【規(guī)范解答】三棱柱的直觀圖為底面邊長為2的正三角形，側(cè)棱長為1，，， . 【答案】 19．（xx湖南高考理科Ｔ4）如圖中的三個直角三角形是一個體積為20的幾何體的三視圖， 則 ． 【命題立意】考查空間想象能力和把三視圖等價轉(zhuǎn)化為直觀圖的能力. 【思路點撥】三視圖→直觀圖，特別注意數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化. 【規(guī)范解答】在長方體ABCD-A1B1C1D1中體會三視圖，得到三視圖的直觀圖是三棱錐D1-DAC，D1D⊥DA， D1D⊥DC，且DC=5，DA=6，則V=DADCh=20,∴h=4cm. 【答案】4 【方法技巧】在把三視圖轉(zhuǎn)化為直觀圖時，常常利用長方體為載體進行分析.常常注意三個方面：虛線和實線，面高和體高，垂直.