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2019年高中數(shù)學 第一章 解三角形 1.2 應用舉例 第3課時 三角形中的幾何計算學業(yè)分層測評 新人教A版必修5 一、選擇題 1．已知方程x2sin A＋2xsin B＋sin C＝0有重根，則△ABC的三邊a，b，c的關系滿足(　　) A．b＝ac B．b2＝ac C．a(chǎn)＝b＝c D．c＝ab 【解析】　由方程有重根，∴Δ＝4sin2B－4sin Asin C＝0，即sin2B＝sin Asin C，∴b2＝ac. 【答案】　B 2．在△ABC中，A＝60，b＝1，S△ABC＝，則角A的對邊的長為(　　) A. B. C. D. 【解析】　∵S△ABC＝bcsin A＝1csin 60＝，∴c＝4.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos 60＝1＋16－214＝13， ∴a＝. 【答案】　D 3．在△ABC中，a＝1，B＝45，S△ABC＝2，則此三角形的外接圓的半徑R＝(　　) A. B．1 C．2 D. 【解析】　S△ABC＝acsin B＝c＝2，∴c＝4. b2＝a2＋c2－2accos B＝1＋32－8＝25， ∴b＝5，∴R＝＝＝. 【答案】　D 4．在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60，則BC邊上的高等于(　　) A. B. C. D. 【解析】　在△ABC中，由余弦定理可知： AC2＝AB2＋BC2－2ABBCcos B， 即7＝AB2＋4－22AB. 整理得AB2－2AB－3＝0， 解得AB＝－1(舍去)或AB＝3. 故BC邊上的高AD＝ABsin B＝3sin 60＝. 【答案】　B 5．設△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，若三邊的長為連續(xù)的三個正整數(shù)，且A>B>C,3b＝20acos A，則sin A∶sin B∶sin C為(　　) A．4∶3∶2 B．5∶6∶7 C．5∶4∶3 D．6∶5∶4 【解析】　由題意知：a＝b＋1，c＝b－1， 所以3b＝20acos A＝20(b＋1) ＝20(b＋1)， 整理得7b2－27b－40＝0， 解之得：b＝5(負值舍去)，可知a＝6，c＝4. 結合正弦定理可知sin A∶sin B∶sin C＝6∶5∶4. 【答案】　D 二、填空題 6．在△ABC中，B＝60，AB＝1，BC＝4，則BC邊上的中線AD的長為_____． 【解析】　畫出三角形(略)知AD2＝AB2＋BD2－2ABBDcos 60＝3，∴AD＝. 【答案】　 7．在△ABC中，若A＝60，b＝16，此三角形的面積S＝220，則a的值為________． 【解析】　由bcsin A＝220得c＝55， 又a2＝b2＋c2－2bccos A＝2 401， 所以a＝49. 【答案】　49 8．在△ABC中，B＝120，b＝7，c＝5，則△ABC的面積為________. 【解析】　由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B， 即49＝a2＋25－25acos 120， 整理得a2＋5a－24＝0，解得a＝3或a＝－8(舍)， ∴S△ABC＝acsin B＝35sin 120＝. 【答案】　 三、解答題 9．已知△ABC的三內(nèi)角滿足cos(A＋B)cos(A－B)＝1－5sin2C，求證：a2＋b2＝5c2. 【證明】　由已知得cos2Acos2B－sin2Asin2B＝1－5sin2C， ∴(1－sin2A)(1－sin2B)－sin2Asin2B＝1－5sin2C， ∴1－sin2A－sin2B＝1－5sin2C， ∴sin2A＋sin2B＝5sin2C. 由正弦定理得，所以2＋2＝52， 即a2＋b2＝5c2. 10．四邊形ABCD的內(nèi)角A與C互補，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2. (1)求C和BD； (2)求四邊形ABCD的面積． 【解】　(1)由題設及余弦定理得 BD2＝BC2＋CD2－2BCCDcos C＝13－12cos C，① BD2＝AB2＋DA2－2ABDAcos A＝5＋4cos C．② 由①，②得cos C＝，故C＝60，BD＝. (2)四邊形ABCD的面積 S＝ABDAsin A＋BCCDsin C ＝sin 60＝2. [能力提升] 1．已知銳角△ABC中，||＝4，||＝1，△ABC的面積為，則的值為(　　) A．2 B．－2 C．4 D．－4 【解析】　由題意S△ABC＝||||sin A＝， 得sin A＝，又△ABC為銳角三角形， ∴cos A＝，∴＝||||cos A＝2. 【答案】　A 2．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，且a>b，則B＝(　　) A. B. C. D. 【解析】　由正弦定理可得sin Asin Bcos C＋sin Csin Bcos A＝sin B，又因為sin B≠0，所以sin Acos C＋sin Ccos A＝，所以sin(A＋C)＝sin B＝.因為a>b，所以B＝. 【答案】　A 3．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知△ABC的面積為3，b－c＝2，cos A＝－，則a的值為________． 【解析】　在△ABC中，由cos A＝－可得sin A＝， 所以有解得 【答案】　8 4．△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.向量m＝(a，b)與n＝(cos A，sin B)平行． (1)求A； (2)若a＝，b＝2，求△ABC的面積． 【解】　(1)因為m∥n，所以asin B－bcos A＝0， 由正弦定理，得sin Asin B－sin Bcos A＝0， 又sin B≠0，從而tan A＝. 由于00，所以c＝3. 故△ABC的面積為bcsin A＝. 法二：由正弦定理，得＝，從而sin B＝. 又由a>b，知A>B，所以cos B＝. 故sin C＝sin(A＋B)＝sin ＝sin Bcos ＋cos Bsin ＝. 所以△ABC的面積為absin C＝.