高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第7章 第7節(jié) 立體幾何中的向量方法課件 理.ppt
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,第七章 立體幾何,第七節(jié) 立體幾何中的向量方法,,[考情展望] 1.考查利用空間向量判斷、證明空間中的線、面位置關(guān)系.2.考查利用向量求空間角的大小.3.以解答題為主要考查形式.,固本源 練基礎(chǔ) 理清教材,(1)①平行 (2)①垂直,[基礎(chǔ)梳理],2.空間位置關(guān)系的向量表示 n1=kn2 n1n2=0 nm=0 n=km n=km nm=0,3.空間角的向量求法 (1)異面直線所成角的求法. 設(shè)a,b分別是兩異面直線l1,l2的方向向量.,(2)直線和平面所成角的求法. 如圖所示,設(shè)直線l的方向向量為e,平面α的法向量為n,直線l與平面α所成的角為φ,兩向量e與n的夾角為θ,則有sin φ=|cos θ|=________.直線與平面所成角的范圍為[0,90].,,(3)二面角的求法. ①如圖①,AB,CD是二面角α-l-β的兩個(gè)半平面內(nèi)與棱l垂直的直線,則二面角的大小θ=________.,,②如圖②,圖③,n1,n2分別是二面角α-l-β的兩個(gè)半平面α,β的法向量,則二面角的大小θ滿(mǎn)足cos θ=__________或________.,,,[基礎(chǔ)訓(xùn)練],答案:1.(1)√ (2) (3) (4)√,,,4.長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=1,E為CC1的中點(diǎn),則異面直線BC1與AE所成角的余弦值為_(kāi)_______.,,,5.(2015上海普陀區(qū)一模)正四棱錐S-ABCD中,O為頂點(diǎn)S在底面上的射影,P為側(cè)棱SD的中點(diǎn),且SO=OD,則直線BC與平面PAC所成的角是________.,,答案:30,精研析 巧運(yùn)用 全面攻克,[調(diào)研1] 如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四邊形ABCD中,∠B=∠C=90,AB=4,CD=1,點(diǎn)M在PB上,PB=4PM,PB與平面ABCD成30的角. (1)求證:CM∥平面PAD; (2)求證:平面PAB⊥平面PAD.,┃考點(diǎn)一┃ 利用空間向量證明平行、垂直 ——師生共研型,,,,,1.恰當(dāng)建立坐標(biāo)系,準(zhǔn)確表示各點(diǎn)與相關(guān)向量的坐標(biāo),是運(yùn)用向量法證明平行和垂直的關(guān)鍵. 2.證明直線與平面平行,只須證明直線的方向向量與平面的法向量的數(shù)量積為零,或證直線的方向向量與平面內(nèi)的不共線的兩個(gè)向量共面,然后說(shuō)明直線在平面外即可.這樣就把幾何的證明問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算. 3.證明直線與直線垂直,只需要證明兩條直線的方向向量垂直,而直線與平面垂直,平面與平面垂直可轉(zhuǎn)化為證明直線與直線垂直.,名師歸納類(lèi)題練熟,如圖所示,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC為等腰三角形,∠BAC=90,且AB=AA1,D,E,F(xiàn)分別為B1A,C1C,BC的中點(diǎn).求證: (1)DE∥平面ABC; (2)B1F⊥平面AEF.,[好題研習(xí)],┃考點(diǎn)二┃ 利用空間向量求線線角和線面角 ——師生共研型,[解析] (1)證明:由該四面體的三視圖,可知 BD⊥DC,BD⊥AD,AD⊥DC, BD=DC=2,AD=1. 由題設(shè),BC∥平面EFGH, 平面EFGH∩平面BDC=FG, 平面EFGH∩平面ABC=EH, ∴BC∥FG,BC∥EH,∴FG∥EH. 同理EF∥AD,HG∥AD,∴EF∥HG, ∴四邊形EFGH是平行四邊形. 又∵AD⊥DC,AD⊥BD,∴AD⊥平面BDC. ∴AD⊥BC,∴EF⊥FG, ∴四邊形EFGH是矩形.,,,,,名師歸納類(lèi)題練熟,(2015臨沂一模)在三棱柱ABC-A1B1C1中,四邊形AA1B1B為菱形,AA1=4,AC=3,BC=B1C=5,∠ABB1=60,D為AB的中點(diǎn). (1)求證:B1D⊥B1C1; (2)求直線AA1與平面CB1D所成角的正弦值.,[好題研習(xí)],,解:(1)證明:∵四邊形AA1B1B為菱形,∴AB=AA1=4. 又∵AC=3,BC=B1C=5,∴BC2=AB2+AC2, ∴∠BAC=90,即AC⊥AB. 連接AB1,∵∠ABB1=60,∴AB1=AB=4. 在△AB1C中,由B1C2=AB+AC2, 得∠CAB1=90,∴AC⊥AB1. ∵AB∩AB1=A,∴AC⊥平面AA1B1B. 又∵B1D?平面AA1B1B,∴AC⊥B1D. 又D為AB的中點(diǎn),∴B1D⊥AB. ∵AB∩AC=A,∴B1D⊥平面ABC. ∵BC?平面ABC,∴B1D⊥BC, 又B1C1∥BC,∴B1D⊥B1C1.,,[考情]二面角是高考的重點(diǎn),也是考查熱點(diǎn),二面角可以將面面位置關(guān)系、線面位置關(guān)系、線線位置關(guān)系很好地融合在一起考查,且命題形式多樣化.無(wú)論是選擇題、填空題還是解答題都有關(guān)于這個(gè)考點(diǎn)常見(jiàn)的命題形式.,┃考點(diǎn)三┃ 利用空間向量求二面角——高頻考點(diǎn)型,因?yàn)锳O⊥BD,所以NH⊥BD. 因?yàn)镸N⊥NP,所以BD⊥NP. 因?yàn)镹H,NP?平面NHP,且NH∩NP=N, 所以BD⊥平面NHP. 又因?yàn)镠P?平面NHP,所以BD⊥HP. 又OC⊥BD,HP?平面BCD,OC?平面BCD, 所以HP∥OC. 因?yàn)镠為BO中點(diǎn),故P為BC中點(diǎn).,提醒:求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個(gè)平面所在的法向量,然后通過(guò)兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小,但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角.,熱點(diǎn)破解通關(guān)預(yù)練,[好題研習(xí)],[考情]探索存在性問(wèn)題在立體幾何綜合考查中是??嫉拿}角度,也是考生感覺(jué)較難,失分較多的問(wèn)題,歸納起來(lái)立體幾何中常見(jiàn)的探索性問(wèn)題有: (1)探索性問(wèn)題與空間角相結(jié)合; (2)探索性問(wèn)題與平行或垂直相結(jié)合; (3)探索性問(wèn)題與空間距離相結(jié)合.,┃考點(diǎn)四┃ 利用空間向量解決探索性問(wèn)題 ——多維探究型,,,,,[解析] (1) 證明:因?yàn)锳A1C1C為正方形, 所以AA1⊥AC. 因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面AA1C1C, 且AA1垂直于這兩個(gè)平面的交線AC, 所以AA1⊥平面ABC. (2)解:由(1) 知AA1⊥AC, AA1⊥AB.由題知AB=3,BC=5,AC=4,所以AB⊥AC. 如圖, 以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz, 則B(0,3,0), A1(0,0,4), B1(0,3,4), C1(4,0,4).,,視點(diǎn)三:探索性問(wèn)題與空間距離相結(jié)合 3.(2015淄博模擬)在如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD是等腰梯形,AB∥CD,∠ABC=60,AB=2CB=2.在梯形ACEF中,EF∥AC,且AC=2EF,EC⊥平面ABCD. (1)求證:BC⊥AF; (2)若二面角D-AF-C的大小為45,求CE的長(zhǎng).,,[解析] (1)證明:在△ABC中,AC2=AB2+BC2-2ABBCcos 60=3, 所以AB2=AC2+BC2, 由勾股定理的逆定理,知∠ACB=90,所以BC⊥AC. 又因?yàn)镋C⊥平面ABCD,BC?平面ABCD,所以BC⊥EC. 又因?yàn)锳C∩EC=C,所以BC⊥平面ACEF, 又AF?平面ACEF, 所以BC⊥AF.,學(xué)方法 提能力 啟智培優(yōu),[規(guī)范答題] 向量法求空間角,[審題視角] (1)轉(zhuǎn)化為證明C1M∥AD1. (2)解法一是通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系,用向量法求解. 解法二是作出二面角的平面角,通過(guò)解三角形求解. [滿(mǎn)分展示] (1)證明:因?yàn)樗倪呅蜛BCD是等腰梯形, 且AB=2CD, 所以AB∥DC,又由M是AB的中點(diǎn), 因此CD∥MA且CD=MA.(2分),,連接AD1,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,因?yàn)镃D∥C1D1,CD=C1D1,可得C1D1∥MA,C1D1=MA,,所以四邊形AMC1D1為平行四邊形,因此C1M∥D1A. 又C1M?平面A1ADD1,D1A?平面A1ADD1, 所以C1M∥平面A1ADD1.(4分),解法二:由(1),知平面D1C1M∩平面ABCD=AB,過(guò)C向AB引垂線交AB于N,連接D1N.(6分),[答題模板] 利用向量求空間角的步驟: 第一步:建立空間直角坐標(biāo)系. 第二步:確定點(diǎn)的坐標(biāo). 第三步:求向量(直線的方向向量、平面的法向量)坐標(biāo). 第四步:計(jì)算向量的夾角(或函數(shù)值). 第五步:將向量夾角轉(zhuǎn)化為所求的空間角. 第六步:反思回顧,查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)和答題規(guī)范.,[溫馨提醒] (1)利用向量求角是高考的熱點(diǎn),幾乎每年必考,主要是突出向量的工具性作用. (2)本題易錯(cuò)點(diǎn)是在建立坐標(biāo)系時(shí)不能明確指出坐標(biāo)原點(diǎn)和坐標(biāo)軸,導(dǎo)致建系不規(guī)范. (3)將向量的夾角轉(zhuǎn)化成空間角時(shí),要注意根據(jù)角的概念和圖形特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化,否則易錯(cuò).,,[名師指導(dǎo)],- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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