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2019-2020年高中數(shù)學競賽輔導資料《指、對數(shù)函數(shù),冪函數(shù)》 　　指數(shù)、對數(shù)以及指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)，是高中代數(shù)非常重要的內(nèi)容。無論在高考及數(shù)學競賽中，都具有重要地位。熟練掌握指數(shù)對數(shù)概念及其運算性質(zhì)，熟練掌握指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)這一對反函數(shù)的性質(zhì)、圖象及其相互關系，對學習好高中函數(shù)知識，意義重大。 　　一、 指數(shù)概念與對數(shù)概念： 　　指數(shù)的概念是由乘方概念推廣而來的。相同因數(shù)相乘aa……a(n個)=an導出乘方，這里的n為正整數(shù)。從初中開始，首先將n推廣為全體整數(shù)；然后把乘方、開方統(tǒng)一起來，推廣為有理指數(shù)；最后，在實數(shù)范圍內(nèi)建立起指數(shù)概念。 　　歐拉指出：“對數(shù)源出于指數(shù)”。一般地，如果a(a>0,a≠1)的b次冪等于N，就是ab=N，那么數(shù)b叫做以a為底N的對數(shù)，記作：logaN=b 　　其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)。 　　ab=N與b=logaN是一對等價的式子，這里a是給定的不等于1的正常數(shù)。當給出b求N時，是指數(shù)運算，當給出N求b時，是對數(shù)運算。指數(shù)運算與對數(shù)運算互逆的運算。 　　二、指數(shù)運算與對數(shù)運算的性質(zhì) 　　1．指數(shù)運算性質(zhì)主要有3條： 　　　　axay=ax+y,(ax)y=axy,(ab)x=axbx（a>0,a≠1,b>0,b≠1） 　　2．對數(shù)運算法則（性質(zhì)）也有3條： 　　（1）loga(MN)=logaM+logaN 　?。?）logaM/N=logaM-logaN 　?。?）logaMn=nlogaM(n∈R) 　　　(a>0,a≠1,M>0,N>0) 　　3．指數(shù)運算與對數(shù)運算的關系： 　　　　X=alogax；mlogan=nlogam 　　4．負數(shù)和零沒有對數(shù)；1的對數(shù)是零，即loga1=0；底的對數(shù)是1，即logaa=1 　　5．對數(shù)換底公式及其推論： 　　　換底公式：logaN=logbN/logba 　　　推論1：logamNn=(n/m)logaN 　　　推論2： 　　三、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù) 　　函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)。它的基本情況是： 　　（1）定義域為全體實數(shù)（-∞，+∞） 　　（2）值域為正實數(shù)（0，+∞），從而函數(shù)沒有最大值與最小值，有下界，y>0 　　（3）對應關系為一一映射，從而存在反函數(shù)--對數(shù)函數(shù)。 　?。?）單調(diào)性是：當a>1時為增函數(shù)；當00,a≠1), 　　　　　f(x+y)=f(x)f(y),f(x-y)=f(x)/f(y) 　　函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)叫做對數(shù)函數(shù)，它的基本情況是： 　?。?）定義域為正實數(shù)（0，+∞） 　　（2）值域為全體實數(shù)（-∞，+∞） 　?。?）對應關系為一一映射，因而有反函數(shù)——指數(shù)函數(shù)。 　　（4）單調(diào)性是：當a>1時是增函數(shù)，當00,a≠1)， 　　　　f(xy)=f(x)+f(y), 　　　　f(x/y)=f(x)-f(y) 例題講解 1．若f(x)=(ax/(ax+√a))，求f(1/1001)+f(2/1001)+f(3/1001)+…+f(1000/1001) 2．5log25等于：（ ） 　?。ˋ）1/2 （B）(1/5)10log25 （C）10log45 （D）10log52 3．計算 4．試比較(12xx+1)/(12xx+1)與(12xx+1)/(12xx+1)的大小。 5．已知(a,b為實數(shù))且f(lglog310)=5，則f(lglg3)的值是（ ） 　　（A）-5 （B）-3 （C）3 （D）隨a,b的取值而定 6．已知函數(shù)y=((10x-10-x)/2)(X∈R) 　?。?）求反函數(shù)y=f-1(x) 　?。?）判斷函數(shù)y=f-1(x)是奇函數(shù)還是偶函數(shù) 7．已知函數(shù)f(x)=loga((1+x)/(1-x))(a＞0,a≠1) 　?。?）求f(x)的定義域 　　（2）判斷f(x)的奇偶性并給以證明； 　?。?）當a＞1時，求使f(x)＞0的x取值范圍； 　　（4）求它的反函數(shù)f-1(x) 8．2xx的十進制表示是個P位數(shù)，5xx的十進位表示是個q位數(shù)，則p+q=　　　。 9．已知x2-2x+loga(a2-a)=0有一正根和一負根，求實數(shù)a的范圍。 10．設y=log(1/2)[a2x+2(ab)x-b2x+1](a＞0,b＞0)，求使y為負值的x的取值范圍 課后練習 　　1．設a,b,c都是正數(shù)，且3a=4b=6c，那么（ ） 　　　（A）(1/c)=(1/a)+(1/b), (B)(2/c)=(2/a)+(1/b), (C)(1/c)=(2/a)+(2/b), (D)(2/c)=(1/a)+(2/b) 　　2.F(x)=(1+((2/(2x-1)))f(x)(x≠0)是偶函數(shù)，且f(x)不恒等于零，則f(x)( ) 　　?。ˋ）是奇函數(shù) （B）是偶函數(shù) 　　　（C）可能是奇函數(shù)也可能是偶函數(shù) （D）不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù) 　　3．若f(x)=3x+5，則f-1(x)的定義域是（ ） 　　?。ˋ）(0,+∞) (B) (5,+∞) (C) (8,+∞) (D) (-∞,+∞) 　　4．求值：6lg405lg36 　　5．已知m,n為正整數(shù)，a＞0,a≠1,且logam+loga(1+(1/m))+loga(1+(1/(m+1))+…+loga(1+(1/(m+n-1)))=lgam+logan。求m,n 　　6．X=((1/(log(1/2)(1/3))+(1/(log(1/5)(1/3))的值屬于區(qū)間（ ） 　　　（A）（-2，-1） （B）（1，2） （C）（-3，-2） （D）（2，3） 　　7．計算：（1）lg20+log10025 (2)lg5lg20+(lg2)2 　　8．若集合{x，xy，lg(xy)}={0，∣x∣,y}，則log8(x2+y2)=　　　。 　　9．若x∈(1,10)，則lg2x,lgx2,lglgx的大小順序是： 　　（A）lg2x＜lgx2＜lglgx (B)lg2x＜lglgx＜lgx2 　?。–）lgx2＜lg2x＜lglgx (D)lglgx＜lg2x＜lgx2 10．計算： 11．集合{x∣-1≤log(1/x)10＜-(1/2),x∈N}的真子集的個數(shù)是 。 12．求函數(shù)y=(1/4)x2-2x-3的單調(diào)區(qū)間。 13．已知指數(shù)函數(shù)f(x)=ax(a＞0,且a≠1)，求滿足f(3x2-4x-5)>f(2x2-3x+1)的x的取值。 14．解方程8log6(x2-7x+15)=5log68 　　15．設有關于x的不等式lg (∣x+3∣+∣x-7∣)＞a 　　?。?）當a=1時，解這個不等式； 　　?。?）當a為何值時，這個不等式的解集為R？ 課后練習答案 　　1.（B）；2.（A）；3.（B）；4.216；5.m=2，n=2； 　　6.（D）；7.（1）2，（2）1；8.1/3；9.（D）； 　　10.1/2；11.290-1；12.單調(diào)增區(qū)間（-∞，1]，單調(diào)減區(qū)間[1，+∞） 　　13.當a＞1時，x＜-2或x＞3，當0＜a＜1時，-2＜x＜3； 　　14.x1=2,x2=5； 　　15.(1)x＜-3或x＞7，（2）a＜1 例題答案： 1．　　分析：和式中共有1000項，顯然逐項相加是不可取的。需找出f(x)的結構特征，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，注意到1/1001+1000/1001=2/1001+999/1001=3/1001+998/1001=…=1， 　　而f(x)+f(1-x)=(ax/(ax+√a))+(a1-x/(a1-x+√a))=(ax/(ax+√a))+(a/(a+ax√a))=(ax/(ax+√a))+((√a)/(ax+√a))=((ax+√a)/(ax+√a))=1規(guī)律找到了，這啟示我們將和式配對結合后再相加： 　　原式=[f(1/1001)+f(1000/1001)]+[f(2/1001)+f(999/1001)]+…+[f(500/1001)+f(501/1001)]=(1+1+…+1)5000個=500 　　說明：觀察比較，發(fā)現(xiàn)規(guī)律f(x)+f(1-x)=1是本例突破口。 　?。?）取a=4就是1986年的高中數(shù)學聯(lián)賽填空題：設f(x)=(4x/(4x+2))，那么和式f(1/1001)+f(2/1001)+f(3/1001)+…+f(1000/1001)的值=　　　　　。 　?。?）上題中取a=9，則f(x)=(9x/(9x+3))，和式值不變也可改變和式為求f(1/n)+f(2/n)+f(3/n)+…+f((n-1)/n). 　?。?）設f(x)=(1/(2x+√2))，利用課本中推導等差數(shù)列前n項和的方法，可求得f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)的值為　　　　。這就是xx年春季上海高考數(shù)學第12題。 2．解：∵5log25=(10/2)log25=(10log25)/(2log25)=(1/5)10log25 　　　　∴選（B） 　　說明：這里用到了對數(shù)恒等式：alogaN=N(a＞0,a≠1,N＞0) 　　這是北京市1997年高中一年級數(shù)學競賽試題。 3．解法1：先運用復合二次根式化簡的配方法對真數(shù)作變形。 　　解法2：利用算術根基本性質(zhì)對真數(shù)作變形，有 　　　 　　　 　　說明：乘法公式的恰當運用化難為易，化繁為簡。 4．解：對于兩個正數(shù)的大小，作商與1比較是常用的方法，記12xx=a＞0，則有 　　((12xx+1)/(12xx+1))((12xx+1)/(12xx+1))=((a/12)+1)/(a+1)((12a+1)/(a+1))=((a+12)(12a+1))/(12(a+1)2)=((12a2+145a+12)/(12a2+24a+12))＞1 　　故得：((12xx+1)/(12xx+1))＞((12xx+1)/(12xx+1)) 5．　　解：設lglog310=t，則lglg3=lg(1/log310)=-lglog310=-t 　　而f(t)+f(-t)= 　　　　　　　　　 　　∴f(-t)=8-f(t)=8-5=3 　　說明：由對數(shù)換底公式可推出logablogba=(lgb/lga)(lga/lgb)=1，即logab=(1/logba)，因而lglog310與lglg3是一對相反數(shù)。設中的部分，則g(x)為奇函數(shù)，g(t)+g(-t)=0。這種整體處理的思想巧用了奇函數(shù)性質(zhì)使問題得解，關鍵在于細致觀察函數(shù)式結構特征及對數(shù)的恒等變形。 6．分析：（1）求y=(10x-10-x)/2的反函數(shù)首先用y把x表示出來，然后再對調(diào)x,y即得到y(tǒng)=f-1(x)； 　?。?）判斷函數(shù)y=f-1(x)的奇偶性要依據(jù)奇函數(shù)或偶函數(shù)的定義，看當X∈R時是否有 　　　f(-x)=-f(x)或(f(-x)+f(x)=0) 　　　或f(-x)=f(x) 恒成立。 　　解：（1）由y=((10x-10-x)/2)(X∈R)可得2y=10x-10-x，設10x=t，上式化為：2y=t-t-1兩邊乘t，得2yt=t2-1整理得：t2-2yt-1=0，解得： 　　由于t=10x＞0，故將舍去，得到：將t=10x代入上式，即得: 　　 　　所以函數(shù)y=((10x-10-x)/2)的反函數(shù)是 　　(2)由得: 　　　 　　　∴f-1(-x)=-f(x) 　　所以，函數(shù) 是奇函數(shù)。 　　說明：①從本題求解及判斷過程可以得到更一般的結論：函數(shù)y=((ax-a-x)/2)(X∈R,a＞0,a≠1)的反函數(shù)是，它們都是奇函數(shù)。當a=2,3,10或e時就構造了新的特殊的題目。進一步還可以研究它們的單調(diào)性，如1992年高考數(shù)學試題：函數(shù)y=((ex-e-x)/2)的反函數(shù) 　?。ˋ）是奇函數(shù)，它在(0,+∞)上是減函數(shù)； 　　（B）是偶函數(shù)，它在(0,+∞)上是減函數(shù)； 　　（C）是奇函數(shù)，它在(0,+∞)上是增函數(shù)； 　?。―）是偶函數(shù)，它在(0,+∞)上是增函數(shù)。 　　②函數(shù)y=((ax-a-x)/2)是由y=f(x)=ax構造而得，全日制普通高級中學教科書（試驗修訂本。必修）《數(shù)學》第一冊（上）（人民教育出版社中學數(shù)學室編著）P107復習參考題二B組第6題：設y=f(x)是定義在R上的任一函數(shù)， 　　求證：（1）F1(x)=f(x)+f(-x)是偶函數(shù)； 　　　　?。?）F2(x)=f(x)-f(-x)是奇函數(shù)。 　　而f(x)=F1(X)+F2(x)，它說明，定義在R上的任一函數(shù)都可以表示成一個奇函數(shù)(F2(x))與一個偶函數(shù)(F1(x))的代數(shù)和。從這個命題出發(fā)，由f(x)=ax就可以構造出諸多奇函數(shù)，比如，y=((ax-a-x)/2)；y=((ax-a-x)/(ax+a-x))=((a2x-1)/(a2x+1))等等用自然對數(shù)的底e≈2.71828…（無理數(shù)）作底，作函數(shù)sh(x)=((ex-e-x)/2),ch(x)=((ex+e-x)/2),th(x)=((ex-e-x)/(ex+e-x))它們分別叫做雙曲正弦函數(shù)，雙曲余弦函數(shù)，雙曲正切函數(shù)，它們具有如下性質(zhì)： 　　(1)ch2(x)-sh2(x)=1; 　　(2)sh(x+y)=sh(x)ch(y)+ch(x)sh(y); 　　(3)ch(x+y)=ch(x)ch(y)+sh(x)sh(y); 　　(4)th(x+y)=((th(x)+th(y))/(1+th(x)th(y))); 　　(5)ch(-x)=ch(x); 　　(6)sh(-x)=-sh(x); 　　(7)th(-x)=-th(x). 令x=y，則有 　　(8)sh(2x)=2sh(x)ch(x); 　　(9)ch(2x)=ch2(x)+sh2(x) 其中①⑧⑨合起來，就是課本P107的第8題。 7．　　解：（1）由對數(shù)的定義域知((1+x)/(1-x))＞0 　　解這個分式不定式，得：(x+1)(x-1)＜0,-1＜x＜1 　　故函數(shù)f(x)的定義域為（-1，1） 　?。?）f(-x)=loga((1-x)/(1+x))=log((1+x)/(1-x))-1=-loga((1+x)/(1-x))=-f(x) 由奇函數(shù)的定義知，函數(shù)f(x)是奇函數(shù)。 　　（3）由loga((1+x)/(1-x))＞0＜＝＞loga((1+x)/(1-x))＞loga1， 　　因為a＞1，所以由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知((1+x)/(1-x))＞1，考慮由（1）知x＜1,1-x＞0，去分母，得：1+x＞1-x,x＞0故：0＜x＜1 　　所以對于a＞1，當x∈(0,1)時函數(shù)f(x)＞0 　?。?）由y=loga((1+x)/(1-x))得：((1+x)/(1-x))=ay應用會比分比定理得：((1+x)+(1-x))/((1+x)-(1-x))=((ay+1)/(ay-1))即:(2/2x)=((ay+1)/(ay-1)) 　　∴x=((ay-1)/(ay+1))交換x,y得： 　　y=((ax-1)/(ax+1))，它就是函數(shù)f(x)=loga((1+x)/(1-x))的反函數(shù)f-1(x)即f-1(x)=((ax-1)/(ax+1)) 　　說明：（1）函數(shù)y=loga((1+x)/(1-x))與y=((ax-1)/(ax+1))是一對反函數(shù)。取a=e，函數(shù)y=((ex-1)/(ex+1))的反函數(shù)的定義域是　　　。這就是89年的高考題目。 　?。?）已知f(x)=lg((1-x)/(1+x)),a,b∈(-1,1)求證：f(a)+f(b)=f((a+b)/(1+ab))（P89習題2.8第4題）可以看作該類函數(shù)的性質(zhì)。 　?。?）y=ax與y=logax；y=((ax-a-x)/2)與；y=((ax-1)/(ax+1))與y=loga((1+x)/(1-x))這三對互反函數(shù)及其性質(zhì)需要理解記憶。 8．解：∵2xx是個P位數(shù), 　　　　∴10p-1＜2xx＜10p ① 　　　　∵5xx是個q位數(shù)， 　　　　∴10q-1＜5xx＜10q ② ①②得:10p+q-2＜(25)xx＜10p+q 　　　　　即10p+q-2＜10xx＜10p+q ③ 　　　　　∴xx=p+q-1 　　　　　∴p+q=xx 9．解：方程有一正根一負根的充分必要條件是： 　　loga(a2-a)＜0（由韋達定理而來）① 　　由a＞0,a≠1,a2-a=a(a-1)＞0,可得a＞1 ②，從而由loga(a2-a)＜0=loga1得:a2-a＜1,a2-a-1＜0，解得: ③，由②③得： 10．解：∵(1/2)＜1,要使y＜0,只要 　　a2x+2(ab)x-b2x+1＞1， 　　即a2x+2(ab)x-b2x＞0 　　→b2x[(a/b)2x+2(a/b)x-1]＞0 　　→[(a/b)x]2+2(a/b)x-1＞0 　　→ 　　→∵ 　　→. 1當a＞b＞0時,a/b＞1,； 　　2當b＞a＞0時,0＜a/b＜1, 　　3當a=b＞0時，x∈R。