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1、 第 二 節(jié) ： 直 線 、 平 面 平 行 的 判 定 及 其 性 質(zhì)第 二 章 ： 點 、 直 線 、 平 面 之 間 的 位 置 關(guān) 系 例 2.如 圖 ， 正 方 體 ABCD-A1B1C1D1的 棱 長 為 a,它 的 各 個頂 點 都 在 球 O的 球 面 上 ， 問 球 O的 表 面 積 。A B CDD1 C1B 1A1 O A B CDD1 C1B1A1 O分 析 ： 正 方 體 內(nèi) 接 于 球 ， 則 由 球 和 正 方 體 都 是 中 心 對 稱 圖 形 可知 ， 它 們 中 心 重 合 ， 則 正 方 體 對 角 線 與 球 的 直 徑 相 等 。略 解 ： 22 22

2、2 11 11 34 23,)2()2( 22 : aRS aRaaR aDBRDB DDBRt 得 ：，中變 題 1.如 果 球 O和 這 個 正 方 體 的 六 個 面 都 相 切 ， 則 有 S=。變 題 2.如 果 球 O和 這 個 正 方 體 的 各 條 棱 都 相 切 ， 則 有 S=。 2a 2 2 a關(guān) 鍵 ： 找 正 方 體 的 棱 長 a與 球 半 徑 R之 間 的 關(guān) 系 知 識 點 一 、 直 線 與 平 面 平 行 的 判 定 ab 復(fù) 習(xí) 引 入直 線 與 平 面 有 什 么 樣 的 位 置 關(guān) 系 ？ (1)直 線 在 平 面 內(nèi) 有 無 數(shù) 個 公 共 點 ；(

3、2)直 線 與 平 面 相 交 有 且 只 有 一 個 公 共 點 ；(3)直 線 與 平 面 平 行 沒 有 公 共 點 . a a aA Aa a /a 問 題 1、 觀 察 開 門 與 關(guān) 門 ， 門 的 兩邊 是 什 么 位 置 關(guān) 系 當(dāng) 門 繞 著 一 邊轉(zhuǎn) 動 時 ， 此 時 門 轉(zhuǎn) 動 的 一 邊 與 門 框所 在 的 平 面 是 什 么 位 置 關(guān) 系 ？l觀 察 問 題 2、 請 同 學(xué) 門 將 一 本 書 平 放在 桌 面 上 ， 翻 動 書 的 封 面 ， 觀 察封 面 邊 緣 所 在 直 線 l與 桌 面 所 在 的平 面 具 有 怎 樣 的 位 置 關(guān) 系 ？ 桌

4、面內(nèi) 有 與 l 平 行 的 直 線 嗎 ？l動 手體 驗 問 題 3 、 根 據(jù) 以 上 實 例 總 結(jié) 在什 么 條 件 下 一 條 直 線 和 一 個 平面 平 行 ？探 究歸 納如 果 平 面 外 一 條 直 線 和 這 個 平 面 內(nèi) 的 一條 直 線 平 行 ， 那 么 這 條 直 線 和 這 個 平 面平 行 符 號 表 示 ： / ababa 平 面 外 的 一 條 直 線 與 此 平 面 內(nèi) 的 一 條 直 線 平行 ， 則 該 直 線 與 此 平 面 平 行 .直 線 與 平 面 平 行 的 判 定 定 理 ： ab 線 線 平 行 線 面 平 行將線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行解

5、 讀 定 理將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題三 個 條 件 不 能 少 例 1、 如 圖 , 長 方 體 的 六 個 面 中 ， DCBAABCD (1)與 AB平 行 的 平 面是 _;(2)與 平 行 的 平 面是 _; (3)與 AD平 行 的 平面是 _.AA A C DC 面 、 面BC DC 面 、 面 A C BC 面 、 面 CBA D CBA D 分 析 :OF是 ABE的 中 位 線 ，所 以 得 到 AB/OF. AB CD FO E連 結(jié) OF，例 2. 如 圖 ， 四 棱 錐 ADBCE中 ， O為 底面 正 方 形 DBCE對 角 線 的 交 點 ， F為 AE的 中 點

6、.判 斷 AB與 平 面 DCF的 位 置 關(guān) 系 ，并 說 明 理 由 . 例 3. 如 圖 ， 空 間 四 邊 形 ABCD中 ， E、 F分 別 是 AB， AD的 中 點 .求 證 ： EF 平 面 BCD.分 析 ： 要 證 明 線 面 平 行只 需 證 明 線 線 平 行 ， 即在 平 面 BCD內(nèi) 找 一 條 直線 平 行 于 EF， 由 已 知 的條 件 怎 樣 找 這 條 直 線 ？ AB CDE F 證 明 ： EF BD. EF 平 面 BCD.BD 平 面 BCD, AB、 AD的 中 點 ， 在 ABD中 E、 F分 別 是 EF 平 面 BCD， 連 接 BD，已

7、知 ： 空 間 四 邊 形 ABCD中 ， E、 F分 別 是 AB、 AD的 中 點 . 求 證 ： EF/平 面 BCD.AB CDE F注 意 ： 證 線 面 平 行 三 個 條 件 缺 一 不 可 .證 明 步 驟 ：第 一 步 ： 證 線 線 平 行 ； 第 二 步 ： 證 線 面 平 行 _. 如 圖 ， 在 空 間 四 邊 形 ABCD中 ， E、 F分 別 為 AB、 AD上 的 點 ， 若 ，則 EF與 平 面 BCD的 位 置 關(guān) 系 是 FDAFEBAE EF/平 面 BCD AB CDE F變式探究平 行 線 的判 定 定 理 , 分 析 ： 要 證 BD1/平 面 A

8、EC， 即 要 在 平面 AEC內(nèi) 找 一 條 直 線與 BD1平 行 .根 據(jù) 已 知條 件 應(yīng) 該 怎 樣 考 慮 輔助 線 ? 例 . 如 圖 ， 正 方 體 ABCD-A1B1C1D1中 ， E為 DD1的 中 點 ， 求 證 :BD1/平 面 AEC.ED1 C1B1A1 D CBA O有 中 點 再 找 中 點 得 中 位 線 如 圖 :ABCD為 平 行 四 邊 形 ， M,N分 別 是AB,PC的 中 點求 證 MN/面 PAD HPAB C DNM分 析 ： 關(guān) 鍵 在 平 面 PAD內(nèi)找 MN平 行 線 ， 有 中 點 再中 點 找 中 點 ， 中 點 和 中點 相 連 得

9、 中 位 線 ， 從 而得 到 平 行 線 。變式探究 1.要 證 明 直 線 與 平 面 平 行 可 以 運 用 線 面 平 行 的 判 定定 理 ； 線 線 平 行 線 面 平 行2.能 夠 運 用 定 理 的 條 件 要 滿 足 三 個 條 件 ：3.運 用 定 理 的 關(guān) 鍵 找 平 行 線 ； 找 平 行 線 又 經(jīng) 常 會 用 到三 角 形 中 位 線 、 梯 形 的 中 位 線 、 平 行 四 邊 形 、 平 行 線的 判 定 定 理 ,平 行 公 理 .(一 般 題 中 有 中 點 再 找 中 點 ,有分 點 再 找 分 點 得 平 行 關(guān) 系 .) “ 一 線 面 內(nèi) 、一

10、線 面 外 、兩 線 平 行 ”規(guī) 律 總 結(jié)4 數(shù) 學(xué) 思 想 方 法 ：轉(zhuǎn) 化 化 歸 的 思 想 方 法 ：將線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題 C1 A CB 1B MN A1 如 圖 ， 三 棱 柱 ABC A1B1C1中 ， M、 N分 別 是 BC和 A1B1的 中 點 ， 求證 :MN 平 面 AA1C1C F證 明 ： 設(shè) A1C1中 點 為 F,連 結(jié) NF， FC N為 A1B1中 點 ， M是 BC的 中 點 ， NFCM為 平 行 四 邊 形 ,故 MN CF例 ： 21B1C1 NF又 BC B1C1， MC 1/2B1C1 即 MC NF而 CF 平

11、面 AA 1C1C, MN平 面 AA1C1C, MN 平 面 AA1C1C, 例 ： 在 長 方 體 ABCD A1B1C1D1中 .（ 1） 作 出 過 直 線 AC且 與 直 線BD1平 行 的 截 面 ， 并 說 明 理 由 .（ 2） 設(shè) E， F分 別 是 A1B和B1C的 中 點 ， 求 證 ：直 線 EF/平 面 ABCD. A B CC1DA1 B1D1E FM G H 如 圖 所 示 ,正 方 體 ABCD A1B1 C1D1中 ， 側(cè) 面 對 角 線 AB1，BC1上 分 別 有 兩 點 E， F， 且 B1E=C1F.求 證 ： EF 平 面ABCD.分 析 ： 根 據(jù)

12、 直 線 與 平 面 平 行 的 判 定 定 理 或 平 面 與 平 面平 行 的 性 質(zhì) 定 理 來 證 明 . 證 明 分 別 過 E， F作 EM AB于 M，F(xiàn)N BC于 N， 連 接 MN. BB1 平 面 ABCD， BB1 AB， BB1 BC， EM BB1， FN BB1， EM FN.又 B1E=C1F， EM=FN，故 四 邊 形 MNFE是 平 行 四 邊 形 ， EF MN.又 MN 平 面 ABCD EF 平 面 ABCD，所 以 EF 平 面 ABCD. 例 ： 如 圖 所 示 ， 已 知 S是 正 三 角 形 ABC所 在 平 面 外 的 一 點 ， 且 SA=

13、SB= SC， SG為 SAB上 的 高 ， D、 E、 F分 別 是 AC、 BC、 SC的 中 點 ， 試 判 斷 SG 與 平 面 DEF的 位 置 關(guān) 系 ， 并 給 予 證 明 . 解 SG 平 面 DEF， 證 明 如 下 ： 連 接 CG交 DE于 點 H， 連 接 FH， 如 圖 所 示 . DE是 ABC的 中 位 線 ， DE AB. 在 ACG中 ， D是 AC的 中 點 ， 且 DH AG. H為 CG的 中 點 . FH是 SCG的 中 位 線 ， FH SG.又 SG 平 面 DEF， FH 平 面 DEF， SG 平 面 DEF.方 法 二 EF為 SBC的 中

14、位 線 ， EF SB. EF 平 面 SAB， SB 平 面 SAB， EF 平 面 SAB.同 理 可 證 ， DF 平 面 SAB， EF DF=F， 平 面 SAB 平 面 DEF， 又 SG 平 面 SAB， SG 平 面 DEF. 2 3 2 4 :復(fù) 習(xí) 回 顧一 條 直 線 和 一 個 平 面 有 三 種 位 置 關(guān) 系 ：（ 1） 直 線 在 平 面 內(nèi) 有 無 數(shù) 個 公 共 點 。（ 2） 直 線 與 平 面 相 交 有 且 只 有 一 個 公 共 點 。（ 3） 直 線 與 平 面 平 行 沒 有 公 共 點 。線 面 平 行 的 判 定 定 理 :如 果 平 面 外

15、一 條 直 線 和 這 個 平 面 內(nèi) 的 一 條 直 線平 行 ， 那 么 這 條 直 線 與 這 個 平 面 平 行 。 / 推 理 形 式 : ab aa b ab簡 記 ： 線 線 平 行 線 面 平 行 。 abca 那 么 直 線 會 與 平 面 內(nèi) 那 些 線 平 行 呢 ？思 考 ： 如 果 一 條 直 線 與 平 面 平 行 ， 那 么這 條 直 線 是 否 與 這 平 面 內(nèi) 的 所 有 直 線 都平 行 ？由 直 線 與 平 面 平 行 可 知 ， 這 條 直 線 與 這 個 平 面 內(nèi)的 任 意 一 條 直 線 都 沒 有 公 共 點 ， 所 以 它 們 只 能 平行

16、或 異 面 。 2 6 請 觀 察 長 方 體 中 A1B1 、 AB和 平 面 ABB1A1 、 平面 ABCD的 位 置 關(guān) 系 ， 你 能 從 中 得 到 什 么 啟 發(fā) ？A B CDA1 B1 C1D1E F 2 7 ba, ,/ a a ba b 已 知 :直 線求 證 :證 明 ： /a a 與 沒 有 公 共 點b 又 因 為 在 內(nèi)a b 與 沒 有 公 共 點a b 又 與 都 在 平 面 內(nèi) 且 沒 有 公 共 點/a b 2 8 直 線 和 平 面 平 行 的 性 質(zhì) 定 理如 果 一 條 直 線 和 一 個 平 面 平 行 ,經(jīng) 過 這條 直 線 的 平 面 和 這

17、個 平 面 相 交 ,那 么 這條 直 線 和 交 線 平 行 。ba/ ba注 意 ：1、 定 理 三 個 條 件 缺 一 不 可 。2、 簡 記 :線 面 平 行 線 線 平 行 。, ,aa b 2 9 l mn 例 、 設(shè) 平 面 、 、 兩 兩 相 交 ，且 ，若 ， 求 證 ： mnl ,，ml / /n l轉(zhuǎn) 化 思 想 ： 線 線 平 行 線 面 平 行 線 線 平 行/l mlm / /ll n ln 3 02. 線 線 平 行 線 面 平 行 1.直 線 與 平 面 平 行 的 性 質(zhì) 定 理總 結(jié) ： ba/, ,aa b 3 1A B A1 D B1 D1 P C C1

18、 M N 1 1 1 1 1 11 11 1, ,/ABCD ABC D P BB B BPA BA M PC BC NAC AC BMN ABCD 長 方 體 中 ， 點 （ 異 于 、 ）求 證 ： (1) 平 面（ 2） 平 面 3 2 A B A1 D B1 D1 P C C1 M NABCDMN 面/ 1 1/AC AC B 平 面1 1/AC AC B平 面 AC ACP平 面1 1AB PA MPC BC N 1 1ACP AC B MN 平 面 平 面/AC MNMN ABCD平 面AC ABCD平 面 1 1 1 1/AC AC A A CC 連 結(jié) 、 ， 在 長 方 體

19、中1 1AACC 四 邊 形 是 平 行 四 邊 形1 1 /AC AC 1 1AC AC平 面1 1 1 1AC AC平 面證 明 ： 3 3A B A1 D B1 D1 P C C1 M N 3 4A B A1 D B1 D1 P C C1 M N 1 1 1 1 1 11 11 1, ,/ABCD ABC D P BB B BPA BA M PC BC NAC AC BMN ABCD 長 方 體 中 ， 點 （ 異 于 、 ）求 證 ： (1) 平 面（ 2） 平 面 3 511 1 1 11 AACC CCPBNCPNNCCPBN AAPBMAPMMAAPBM NCPNMAPM ABC

20、DAC ABCDMN MNAC 面 面 / ABCDMN 面/A BA1 D B1D1 P CC1M N 3 6 我 們 今 天 有 哪 些 收 獲 ？ 還 有 什 么 疑 惑 ？2、 直 線 和 平 面 平 行 的 性 質(zhì) 定 理3、 直 線 和 平 面 平 行 的 判 定 定 理 和 性 質(zhì) 定 理 可 以進 行 “ 線 線 平 行 ” 和 “ 線 面 平 行 ” 的 相 互 轉(zhuǎn) 化 ，實 現(xiàn) 空 間 問 題 平 面 化線 線平 行 在 平 面 內(nèi)作 或 找 一直 線 線 面平 行 經(jīng) 過 直 線 作 或 找平 面 與 平 面 相 交直 線 線 線平 行小 結(jié) ：1、 直 線 和 平 面

21、平 行 的 判 定 定 理 3 7 / .( )l l 11.判 斷 題 ：（ ） 直 線 平 行 于 平 面 內(nèi) 無 數(shù) 條 直 線 ， 則 (2) a 若 直 線 在 平 面 外 ， 則 a/ ( )(3) / , , / .( )l b b l 若 直 線 則 (4) / , ,a b b a 若 直 線 則 平 行 于 內(nèi) 無 數(shù) 條直 線 ( ）2.平 行 于 同 一 平 面 的 兩 直 線 的 位 置 關(guān) 系 是 （ ） A. 一 定 平 行 B.平 行 或 相 交C. 相 交 D.平 行 、 相 交 或 異 面 D(1)l 可 能 在 內(nèi) (2)a 可 能 與 相 交(3)l 可

22、 能 在 內(nèi) (4)平 行 公 理 可 以 保 證 3 8 1 /(2)34 /0 1 2 3l ll la aA B C D 下 列 命 題 正 確 的 個 數(shù) 是 （ ）（ ） 若 直 線 上 有 無 數(shù) 個 點 不 在 平 面 內(nèi) ， 則若 直 線 與 平 面 平 行 ， 則 與 平 面 內(nèi) 的 任 意 一 直 線 平 行（ ） 兩 條 平 行 線 中 的 一 條 直 線 與 一 個 平 面 平 行 ， 那 么另 一 條 也 與 這 個 平 面 平 行（ ） 若 一 直 線 和 平 面 內(nèi) 一 直 線 平 行 ， 則（ ） 個 （ ） 個 （ ） 個 （ ） 個 3 9不 平 行內(nèi) 有

23、無 數(shù) 條 直 線 與） 平 面（ 平 行內(nèi) 有 且 只 有 一 條 直 線 與） 平 面（ 垂 直內(nèi) 有 且 只 有 一 條 直 線 與） 平 面（ 垂 直 的 直 線內(nèi) 不 存 在 與） 平 面（ ， 那 么平 面如 果 直 線 aD aC aB aA a / 例 ： 兩 個 全 等 的 正 方 形 ABCD和 ABEF所 在 的 平 面 相 交于 AB， M AC， N FB， 且 AM FN， 求 證 ： MN平 面 BCE.思 路 點 撥 方 法 一 ： 過 M作 MP BC，過 N作 NQ BE， P、 Q為 垂 足 (如 圖 1 )，連 結(jié) PQ. MP AB， NQ AB， M

24、P NQ.又 NQ BN CM MP， 四 邊 形 MPQN是 平 行 四 邊 形 . MN PQ.又 PQ 平 面 BCE， 而 MN 平 面 BCE， MN 平 面 BCE. 方 法 二 ： 過 M作 MG BC， 交 AB于 G(如 圖 2 )， 連 結(jié) NG. MG BC， BC 平 面 BCE，MG 平 面 BCE， MG 平 面 BCE.又 AM FN， AC BF， ， GN AF BE， 同 樣 可 證 明 GN 平 面 BCE. MGNG G， 平 面 MNG 平 面 BCE.又 MN 平 面 MNG， MN 平 面 BCE. 如 圖 ， 正 方 體 ABCDA1B1C1D1

25、中 ， 側(cè) 面 對 角線 AB1， BC1上 分 別 有 兩點 M， N.且 B1M C1N.求 證 MN 平 面 ABCD. 證 明 ： 方 法 一 ： 分 別 過 M、 N作 MM AB于 M， NN BC于 N，連 結(jié) MN. BB1 平 面 ABCD， BB1 AB， BB1 BC. MM BB1 ， NN BB1 . MM NN， 又 B1 M C1 N， MM NN. 故 四 邊 形 MMNN是 平 行 四 邊 形 ， MN MN，又 MN 平 面 ABCD， MN 平 面 ABCD， MN 平 面 ABCD. 方 法 二 ： 過 M作 MG AB交 BB1 于 G， 連 接 GN

26、， 則 ， B1 M C1 N， B1 A C1 B， ， NG B1 C1 BC.又 MGNG G， ABBC B， 平 面 MNG 平 面 ABCD，又 MN 平 面 MNG， MN 平 面 ABCD. （ 1） 平 行 （ 2） 相 交 平 面 與 平 面 有 幾 種 位 置 關(guān) 系 ？ 分 別 是 什 么 ？知 識 點 三 ： 平 面 與 平 面 平 行 的 判 定 認 識 1 如 果 兩 個 平 面 平 行 ， 那 么 其中 一 個 平 面 內(nèi) 的 所 有 直 線 一 定 都 和另 一 個 平 面 平 行 認 識 2 如 果 一 個 平 面 內(nèi) 的 所 有 直 線都 和 另 一 個

27、平 面 平 行 ， 那 么 這 兩 個平 面 平 行 對 面 面 平 行 的 認 識 （ 1） 中 的 平 面 ，不 一 定 平 行 。如 圖 ， 借 助 長 方體 模 型 ， 平 面ABCD中 直 線 AD平行 平 面 BCCB，但 平 面 ABCD與 平面 BCCB不 平 行 。探 究 ： 平 行 嗎 ？與則 平 行 ，與內(nèi) 有 一 條 直 線） 、 若（ a1 探 究 ： 平 行 嗎 ？與則 平 行分 別 與、內(nèi) 有 兩 條 直 線） 、 若（ ,2 ba P Q如 果 平 面 內(nèi) 的 兩 條 直 線 是 相 交的 直 線 ， 兩 個 平 面 會 不 會 一 定平 行 ？如 果 平 面

28、內(nèi) 的 兩 條 直 線 是 平 行 直 線 ， 平 面 與 平 面 不 一 定 平 行 。 如 圖 ， AD PQ，AD 平 面 BCCB， PQ BCCB， 但 平 面 ABCD與平 面 BCCB不 平 行 。 平 面 與 平 面 平 行 的 判 定 定 理 ： 一 個 平 面 內(nèi) 有 兩 條 相 交 直 線 與 另 一 個 平 面 平行 ,則 這 兩 個 平 面 平 行 .簡 述 為 ： 線 面 平 行 面 面 平 行 a b A /即 ： a b b/ a/ a b=A 線 不 在 多 ， 重 在 相 交 直 線 的 條 數(shù) 不 是 關(guān) 鍵直 線 相 交 才 是 關(guān) 鍵 abP判 定 定

29、 理 剖 析 ： 判 定 定 理 :一 個 平 面 內(nèi) 兩 條 相 交 直 線 分 別平 行 于 另 一 個 平 面 ， 那 么 這 兩 個 平 面 平 行 . / 321結(jié) 論 ： 平 行 分 別 和 相 交 兩 條內(nèi) 有條 件 要 點 ： 直 線符 號 語 言 ： / ba Pbaba 證 題 思 路 ： 要 證 明 兩平 面 平 行 ， 關(guān) 鍵 是 在其 中 一 個 平 面 內(nèi) 找 出兩 條 相 交 直 線 分 別 平行 于 另 一 個 平 面 . 練 習(xí) ： 判 斷 下 列 命 題 正 確 與 否 。1） 如 果 一 個 平 面 內(nèi) 的 一 條 直 線 平 行 于另 一 個 平 面 ，

30、 那 么 這 兩 個 平 面 平 行 2） 如 果 一 個 平 面 內(nèi) 的 兩 條 直 線 平 行 于另 一 個 平 面 ， 那 么 這 兩 個 平 面 平 行 3） 如 果 一 個 平 面 內(nèi) 的 無 數(shù) 條 直 線 平 行于 另 一 個 平 面 ， 那 么 這 兩 個 平 面 平 行 4） 如 果 一 個 平 面 內(nèi) 的 任 何 一 條 直 線 都平 行 于 另 一 個 平 面 ， 那 么 這 兩 個 平 面平 行 （ 5） 若 平 面 內(nèi) 的 兩 條 直 線 分 別 與 平 面 平 行 ， 則 與 平 行 ；（ 6） 若 平 面 內(nèi) 有 無 數(shù) 條 直 線 分 別 與 平 面 平 行 ，

31、 則 與 平 行 ；（ 7） 平 行 于 同 一 直 線 的 兩 個 平 面 平 行 ；（ 8） 兩 個 平 面 分 別 經(jīng) 過 兩 條 平 行 直 線 ， 這 兩 個 平 面 平 行 ；（ 9） 過 已 知 平 面 外 一 條 直 線 ， 必 能 作 出 與 已 知 平 面 平 行 的 平 面 （ 10） 與 同 一 條 直 線 所 成 角 相 等 兩 個 平 面 平 行 . （ 11） 垂 直 于 同 一 條 直 線 的 兩 個 平 面 平 行 .（ 12） 平 行 于 同 一 平 面 的 兩 個 平 面 平 行 . 例 ： 如 圖 ， 在 正 方 體 ABCDA1B1C1D1中 ，E、

32、F分 別 是 棱 BC與 C1D1的 中 點 。 求 證 ：面 EFG/平 面 BDD1B1. C1D1 B1A1 CD A B F E G 分 析 ： 由 FG B1D1易 得 FG 平 面 BDD1B1同 理 GE 平 面 BDD1B1 FG GE G故 得 面 EFG/平 面 BDD1B1證 題 思 路 ： 要 證 明 兩 平 面 平 行 ， 關(guān) 鍵 是 在 其 中 一 個平 面 內(nèi) 找 出 兩 條 相 交 直 線 分 別 平 行 于 另 一 個 平 面 . 例 、 已 知 正 方 體 ABCD-A1B1C1D1，求 證 ： 平 面 AB1D1 平 面 C1BD.分 析 ： 在 四 邊

33、形 ABC1D1中 ，AB C1D1且 AB C1D1故 四 邊 形 ABC1D1為 平 行 四 邊 形 .即 AD1 BC1思 路 ： 只 要 證 明 一 個 平 面 內(nèi) 有 兩 條 相 交 的 直 線與 另 一 個 平 面 平 行 D1 B1A1 C1 C D A B 證 明 ： ABCD-A1B1C1D1是 正 方 體 , D1C1/A1B1， D1C1=A1B1, AB/A1B1， AB=A1B1, D1C1/AB， D1C1=AB, 四 邊 形 D1C1BA為 平 行 四 邊 形 , D1A/C1B, 又 D1A 平 面 C1BD， C1B 平 面 C1BD， D 1A/平 面 C1

34、BD, 同 理 D1B1/平 面 C1BD,又 D1A D1B1=D1, D1A 平 面 AB1D1 , D1B1 平 面 AB1D1, 平 面 AB1D1/平 面 C1BD. 第 一 步 ： 在 一 個 平 面 內(nèi) 找 出 兩 條 相 交 直 線 ；第 二 步 ： 證 明 兩 條 相 交 直 線 分 別 平 行 于 另 一 個 平面 。第 三 步 ： 利 用 判 定 定 理 得 出 結(jié) 論 。 m nm n m/ ,n/ / 判 斷 下 列 命 題 是 否 正 確 ， 錯 的 舉 反 例 。（ 1） 已 知 平 面 ， 和 直 線 ， 若 ， ，則 反例 mn/ / （ 2） 一 個 平 面

35、 內(nèi) 兩 條 不 平 行 的 直 線 都 平 行 于 另 一 個 平 面 ；則 3 分 別 在 兩 個 平 行 平 面 內(nèi) 的 兩 條 直 線都 平 行 4 如 果 一 個 平 面 內(nèi) 的 兩 條 直 線 平 行 于另 一 個 平 面 ， 那 么 這 兩 個 平 面 平 行 5 如 果 一 個 平 面 內(nèi) 的 任 何 一 條 直 線 都平 行 于 另 一 個 平 面 ， 那 么 這 兩 個 平 面平 行 例 :在 正 方 體 ABCD-A1B1C1D1中 ，若 M、 N、 E、 F分 別 是 棱 A1B1， A1D1，B1C1， C1D1的 中 點 ， 求 證 ： 平 面 AMN/平 面 EF

36、DB。 A B CA1 B1 C1D1D MN EF線 面 平 行 面 面 平 行線 線 平 行 ././,/ , , 求 證 ： ； ；已 知 ： dbca dc Pbaba ba dcP./ ,/,/, ././ ,/, baPbaba ba caac 同 理證 明 ：例 ： 證 明 面 面 平 行 的 方 法 有 ：1 面 面 平 行 的 定 義 ；2 面 面 平 行 的 判 定 定 理 ： 如 果 一 個 平 面 內(nèi) 有 兩 條 相 交 直線 都 平 行 于 另 一 個 平 面 ， 那 么 這 兩 個 平 面 平 行 ；3 利 用 垂 直 于 同 一 條 直 線 的 兩 個 平 面 平

37、 行 ；4 兩 個 平 面 同 時 平 行 于 第 三 個 平 面 ， 那 么 這 兩 個 平 面 平行 ；5 利 用 “ 線 線 平 行 ” 、 “ 線 面 平 行 ” 、 “ 面 面 平 行 ” 的相 互 轉(zhuǎn) 化 1、 如 圖 ： 三 棱 錐 P-ABC, D,E,F分 別 是 棱PA， PB， PC中 點 ，求 證 ： 平 面 DEF 平 面 ABC。 PD E FA B C2、 如 圖 ， B為 ACD所 在 平 面 外 一 點 ， M，N， G分 別 為 ABC， ABD， BCD的 重心 ， 求 證 ： 平 面 MNG 平 面 ACD。 BA C D NM G NM FEDCBA

38、H例 ： 如 圖 所 示 ， 平 面 ABCD平 面 EFCD = CD， M、 N、 H 分 別 是 DC、 CF、 CB 的 中 點 ， 求 證 平 面 MNH / 平 面 DBF AD1D C BA1 B1C1 A D1D CBA1 B1 C1EF G 如 圖 所 示 ， 正 方 體 ABCD A1B1C1D1中 (1)求 證 ： 平 面 A1BD 平 面 B1D1C；(2)若 E、 F分 別 是 AA1、 CC1的 中 點 ，求 證 ： 平 面 EB1D1 平 面 FBD.思 維 點 撥 ： (1)證 BD 平 面 B1D1C， A1D 平 面 B1D1C；(2)證 BD 平 面 EB

39、 1D1， DF 平 面 EB1D1. 【 例 】證 明 ： (1)由 B 1B綊 DD1， 得 四 邊 形 BB1D1D是 平 行 四 邊 形 ， B1D1 BD， 又 BD 平 面 B1D1C， B1D1 平 面 B1D1C， BD 平 面 B1D1C.同 理 A1D 平 面 B1D1C.而 A1DBD D， 平 面 A1BD 平 面 B1D1C. (2)由 BD B1D1， 得 BD 平 面 EB1D1.取 BB1中 點 G， 得 AE綊 B1G， 從 而 B1E AG.又 GF綊 AD， AG DF. B1E DF， DF 平 面 EB1D1.又 BDDF D， 平 面 EB 1D1

40、平 面 FBD. 如 圖 所 示 ， 三 棱 柱 ABC A1B1C1中 ， D是 BC上 一 點 ，且 A1B 平 面 AC1D， D1是 B1C1的 中 點 求 證 ： 平 面 A1BD1 平 面 AC1D.變 式 3：證 明 ： 如 圖 所 示 ， 連 結(jié) A1C交 AC1于 E. 四 邊 形 A1ACC1是 平 行 四 邊 形 ， E是 A 1C的 中 點 ， 連 結(jié) ED. A1B 平 面 AC1D， 平 面 A1BC 平 面 AC1D=ED， A1B ED. E是 A1C的 中 點 ， D是 BC的 中 點 D1是 B1C1的 中 點 ， BD1 C1D， A1D1 AD， 又 A

41、 1D1 BD1=D1， 平 面 A1BD1 平 面 AC1D. 當(dāng) AB與 CD異 面 時 ， 設(shè) 平 面 ACD=DH， 且 DH=AC. ， 平 面 ACDH=AC， AC DH， 四 邊 形 ACDH是 平 行 四 邊 形 ，在 AH上 取 一 點 G， 使 AG GH=CF FD，又 AE EB=CF FD， GF HD， EG BH，又 EGGF=G， 平 面 EFG 平 面 . EF 平 面 EFG， EF .綜 上 ， EF . (2)解 ： 如 圖 所 示 ， 連 接 AD， 取 AD的 中 點 M， 連 接 ME， MF. E， F分 別 為 AB， CD的 中 點 ， M

42、E BD， MF AC，且 ME= BD=3， MF= AC=2， EMF為 AC與 BD所 成 的 角 (或 其 補 角 )， EMF=60 或 120 ， 在 EFM中 由 余 弦 定 理 得 ，12 12 【 方 法 規(guī) 律 】1 直 線 和 平 面 平 行 時 ， 注 意 把 直 線 和 平 面 的 位 置 關(guān) 系 轉(zhuǎn) 化 為 直 線 和 直 線 的位 置 關(guān) 系 ， 直 線 和 平 面 平 行 的 性 質(zhì) 在 應(yīng) 用 時 ， 要 特 別 注 意 “ 一 條 直 線 平行 于 一 個 平 面 ， 就 平 行 于 這 個 平 面 的 一 切 直 線 ” 的 錯 誤 結(jié) 論 2 以 求 角

43、 為 背 景 考 查 兩 個 平 行 平 面 間 的 性 質(zhì) ， 也 可 以 是 已 知 角 利 用 轉(zhuǎn) 化 和降 維 的 思 想 方 法 求 解 其 他 幾 何 參 量 3 線 面 平 行 和 面 面 平 行 的 判 定 和 性 質(zhì) ： 4 要 能 夠 靈 活 地 作 出 輔 助 線 或 輔 助 平 面 來 解 題 對 此 需 強 調(diào) 兩 點 ： 第 一 ，輔 助 線 、 輔 助 面 不 能 隨 意 作 ， 要 有 理 論 根 據(jù) ； 第 二 ， 輔 助 線 或 輔 助 面 有什 么 性 質(zhì) ， 一 定 要 以 某 一 性 質(zhì) 定 理 為 依 據(jù) ， 決 不 能 憑 主 觀 臆 斷 ， 否

44、則 謬 誤 難免 . 【 高 考 真 題 】(2009福 建 卷 )設(shè) m， n是 平 面 內(nèi) 的 兩 條 不 同 直 線 ； l1， l2是 平 面 內(nèi) 的兩 條 相 交 直 線 ， 則 的 一 個 充 分 而 不 必 要 條 件 是 ( )A m 且 l1 B m l1且 n l2C m 且 n D m 且 n l2 【 規(guī) 范 解 答 】解 析 ： 選 項 A作 條 件 ， 由 于 這 時 兩 個 平 面 中 各 有 一 條 直 線 與 另 一 個 平 面 平 行 ， 不 能得 到 ， 但 卻 能 得 到 選 項 A， 故 選 項 A是 必 要 而 不 充 分 條 件 ； 選 項 B作

45、條 件 ，此 時 m， n一 定 是 平 面 內(nèi) 的 兩 條 相 交 直 線 (否 則 ， 則 推 出 直 線 l1 l2， 與 已 知 矛 盾 )，這 就 符 合 兩 個 平 面 平 行 的 判 定 定 理 的 推 論 “ 一 個 平 面 內(nèi) 如 果 有 兩 條 相 交 直 線 分 別 平行 于 另 一 個 平 面 內(nèi) 的 兩 條 相 交 直 線 ， 則 這 兩 個 平 面 平 行 ” ， 故 條 件 是 充 分 的 ， 但 是在 時 ， 由 于 直 線 m， n在 平 面 內(nèi) 的 位 置 不 同 ， 只 能 得 到 m， n與 平 面 平 行 ， 得不 到 m l 1， n l2的 結(jié) 論

46、 ， 故 條 件 是 不 必 要 的 ， 故 選 項 B中 的 條 件 是 充 分 而 不 必 要 的 ； 選 項 C作 條 件 ， 由 于 m， n只 是 平 面 內(nèi) 的 兩 條 不 同 直 線 ， 這 兩 條 直 線 可 能 相 互平 行 ， 故 得 不 到 的 必 然 結(jié) 論 ， 這 個 條 件 是 不 充 分 的 ， 但 卻 能 得 到 選 項C， 故 選 項 C是 必 要 而 不 充 分 條 件 ； 選 項 D作 條 件 ， 由 n l2可 得 n ， 平 面 內(nèi)的 直 線 m， n分 別 與 平 面 平 行 ， 由 于 m， n可 能 平 行 ， 得 不 到 的 必 然 結(jié) 論 ，

47、故 這 個 條 件 是 不 充 分 的 ， 當(dāng) 時 ， 只 能 得 到 m 但 得 不 到 n l2， 故 條 件 也不 是 必 要 的 ， 故 選 項 D中 的 條 件 是 既 不 充 分 也 不 必 要 的 答 案 ： B 本 題 是 教 材 上 兩 個 平 面 平 行 的 判 定 定 理 的 推 論 ， 隱 含 了 一 個 必 然 關(guān) 系 “ m，n為 相 交 直 線 ” 而 設(shè) 計 出 來 的 ， 目 的 是 考 查 考 生 對 兩 個 平 面 平 行 關(guān) 系 及 充 分必 要 關(guān) 系 的 掌 握 【 探 究 與 研 究 】 解 本 題 很 容 易 出 現(xiàn) 把 充 分 而 不 必 要

48、條 件 判 斷 為 必 要 而 不 充 分 條 件 的 錯 誤 ， 問 題的 根 源 是 作 為 選 擇 題 ， 在 題 目 的 敘 述 上 和 一 般 問 題 中 的 敘 述 正 好 相 反 在 一 般問 題 的 敘 述 中 往 往 是 給 出 條 件 P， Q后 ， 設(shè) 問 P是 Q的 什 么 條 件 ， 其 解 決 方 法 是看 P Q、 Q P能 不 能 成 立 ， 確 定 問 題 的 答 案 ， 但 在 選 擇 題 中 卻 把 “ P是 Q的 什么 條 件 ” 中 的 條 件 P放 到 了 選 項 中 ， 而 把 Q放 在 了 題 干 中 ， 這 就 容 易 使 考 生 誤以 為 “

49、 Q是 P的 什 么 條 件 ” ， 導(dǎo) 致 錯 解 題 目 考 生 在 解 決 充 要 條 件 的 問 題 時 一定 要 注 意 題 目 中 所 說 的 什 么 是 P， 什 么 是 Q. 解 決 這 類 空 間 線 面 位 置 關(guān) 系 的 判 斷 題 ， 要 善 于 利 用 常 見 的 立 體 幾 何 模 型 (如 長 方體 模 型 ， 空 間 四 邊 形 模 型 ) 作 為 選 擇 題 要 善 于 排 除 最 不 可 能 的 選 項 ， 如 選 項 A、C， 通 過 簡 單 的 回 顧 兩 個 平 面 平 行 的 判 定 定 理 ， 首 先 就 可 以 排 除 ， 選 項 D和 選 項C

50、基 本 一 致 ， 也 可 以 排 除 ， 就 剩 下 了 選 項 B.解 答 選 擇 題 要 學(xué) 會 排 除 法 . (2009 山 東 卷 )如 圖 ， 在 直 四 棱 柱 ABCD A1B1C1D1中 ， 底 面 ABCD為 等 腰 梯形 ， AB CD， AB 4， BC CD 2， AA1 2， E、 E1、 F分 別 為 棱 AD、 AA1、AB的 中 點 ， 求 證 ： 直 線 EE1 平 面 FCC1.思 維 點 撥 ： 在 平 面 FCC 1中 找 一 條 線 平 行 于 EE1或 證 平 面 ADD1A1 平 面 FCC1均 可 . 【 例 】 證 明 ： 證 法 一 ：

51、取 A1B1的 中 點 為 F1， 連 結(jié) FF1， C1F1， 由 于 FF1 BB1 CC1，所 以 F1 平 面 FCC1， 因 此 平 面 FCC1即 為 平 面 C1CFF1.連 結(jié) A1D， F1C， 由 于A1F1 D1C1 CD， 所 以 四 邊 形 A1DCF1為 平 行 四 邊 形 ， 因 此 A1D F1C.又EE1 A1D， 得 EE1 F1C， 而 EE1平 面 FCC1， F1C平 面 FCC1， 故 EE1 平 面FCC1. 證 法 二 ： 因 為 F為 AB的 中 點 ， CD=2， AB=4， AB CD，所 以 CD AF， 因 此 四 邊 形 AFCD為

52、平 行 四 邊 形 ， 所 以 AD FC.又CC 1 DD1， FCCC1=C， FC平 面 FCC1， CC1平 面 FCC1， 所 以 平 面ADD1A1 平 面 FCC1， 又 EE1平 面 ADD1A1， 所 以 EE1 平 面 FCC1. 如 圖 所 示 ， 在 正 方 體 ABCDA1B1C1D1中 ， O為 正 方 形 ABCD的 中 點 ， 求 證 ： B1O 平 面 A1C1D.變 式 1：證 明 ： 分 別 連 結(jié) BD和 B1D1， 則 O BD且 A1C1B1D1 O1. BB 1綊 DD1， BB1D1D是 平 行 四 邊 形 BD綊 B1D1， OD綊 O1B1.

53、連 結(jié) O1D， 則 四 邊 形 B1ODO1是 平 行 四 邊 形 ， B1O DO1. DO1 平 面 A1C1D， B1O 平 面 A1C1D，且 B 1O DO1， B1O 平 面 A1C1D. 已 知 ABCD是 平 行 四 邊 形 ， 點 P是 平 面 ABCD外 一 點 ， M是 PC的 中 點 ，在 DM上 取 一 點 G， 過 G和 AP作 平 面 交 平 面 BDM于 GH， 求 證 ： AP GH.思 維 點 撥 ： 先 將 三 角 形 中 位 線 的 線 線 平 行 關(guān) 系 轉(zhuǎn) 化 為 線 面 平 行 ，然 后 由 線 面 平 行 轉(zhuǎn) 化 為 所 要 證 明 的 線 線

54、 平 行 【 例 】證 明 ： 如 圖 所 示 ， 連 結(jié) AC， 交 BD于 O， 連 結(jié) MO， 由 ABCD是 平 行 四 邊 形 得 O是 AC的 中 點 又 M是 PC的 中 點 ，知 AP OM， AP 平 面 BMD， DM 平 面 BMD， 故 PA 平 面 BMD.由 平 面 PAHG平 面 BMD GH， 知 PA GH. 如 圖 所 示 ， 正 方 體 ABCD A1B1C1D1中 (1)求 證 ： 平 面 A1BD 平 面 B1D1C；(2)若 E、 F分 別 是 AA1、 CC1的 中 點 ，求 證 ： 平 面 EB1D1 平 面 FBD.思 維 點 撥 ： (1)證

55、 BD 平 面 B1D1C， A1D 平 面 B1D1C；(2)證 BD 平 面 EB 1D1， DF 平 面 EB1D1. 【 例 】證 明 ： (1)由 B 1B綊 DD1， 得 四 邊 形 BB1D1D是 平 行 四 邊 形 ， B1D1 BD， 又 BD 平 面 B1D1C， B1D1 平 面 B1D1C， BD 平 面 B1D1C.同 理 A1D 平 面 B1D1C.而 A1DBD D， 平 面 A1BD 平 面 B1D1C. (2)由 BD B1D1， 得 BD 平 面 EB1D1.取 BB1中 點 G， 得 AE綊 B1G， 從 而 B1E AG.又 GF綊 AD， AG DF.

56、 B1E DF， DF 平 面 EB1D1.又 BDDF D， 平 面 EB 1D1 平 面 FBD. 如 圖 所 示 ， 三 棱 柱 ABC A1B1C1中 ， D是 BC上 一 點 ，且 A1B 平 面 AC1D， D1是 B1C1的 中 點 求 證 ： 平 面 A1BD1 平 面 AC1D.變 式 3：證 明 ： 如 圖 所 示 ， 連 結(jié) A1C交 AC1于 E. 四 邊 形 A1ACC1是 平 行 四 邊 形 ， E是 A 1C的 中 點 ， 連 結(jié) ED. A1B 平 面 AC1D， 平 面 A1BC 平 面 AC1D=ED， A1B ED. E是 A1C的 中 點 ， D是 BC

57、的 中 點 D1是 B1C1的 中 點 ， BD1 C1D， A1D1 AD， 又 A 1D1 BD1=D1， 平 面 A1BD1 平 面 AC1D. ab ,求 證 :已 知 : a b ,a .b 所 以證 明 : 因 為 , 所 以 與 沒 有 公 共 點 ,ab因 而 交 線 , 也 沒 有 公 共 點 ,a b又 因 為 , 都 在 平 面 內(nèi) ,a .b知 識 點 四 、 兩 個 平 面 平 行 的 性 質(zhì) : 如 果 兩 個 平 行 平 面 同 時 和 第三 個 平 面 相 交 ， 那 么 它 們 的 交 線 平 行 性 質(zhì) 定 理 ： 合 作 探 究 ：如 果 兩 個 平 面

58、平 行 ， 那 么（ ） 一 個 平 面 內(nèi) 的 直 線 是 否 平 行 于 另 一 個 平 面 ?（ ） 分 別 在 兩 個 平 面 內(nèi) 的 兩 條 直 線 是 否 平 行 ？ 對 于 第 一 個 問 題 根 據(jù) 線 面 平 行 和 面 面 平 行 的 概念 可 知 正 確 第 二 個 問 題 有 兩 中 可 能 ： 分 別 是 平 行 或 異 面 .（ 3） 平 行 于 同 一 個 平 面 的 兩 個 平 面 是 否 平 行 。 結(jié) 論 2:平 行 于 同 一 個 平 面 的 兩 個 平 面 平 行 。 / 結(jié) 論 1： 如 果 兩 個 平 面 平 行 ， 那 么 一個 平 面 內(nèi) 的 直

59、 線 一 定 平 行 于 另 一 個 平面 。兩 個 重 要 結(jié) 論 ： 例 .已 知 兩 條 直 線 和 三 個 平行 平 面 都 相 交 ， 求 證 所 截得 的 線 段 對 應(yīng) 成 比 例 a b ABC DEF1E 1F已 知 :求 證 : AB DEBC EF , b 直 線 和 分 別 交于 點 A、 B、 C和 點 D、 E、 F，a分 析 : 過 點 A作 平 行 于 直 線 的直 線 交 于 點 和 ， b, 1F1E連 接 1,BE 1,CF 1,EE,AD 1.FF和 b a A ab 判 定 定 理 :一 個 平 面 內(nèi) 兩 條 相 交 直 線 分 別 平 行 于 另一

60、 個 平 面 ， 那 么 這 兩 個 平 面 平 行 . 結(jié) 論 ： 1、 如 果 兩 個 平 面 平 行 ， 那 么 一 個 平 面 的 直 線一 定 平 行 于 另 一 個 平 面 。結(jié) 論 ： 2、 平 行 于 同 一 個 平 面 的 兩 個 平 面 平 行 。 推 論 ： 如 果 一 個 平 面 內(nèi) 有 兩 條 相 交 直 線 分 別 平 行 于另 一 個 平 面 內(nèi) 的 兩 條 直 線 ， 那 么 這 兩 個 平 面 平 行 . 線 面 平 行面 面 平 行線 線 平 行 如 果 兩 個 平 行 平 面 同 時 和 第三 個 平 面 相 交 ， 那 么 它 們 的 交 線 平 行 性

61、 質(zhì) 定 理 ： 例 ： 平 面 /平 面 ， 直 線 a， b相 交 于 點 S， 且 直 線 a分 別 交 、 于 點 A、 B， 直 線 b分 別 交 、 于 點 C、 D,已 知 AS=1， BS=2， CD=9， 求 線 段 CS的 長 。 ab SBD ACb aS BD A C 例 :1.判 斷 下 列 命 題 是 否 正 確 ,并 說 明 理 由 .(1).過 已 知 平 面 外 一 點 ,有 且 只 有 一 個 平 面 與 已 知 平 面 平 行 . ( )(2)過 已 知 平 面 外 一 條 直 線 ,必 能 作 出 與 已 知 平 面 平 行 的 平 面 . ( ) 2.

62、六 棱 柱 的 表 面 中 ,互 相 平 行 的 面 最 多有 _對 . 4 3.求 證 :夾 在 兩 個 平 行 平面 間 的 平 行 線 段 相 等 . A A B B已 知 : , ,BBAA ,B .B ,A ,A 求 證 : AA BB 證 明 : ,BBAA因 為, .AB AB 連 結(jié) .AA BB 所 以 經(jīng) 過 ， 能 確 定 一 個 平 面 ， 記 為 平 面 AB AB ABAABB 是 平 行 四 邊 形 .AA BB AB BBAA 例 如 圖 : 已 知 正 方 體 求 證 : 1 1 1/ .B AD BC D平 面 平 面 1 1 1 1.ABCD ABC D定

63、 理 的 應(yīng) 用證 明 : 為 正 方 體 D1C1/ AB ， 且 D1C1 = AB， D1C1AB為 平 行 四 邊 形 ， 則 D1A/C1B. 1111 DCBAABCD 1 1 1 1D A C BD C B C BD 又 平 面 ， 平 面 ，1 1 1 1,D A D B D又所 以 平 面 AB1D1/平 面 C1BD.所 以 ， D1A/平 面 C1BD， 同 理 ， D1B1/平 面 C1BD， D1 C1A1A B CD B1 例 2 已 知 ： 如 圖 ， / ， 點 P是 平 面 ， 外 一 點 ， 直 線 PAB, PCD分 別 與 ， 相 交 于 點 A,B和 C,D: 求 證 ： (1)AC/BD; (2)已 知 PA=4,AB=5,PC=3,求 PD的 長 。A DB CP