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.,第一章 測量與誤差,1.1 測量及分類 1.2 測量誤差 1.3 誤差的分類,.,一、測量,測量與分類,是將待測量與選做計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)的同類物理量進(jìn)行比較，得到此物理量的測量值的過程。測量值必須包括:數(shù)值和單位,,待測物理量,2.00,計(jì)量標(biāo)準(zhǔn),,待測物理量的數(shù)值,,單位,2.00,cm,,2018/4/1,.,測量的分類,,,,,擺長l,如：通過測量單擺的振動(dòng)周期T和擺長l，測重力加速度g,通過待測物理量與若干直接測量物理量的函數(shù)關(guān)系求出的,通過儀器和量具直接讀出的,周期T,,,間接測量,直接測量,按測量方式,按測量精度,,等精度測量-- 每次測量的條件都相同,不等精度測量– 任一測量條件發(fā)生變化,,測量與分類,2018/4/1,.,誤差：指的是測得的值y與真值Yt之間的差,真值,1.理論真值（三角形的內(nèi)角和等）,2.約定的真值（1米、1秒、1千克）,3.相對的真值：高一等級(jí)精度的標(biāo)準(zhǔn)所測的量值,測量誤差,,影響測量的因素有哪些呢？,測量方法、測量儀器、測量環(huán)境和測量者,2018/4/1,二、誤差的定義,一、真值與測量值,相對誤差,.,三、誤差分類----系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差、粗大誤差,3.1系統(tǒng)誤差,定義：在同一條件下，多次重復(fù)測量同一值時(shí)保持恒定或以 可預(yù)知方式變化的測量誤差分量。,測量誤差分類,特點(diǎn)：有規(guī)律，可再現(xiàn)，可以預(yù)測,系統(tǒng)誤差來源,儀器、裝置誤差,測量理論或方法誤差,測量環(huán)境誤差,人員誤差,儀器缺陷,安裝調(diào)整不當(dāng),不水平 不垂直 未調(diào)零,理論公式的近似,實(shí)驗(yàn)方法不完善,外界條件與儀器要求不一致,單擺測加速度,反應(yīng)速度 讀數(shù)習(xí)慣,散熱 內(nèi)阻,,,,,,,,,,,一經(jīng)查明就應(yīng)設(shè)法消除其影響,2018/4/1,.,各種消減系統(tǒng)誤差的方法都具有較強(qiáng)的針對性，都是些經(jīng)驗(yàn)型、具體的處理方法!!,測量誤差,系統(tǒng)誤差分類及處理方法:,定值系統(tǒng)誤差-----其大小和符號(hào)恒定不變。 例如，千分尺沒有零點(diǎn)修正，天平砝碼的標(biāo)稱值不準(zhǔn)確等。,未定系統(tǒng)誤差----大小和符號(hào)未定從而未知的系統(tǒng)誤差分量,合理評定系統(tǒng)誤差分量大致對應(yīng)的B類不確定度分量,方案選擇、參數(shù)設(shè)計(jì)、儀器校準(zhǔn)、計(jì)算方法改進(jìn)等對已定系統(tǒng)誤差進(jìn)行修正,如：交換法、替換法、抵消法、半周期法等,2018/4/1,.,3.2隨機(jī)誤差,在相同的條件下，由于偶然的不確定的因素造成每一次測量值的無規(guī)則的漲落，測量值對真值的偏離時(shí)大時(shí)小、時(shí)正時(shí)負(fù)，這類誤差稱為隨機(jī)（偶然）誤差．,,重復(fù)測量中以不可預(yù)知的方式變化的誤差分量,特點(diǎn):,,,,0,δ,n,對稱性：絕對值相等的正負(fù)誤差次數(shù)相等,單峰性：小誤差多于大誤差,有界性：隨機(jī)誤差絕對值不會(huì)超過一定界限,抵償性：隨次數(shù)增加，算數(shù)平均值趨于零,正態(tài)分布,測量誤差,3.2隨機(jī)誤差,2018/4/1,.,測量誤差,算術(shù)平均值—測量列的最佳值,設(shè)對真值為A的物理量x，作n次等精度測量，結(jié)果分別為x1、x2、……xn,算術(shù)平均值:,,,期待值或最佳值,n≥6,標(biāo)準(zhǔn)偏差（貝塞爾公式）,統(tǒng)計(jì)意義：當(dāng)測量次數(shù)足夠多時(shí)，測量列中任一測量值與算數(shù)平均值之差落在[ ]之間的概率為0.683，反映樣本中各測量數(shù)據(jù)相對樣本平均值的分散程度,s反映了隨機(jī)誤差的分布特征,s大：測量值分散，隨機(jī)誤差分布范圍寬，精密度低,s小：測量值密集，隨機(jī)誤差分布范圍窄，精密度高,,2018/4/1,.,測量誤差,正態(tài)分布,,正態(tài)分布,σ大,測量數(shù)據(jù)出現(xiàn)在某一區(qū)間的概率計(jì)算,34.13%,2.14%,0.14%,13.59%,,期望值,σ小,,2018/4/1,.,測量誤差,算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差,,測量結(jié)果離散程度,相同條件下，對同一測量量進(jìn)行若干組測量（每次均為n）,算數(shù)平均值列：,是表征同一被測量的各個(gè)獨(dú)立測量列算數(shù)平均值（測量結(jié)果）分散性的參數(shù),1、增加測量次數(shù)n，可提高測量精度,2、n>10時(shí)， 變緩，增加n對精度提高效果有限,6≤n≤10,要提高測量精度，應(yīng)采用適當(dāng)精度的儀器，選取適當(dāng)?shù)臏y量次數(shù),2018/4/1,.,準(zhǔn)確度,為定性概念，不要求加以量化,表示測量結(jié)果與被測量的“真值”之間的一致程度,2018/4/1,以系統(tǒng)誤差表征,測量誤差,.,重復(fù)性和復(fù)現(xiàn)性,測量誤差,在相同測量條件下，對同一測量進(jìn)行多次重復(fù)測量所得結(jié)果之間的一致性,在規(guī)定條件下獲得的各個(gè)獨(dú)立測量值之間的一致程度稱為測量的精密度。,2018/4/1,精密度,表示測量結(jié)果中隨機(jī)誤差大小的程度。結(jié)果之間符合的程度,在測量條件發(fā)生變化時(shí)，對同一測量量進(jìn)行多次重復(fù)測量所得結(jié)果之間的一致性,用標(biāo)準(zhǔn)偏差或置信區(qū)間來表征。,重復(fù)性的不確定度,復(fù)現(xiàn)性的不確定度,.,測量誤差,精確度,以系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差綜合表征,對同一量作多次重復(fù)測量所得的測量值對其（約定）真值的一直程度,準(zhǔn)確度高，精密度低,精密度高，準(zhǔn)確度低,精密度、準(zhǔn)確度高,2018/4/1,精確度高,.,2018/4/1,第二章 有效數(shù)字及其運(yùn)算法則,1.直接測量的有效數(shù)字記錄 2.有效數(shù)字的運(yùn)算法則,.,測量的有效數(shù)字,測量含誤差→是近似數(shù)→精度有限度，那么，測量結(jié)果的數(shù)據(jù)及數(shù)據(jù)運(yùn)算的位數(shù)的選取應(yīng)以什么為依據(jù)呢？？,,2.00,cm,一個(gè)數(shù)據(jù)中，小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)越多，這個(gè)數(shù)值越精確,數(shù)據(jù)運(yùn)算中，保留位數(shù)越多，精度越高,2.000,cm,,,測量結(jié)果的精度與所用的測量方法及儀器有關(guān),記錄或數(shù)據(jù)運(yùn)算時(shí),所取數(shù)據(jù)的位數(shù)其精度不能超過或低于測量所能達(dá)到的精度.,,,,,,,一個(gè)系數(shù)差萬分之二，結(jié)果卻差異極大!!,研究有效數(shù)字及數(shù)據(jù)運(yùn)算規(guī)律非常重要!!,2018/4/1,.,測量的有效數(shù)字,一、有效數(shù)字定義,有效數(shù)字：我們把準(zhǔn)確數(shù)字加上最后一位有實(shí)際意義的估計(jì)數(shù)字總稱為有效數(shù)字。測量結(jié)果用且只用它的有效數(shù)字表示。,,cm,準(zhǔn)確數(shù)字,估計(jì)數(shù)字,有效位數(shù)：有效數(shù)字的個(gè)數(shù)叫作有效位數(shù)。,第一位有效數(shù)字,4.510550,例：說出下列各數(shù)的有效數(shù)字個(gè)數(shù),0.002758,2.40×103,7位有效數(shù)字,4位有效數(shù)字,3位有效數(shù)字,2018/4/1,.,2018/4/1,測量的有效數(shù)字,通過儀表、量具等讀取原始數(shù)據(jù)時(shí)，要充分反映計(jì)量器具的準(zhǔn)確度，把計(jì)量器具所能讀出或估計(jì)的位數(shù)全讀出來．,二、有效數(shù)字的讀取,有效數(shù)字的多少直接反映實(shí)驗(yàn)測量的精度，不能隨意取舍!!,鋼尺：d=6.4mm；儀器誤差 0.5mm,游標(biāo)卡尺：d=6.36mm； 儀器誤差 0.02mm,千分尺：d=6.347mm； 儀器誤差 0.005mm,.,2018/4/1,測量的有效數(shù)字,① 游標(biāo)類量具，如游標(biāo)卡尺、分光計(jì)方位角的游標(biāo)度盤、水銀大氣壓力計(jì)的讀數(shù)游標(biāo)尺等，一般應(yīng)讀到游標(biāo)分度值的整數(shù)倍．,,0.02mm,,副尺：12?0.02=0.24mm,主尺：13mm,13.24mm,,.,2018/4/1,測量的有效數(shù)字,② 數(shù)顯儀表及有十進(jìn)步進(jìn)式標(biāo)度盤的儀表，如數(shù)字電表、電阻箱、電橋等，應(yīng)直接讀取儀表的示值．,③ 指針式儀表，讀數(shù)時(shí)一般要估讀到最小分度值的1/4～1/10，由于人眼分辨能力的限制，一般不可能估讀到最小分度的1/10以下．,6.8+0.2?0.3 =6.86V,.,2018/4/1,④ 對于可估讀到最小分度值以下的計(jì)量器具，當(dāng)最小分度不小于1mm時(shí)，通常要估讀到0.1分度，如螺旋測微計(jì)和測量顯微鏡鼓輪的讀數(shù)，都要估計(jì)到1/10分度．,測量的有效數(shù)字,,4.5mm,40.9?0.01mm,4.909mm,.,測量的有效數(shù)字,1. 有效數(shù)字位數(shù)與儀器最小分度值和被測量的大小有關(guān),如用最小分度值0.01mm的千分尺測量的長度讀數(shù)為 5.738mm（四位有效數(shù)字），用最小分度值為1mm的刻度尺測量，其讀數(shù)為 5.7mm（兩位有效數(shù)字）。,用最小分度值為1mm的刻度尺測量：5.7mm；15.7mm,2018/4/1,兩位有效數(shù)字,三位有效數(shù)字,三、有效數(shù)字的基本特性:,.,測量的有效數(shù)字,2、位數(shù)與小數(shù)點(diǎn)的位置（單位）無關(guān)；,9.80m／s2,9.80x10-3km／s2,有效數(shù)字的科學(xué)計(jì)數(shù)法表示,9.80x103mm／s2,0.00980km／s2,980cm／s2,9800mm／s2,有效數(shù)字位數(shù)有a決定；n可正可負(fù),不可寫成 9.8x103mm／s2,對于計(jì)算公式中常數(shù)的約定,可根據(jù)需要任意選取，計(jì)算中一般比參與運(yùn)算的各數(shù)中有效數(shù)字最多的多一位,2018/4/1,.,測量的有效數(shù)字,四、有效數(shù)字的修約（所有例子保留4位有效數(shù)字）,1.擬舍棄數(shù)字的最左一位數(shù)字小于5時(shí)----舍,2.擬舍棄數(shù)字的的最左一位數(shù)字大于5，或等于5而其后跟非零數(shù)字 ----末位數(shù)加1（入）,7.69149,7.691,,2.72769,2.728,,3.215501,3.216,,3.擬舍棄數(shù)字的的最左一位數(shù)字為5，其后全為零數(shù)字 ----奇進(jìn)偶不進(jìn),3.12550,3.126,,3.12050,3.120,,4.負(fù)數(shù)修約不受負(fù)號(hào)的影響,-3.12550,-3.126,,5.不允許連續(xù)修約,3.1254618,3.125462,,3.12546,,3.1255,,3.126,,3.125,,2018/4/1,.,測量的有效數(shù)字,五、有效數(shù)字運(yùn)算規(guī)則,可靠數(shù)字與可靠數(shù)字間的四則運(yùn)算，結(jié)果是可靠數(shù)字，否則為可疑數(shù)字,103.3,13.561,116.861,,103.13,1.652,,,101.478,103.3+13.561=116.9,103.13+1.652=101.48,有效數(shù)字中的可疑數(shù)只保留一位,1)加減法— 結(jié)果的非準(zhǔn)確位與參與運(yùn)算的所有數(shù)字中非準(zhǔn)確位最高者相同,2018/4/1,.,測量的有效數(shù)字,有效數(shù)字間的乘除法運(yùn)算,2018/4/1,4.17 8,10.1,4 17 8,,4.178×10.1=42.2,×,41 7 8,,42.1 97 8,23.4,×,4 68,2 6,,,1 38 4,6 06.4,23.4×26=6.1×102,(2)乘除法 — 結(jié)果的位數(shù)與所有參與運(yùn)算的數(shù)字中有效數(shù)字位數(shù)最少的相同,.,測量的有效數(shù)字,2018/4/1,如23.42 = 547.56 = 548,對數(shù)—結(jié)果的位數(shù)與真數(shù)的位數(shù)相同,如 ln23.4 = 3.1527 = 3.15,三角函數(shù),乘方開方—結(jié)果的位數(shù)與相應(yīng)的底數(shù)的位數(shù)相同,如sin(16O25’12’’)的結(jié)果取為0.282676,以上方法對少量數(shù)據(jù)運(yùn)算可用, 運(yùn)算過程中可多保留位數(shù)。對大量數(shù)據(jù)用統(tǒng)計(jì)方法處理.,.,1 測量不確定度的概念 2 直接測量結(jié)果與不確定度的估算 3 間接測量結(jié)果與不確定度的估算,2018/4/1,不確定度與測量結(jié)果的評定,.,2018/4/1,它表示由于測量誤差的存在而對被測量值不能確定的程度。,不確定度反映了可能存在的誤差分布范圍，即隨機(jī)誤差分量和未定系統(tǒng)誤差分量的聯(lián)合分布范圍。,不確定度與測量結(jié)果的評定,一、不確定度的概念,（單位）,不確定度,測量值,待測物理量,A類不確定度,B類不確定度,以測量結(jié)果作為被測量真值的估計(jì)值時(shí)可能存在誤差的范圍，在這個(gè)范圍內(nèi)測量結(jié)果為真值概率大小。,.,2018/4/1,測量結(jié)果可以采用合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc或采用擴(kuò)展不確定度U表示．本教材采用擴(kuò)展不確定度U的表示方法．,U是概率約等于0.95的擴(kuò)展不確定度．,不確定度與測量結(jié)果的評定,二.直接測量結(jié)果與不確定度估算,是（重復(fù)測量時(shí)）用統(tǒng)計(jì)方法計(jì)算的分量A類分量,是用其它方法（非統(tǒng)計(jì)方法）評定的分量B類分量,.,2018/4/1,1.A類分量UA的計(jì)算：,不確定度與測量結(jié)果的評定,設(shè)某一物理量的重復(fù)測量次數(shù)為n,算數(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差,統(tǒng)計(jì)意義:系統(tǒng)誤差為零時(shí)，真值在區(qū)間 內(nèi)的概率約為p．,置信因子,本教材要求p=95%,自由度v: n次重復(fù)測量的物理量之間,存在k個(gè)獨(dú)立的線性約束條件,則n個(gè)變量的獨(dú)立變量個(gè)數(shù)為n-k,即自由度為n-k,按照貝塞爾法計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差，n次重復(fù)測量，僅存在1個(gè)約束條件，所以自由度為,.,2018/4/1,不確定度與測量結(jié)果的評定,置信因子 可以查國家標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)表得到,但概率p = 0.95 的因子t由下式算出更為方便，式中v=n-1,,,.,系統(tǒng)誤差來源,B類不確定度,2018/4/1,不確定度與測量結(jié)果的評定,2. B類分量的近似評定與U的計(jì)算,原理方法,環(huán)境,人為因素,儀器調(diào)整,測量儀器,,,,,,儀器的誤差限值 ：一般取儀表、器具的示值誤差限或基本誤差限,它的大小有時(shí)由實(shí)驗(yàn)室近似給出．,.,2018/4/1,不確定度與測量結(jié)果的評定,普通物理實(shí)驗(yàn)常用測量儀器的誤差限,( 1 ) 鋼直尺(米尺)(分度值為1mm)． 取其誤差限為0.3mm，實(shí)驗(yàn)中也可以約定取0.5mm．,( 2 ) 游標(biāo)卡尺,分度值,,0.02mm,0.05mm,0.1mm,誤差限,,0.02mm,0.05mm,0.1mm,,,,( 3 ) 螺旋測微計(jì)（千分尺,精度為一級(jí)）,誤差限與測量范圍（量程）有關(guān) (0.004 ~ 0.006 mm),本課程約定為：0.005mm．,.,2018/4/1,不確定度與測量結(jié)果的評定,( 4 ) 機(jī)械停表和數(shù)字毫秒表:,一般分度值即為儀器誤差限,機(jī)械停表分度值為0.1s,誤差限為0.1s,數(shù)字秒表時(shí)基值為,,0.1ms,1ms,10ms,誤差限,,0.1ms,1ms,10ms,,,,,( 6 ) 電磁式測量指示表,誤差限,儀表量程,準(zhǔn)確度級(jí)別,(0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5、5.0),( 5 ) 水銀-玻璃溫度計(jì)：,誤差限為0.5℃,.,2018/4/1,不確定度與測量結(jié)果的評定,( 7 ) 旋鈕式電阻箱,(0.02、0.05、0.1、0.2四個(gè)級(jí)別),電阻箱誤差 = 箱內(nèi)電阻器的阻值誤差 + 旋鈕的接觸誤差,旋鈕個(gè)數(shù),所用電阻值,級(jí)別,級(jí)別常數(shù),表：電阻箱級(jí)別與對應(yīng)常數(shù),.,2018/4/1,不確定度與測量結(jié)果的評定,3. 直接測量結(jié)果的完整表示,（單位）,單次測量值或多次測量的算術(shù)平均值,概率約等于95%的擴(kuò)展不確定度,U一般只取一位有效數(shù)字,修約前首位數(shù)字較小時(shí)（如1、2等）一般取2位,,,,,根據(jù)擴(kuò)展不確定度進(jìn)行有效數(shù)字修約, 末位數(shù)字對齊,（p=95%）,（p=95%）,.,2018/4/1,不確定度與測量結(jié)果的評定,4. 相對擴(kuò)展不確定度,為更直觀地評價(jià)測量結(jié)果的準(zhǔn)確度，引入相對擴(kuò)展不確定度Ur的概念，它是擴(kuò)展不確定度U與量值x之比．,判斷下列哪個(gè)測量結(jié)果的準(zhǔn)確度高,相對不確定度一般取兩位有效數(shù)字,.,2018/4/1,不確定度與測量結(jié)果的評定,5. 單次測量的不確定度U,單次測量不能用統(tǒng)計(jì)方法求標(biāo)準(zhǔn)差，測量的隨機(jī)分布特征客觀存在，應(yīng)如何判斷待測量的不確定度呢？？？,2. s顯著小于儀器的誤差限,1. 因條件限制，僅測一次數(shù)據(jù),,注意：這只是一個(gè)近似的估算方法，不能得出單次測量的不確定度小于多次測量的不確定度的結(jié)論！?。?.,2018/4/1,不確定度與測量結(jié)果的評定,6. 不確定度的微小分量判據(jù),如果某一分量小于最大分量（或合成結(jié)果）的1/5到1/6，就可將這一分量看作是可忽略的微小分量． 微小分量判據(jù)的臨界比1/β取“1/5到1/6”有一定的靈活性，要求較低時(shí)可放寬到1/3． 有幾個(gè)微小分量可能都被忽略時(shí)也可取“1/6到1/10”． 僅有兩個(gè)分量方和根合成時(shí)，如小分量等于大分量的1/5，忽略小分量后引起的相對偏差為：,.,2018/4/1,不確定度與測量結(jié)果的評定,例1：用0.2級(jí)，量程為20k?的萬用表測量某個(gè)電阻的電阻值，測量結(jié)果單位為 (k?) : 3.72, 3.92，3.89，3.88，3.86，3.88，3.87，3.86，3.85，3.87，3.89 給出最終結(jié)果表示 。,解:計(jì)算平均值：,計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差：,因第一個(gè)數(shù)據(jù),剔除,.,2018/4/1,不確定度與測量結(jié)果的評定,重新計(jì)算,其他數(shù)據(jù)不需剔除,A類不確定度,,,.,2018/4/1,不確定度與測量結(jié)果的評定,B類不確定度,合成擴(kuò)展不確定度,最終結(jié)果表示,修約結(jié)果的平均值,.,2018/4/1,不確定度與測量結(jié)果的評定,小 結(jié),算術(shù)平均值,實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差,平均值的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差,A類不確定度,.,2018/4/1,不確定度與測量結(jié)果的評定,擴(kuò)展不確定度,B類不確定度,直接測量的實(shí)驗(yàn)結(jié)果,（單位）,.,2018/4/1,不確定度與測量結(jié)果的評定,三、間接測量結(jié)果與不確定度的估算,設(shè)間接測量量F為相互獨(dú)立的直接測量量x,y,z…..的函數(shù),每個(gè)直接測量量的結(jié)果可表示成如下形式,…,…,,如何根據(jù)直接測量量的不確定的來評價(jià)間接量的不確定度呢？？？,.,2018/4/1,不確定度與測量結(jié)果的評定,1. 不確定度的傳播規(guī)律,求上式的全微分,以微小量代替微元 ，得：,兩邊平方,.,2018/4/1,不確定度與測量結(jié)果的評定,不確定度按方、和、根的方法進(jìn)行合成,不確定度與微小量之間的關(guān)系：,自變量相互獨(dú)立，交叉項(xiàng)為0,.,2018/4/1,不確定度與測量結(jié)果的評定,相對不確定度,,求對數(shù)式全微分,,,,,絕對不確定度,.,2018/4/1,不確定度與測量結(jié)果的評定,常見函數(shù)的不確定度合成公式,.,2018/4/1,間接測量數(shù)據(jù)處理的一般程序：,不確定度與測量結(jié)果的評定,設(shè)間接測量量可寫成,(1). 求各直接測量量的結(jié)果,……,(2). 然后根據(jù)不確定度的傳遞公式求最終結(jié)果的不確定度,(3). 將每個(gè)直接測量量的值代入函數(shù)關(guān)系式得,(4). 寫出最終表達(dá)式,.,2018/4/1,不確定度與測量結(jié)果的評定,例2：已知質(zhì)量為 的銅圓柱體，用0～125mm、精度為0.02mm的游標(biāo)卡尺測得其高度h h(mm)為：80.38，80.36，80.36，80.38，80.36，80.38； 用一級(jí)0～25mm千分尺測得其直徑d d(mm)為：19.465，19.466，19.465，19.464，19.467，19.466。 求該銅柱體的密度。,解：①求高度的算術(shù)平均值及不確定度,.,2018/4/1,不確定度與測量結(jié)果的評定,A類不確定度,游標(biāo)卡尺的示值誤差為0.02mm,即h的B類不確定度為：,B類不確定度,,,h的擴(kuò)展不確定度為：,得到h的最終結(jié)果,.,2018/4/1,不確定度與測量結(jié)果的評定,②求直徑的算術(shù)平均值及不確定度,d的A類不確定度為：,一級(jí)千分尺的儀器誤差限為0.005mm，則d的B類不確定度為：,,,d的擴(kuò)展不確定度為：,得到d的最終結(jié)果,.,2018/4/1,不確定度與測量結(jié)果的評定,③求密度及其不確定度,相對不確定度：,最終結(jié)果為,.,2018/4/1,第三章 常用數(shù)據(jù)處理方法,.,常用數(shù)據(jù)處理方法,一、列表法,2018/4/1,實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)處理不單純是數(shù)學(xué)運(yùn)算，而是要以一定的物理模型為基礎(chǔ)，以一定的物理?xiàng)l件為依據(jù)，通過對數(shù)據(jù)的整理、分析和歸納計(jì)算，得出明確的實(shí)驗(yàn)結(jié)論。,常用方法,二、作圖法,三、逐差法,四、線性回歸（擬合）,.,2018/4/1,常用數(shù)據(jù)處理方法,一、列表法---- 記錄和處理數(shù)據(jù)時(shí)，把數(shù)據(jù)列成表格,表1 伏安法測電阻,在表格上方中間寫表的內(nèi)容（表名）,寫明表中各符號(hào)的意義、單位（不許寫在各數(shù)字后）,數(shù)據(jù)要忠實(shí)原始測量結(jié)果，注意有效數(shù)字，零不能隨意舍棄,伏特計(jì)：1.0級(jí)，量程15V，內(nèi)阻15KΩ,毫安計(jì)：1.0級(jí)，量程20mA，內(nèi)阻1.2Ω,注明測量儀器的型號(hào)、量程、級(jí)別；環(huán)境參數(shù)、常量等,.,2018/4/1,常用數(shù)據(jù)處理方法,二、作圖法----將數(shù)據(jù)之間的關(guān)系或其變化情況用圖線直觀地表示出來,優(yōu)點(diǎn)：形象直觀、簡單方便，可直觀的反應(yīng)物理量之間的變化規(guī)律,缺點(diǎn)：三個(gè)及其以上的變量不適用；繪圖時(shí)易引入人為誤差。,作圖步驟 ：,⑴ 選用合適的坐標(biāo)紙,⑵ 坐標(biāo)軸的比例與標(biāo)度,⑶ 標(biāo)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)（描點(diǎn)）,⑷ 連圖線（擬合線）,(5) 注解說明,,,U/v,I/mA,2.00,4.00,6.00,8.00,5.00,10.00,15.00,20.00,0,,I-U關(guān)系圖,實(shí)驗(yàn)者： 實(shí)驗(yàn)日期,.,2018/4/1,常用數(shù)據(jù)處理方法,作圖的基本規(guī)范,坐標(biāo)紙的大小和坐標(biāo)軸的比例選取要合適,坐標(biāo)軸均勻分度,標(biāo)明數(shù)值。 用箭頭標(biāo)出坐標(biāo)軸的方向,標(biāo)明物理量及單位.橫軸代表自變量,縱軸代表因變量， 要使圖線比較對稱地充滿整張圖紙, 坐標(biāo)軸的 起點(diǎn)不一定是零點(diǎn);,.,2018/4/1,定容氣體壓強(qiáng)～溫度曲線,常用數(shù)據(jù)處理方法,作圖的基本規(guī)范,圖紙使用不當(dāng)。實(shí)際作圖時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)的讀數(shù)可以不從零開始。,.,,2018/4/1,常用數(shù)據(jù)處理方法,作圖的基本規(guī)范,,,,,,,,,,,f/kHz,U/v,0.600,1.000,1.400,1.800,2.200,1.00,2.00,3.00,4.00,R-C串聯(lián)電路電容元件幅頻關(guān)系,,,描點(diǎn)時(shí)以“+”、“×”、 “⊕”、 “⊙”等符號(hào)標(biāo)出實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，測量數(shù)據(jù)落在所標(biāo)符號(hào)的中心，大小適中。禁止用“ · ”,曲線太粗，不均勻，不光滑，直接連點(diǎn)； 應(yīng)該用直尺、曲線板等工具把實(shí)驗(yàn)點(diǎn)連成光滑、均勻的細(xì)實(shí)線。使各數(shù)據(jù)點(diǎn)對于所連成的圖線有對稱的分布．,如果作校準(zhǔn)曲線，則要通過校準(zhǔn)點(diǎn)連成折線．,.,2018/4/1,2.00,4.00,6.00,8.00,常用數(shù)據(jù)處理方法,作圖的基本規(guī)范,,,U/v,1.00,2.00,3.00,5.00,10.00,15.00,20.00,0,,I-U關(guān)系圖,橫軸坐標(biāo)分度選取不當(dāng)。橫軸以3 cm 代表1 V，使作圖和讀圖都很困難。,原則上，坐標(biāo)中的最小格對應(yīng)測量值可靠數(shù)字的最后一位，可根據(jù)情況選擇這一位的“1”、“2” 、“5” 或10的整數(shù)次冪倍; 應(yīng)既滿足有效數(shù)字的要求又便于作圖和讀圖，,I/mA,.,2018/4/1,常用數(shù)據(jù)處理方法,作圖的基本規(guī)范,,,U/v,I/mA,2.00,4.00,6.00,8.00,5.00,10.00,15.00,20.00,0,,I-U關(guān)系圖,,一條實(shí)驗(yàn)曲線用同一種符號(hào)，當(dāng)同一圖中有多條曲線是，描點(diǎn)應(yīng)有區(qū)分，并標(biāo)明每條曲線的名稱,R1,R2,.,2018/4/1,常用數(shù)據(jù)處理方法,作圖法處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)：通過求直線的斜率和截距求相關(guān)的間接物理量 (y=a+bx),1、在圖線上任取兩相距較遠(yuǎn)的非實(shí)驗(yàn)點(diǎn),用不同于實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的符號(hào)表明.,不得使用實(shí)驗(yàn)點(diǎn),2、讀兩點(diǎn)坐標(biāo),(8.69,17.25),(1.40,2.90),,,,畫直角三角形,3.直線延長線與縱坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)數(shù)值，即為直線的截距( ),.,在物理實(shí)驗(yàn)的坐標(biāo)系中，縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)代表不同的物理量，分度值與空間坐標(biāo)不同，所以不能用量取直線傾角求正切的方法求斜率。,2018/4/1,常用數(shù)據(jù)處理方法,作圖及作圖法處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),要用鉛筆作圖，以便作必要的修改．有關(guān)的計(jì)算不要寫在圖紙上．要保持圖面的整潔、清晰和美觀．,寫上實(shí)驗(yàn)者姓名、實(shí)驗(yàn)日期，將圖紙與實(shí)驗(yàn)報(bào)告訂在一起．,作圖一定要用坐標(biāo)紙．因?yàn)槲覀冏鲌D的目的不僅是定性的觀察，還要進(jìn)行定量的計(jì)算,求出有關(guān)的結(jié)果．不用坐標(biāo)紙，就不能保證結(jié)果的準(zhǔn)確程度．,作圖法處理數(shù)據(jù)時(shí)，在圖上要保留必要的作圖痕跡,若已知圖線不是直線，可利用函數(shù)關(guān)系將曲線轉(zhuǎn)變?yōu)橹本€,.,2018/4/1,常用數(shù)據(jù)處理方法,三、逐差法,有一長為x0的彈簧，逐次在其下端加掛質(zhì)量為m的砝碼，共加7次，測出其對應(yīng)長度分別為x1，x2，…，x7。求每增加單位砝碼，彈簧的伸長量?x。,僅用首尾兩個(gè)數(shù)據(jù)，損失較多信息,.,2018/4/1,常用數(shù)據(jù)處理方法,測量序號(hào)：1 2 3 4 5 6 7 8 測量值： x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7,,優(yōu)點(diǎn)：逐差法可以充分利用數(shù)據(jù)，減小誤差,逐差伸長量 Δx1 Δx2 Δx3 Δx4 逐差伸長量的定義（分兩組）： Δxi=xi+4-xi,逐差法取平均：,.,2018/4/1,常用數(shù)據(jù)處理方法,函數(shù)成線性關(guān)系， 自變量為等間距變化 數(shù)據(jù)是偶數(shù)對。,逐差法適用條件,用逐差法處理具有獨(dú)特的優(yōu)點(diǎn)。,.,2018/4/1,常用數(shù)據(jù)處理方法,四、直線擬合方法(根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)用函數(shù)解析形式求出經(jīng)驗(yàn)公式）,函數(shù)關(guān)系已經(jīng)確定，但式中的系數(shù)是未知的，確定系數(shù)；,y和x之間的函數(shù)關(guān)系未知，尋找出它們之間的函數(shù)關(guān)系式。,,直線擬合方法的適用條件：,1. 系統(tǒng)誤差已經(jīng)修正,2. 粗大誤差（異常值）已經(jīng)剔除,3. n次測量條件相同（即為等精度測量）,.,2018/4/1,常用數(shù)據(jù)處理方法,直線擬合方法解題思路,已知兩個(gè)物理量x和y成較嚴(yán)格的直線關(guān)系時(shí)，,由于誤差普遍存在，需在合理的范圍內(nèi)測量n組散布開的數(shù)據(jù)，通常使n≥7，然后再直線擬合．,把測量精度較高的物理量作為自變量,再求出直線斜率、截距的最佳估值a、b以及與實(shí)驗(yàn)?zāi)康挠嘘P(guān)的其它參量.這一求解過程稱為直線回歸，也稱擬合．,n 個(gè)數(shù)據(jù)對,常常先測量n組值(xi , yi),,a、b的最佳估值,,,若a、b為最佳值，則有最佳估值,.,1. 殘差與最小二乘法,,,,最小二乘法（method of least squares），簡稱MLS．它是一種根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)求未知量“最佳”估值的方法，其原理可表述為：使（等精密度的因變量）yi的殘差平方和（residual sum of square）或標(biāo)準(zhǔn)差的平方為極小值．殘差平方和最小,常用數(shù)據(jù)處理方法,殘差是測量列中某一測得值yi與該測量列的算術(shù)平均值之差．更一般的定義為與其（最佳）估計(jì)值 之差，記作,2018/4/1,.,2018/4/1,常用數(shù)據(jù)處理方法,2. 截距為零直線的MLS擬合,儀表、傳感器檢定時(shí)回歸直線常常必須過坐標(biāo)原點(diǎn)，截距應(yīng)為零,,求最小值,,,b代入,,,b為最佳估值,因變量標(biāo)準(zhǔn)差sy和斜率的標(biāo)準(zhǔn)差sb分別為：,.,2018/4/1,常用數(shù)據(jù)處理方法,3. 一般直線的MLS擬合,一般直線 的MLS擬合，判據(jù)是使yi的殘差平方和最小，相近于各測量點(diǎn)到回歸直線距離平方和最?。?殘差,,求極小值,,,,.,2018/4/1,常用數(shù)據(jù)處理方法,方程的解,因變量標(biāo)準(zhǔn)差sy和斜率、截距的標(biāo)準(zhǔn)差sb、sa分別為:,自由度,.,2018/4/1,常用數(shù)據(jù)處理方法,斜率、截距等參量z的A類擴(kuò)展不確定度為：,寫出方程：,線性回歸的評價(jià)（相關(guān)系數(shù)）,r值越接近1，說明實(shí)驗(yàn)點(diǎn)越密集的分布在所求直線的近旁，說明用線性函數(shù)進(jìn)行回歸是合理的.,.,2018/4/1,常用數(shù)據(jù)處理方法,四、一般函數(shù)關(guān)系的回歸----曲線改直,對非線性關(guān)系變量進(jìn)行變量代換，使新變量成為線性關(guān)系, 可以用線性回歸、圖解法來處理。,Y=aex+b, 令ex=Z , 則y=az+b,y=ae bx， lny=lna+bx 令lny=y’，lna=a0，y’=a0+bx,y=a/x, 令z=1/x, 則y=az,T2 看做一個(gè)變量y，則y(即T2)與m成線性關(guān)系,.,2018/4/1,四. EXCEL程序中直線擬合的兩種方法,EXCEL程序中直接求擬合參量的函數(shù),常用數(shù)據(jù)處理方法,.,2018/4/1,常用數(shù)據(jù)處理方法,EXCEL程序中的LINEST函數(shù),.,2018/4/1,常用數(shù)據(jù)處理方法,舉例,.,2018/4/1,常用數(shù)據(jù)處理方法,例：某同學(xué)測量彈簧倔強(qiáng)系數(shù)的數(shù)據(jù)如下：,其中，F(xiàn)為彈簧所受的作用力，y為彈簧伸長后的位置示值，已知：,用最小二乘法處理數(shù)據(jù)，求彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)k及彈簧的初始位置,.,2018/4/1,常用數(shù)據(jù)處理方法,解：,,.,2018/4/1,常用數(shù)據(jù)處理方法,變量代換(計(jì)算過程多取一位有效數(shù)字),計(jì)算不確定度,.,2018/4/1,常用數(shù)據(jù)處理方法,,,,結(jié)果表示,回歸方程,.,2018/4/1,系統(tǒng)誤差的消除舉例,交換法,天平的不等臂,.,,不改變R1和R2 交換Rx和RS 重新調(diào)平衡,比較臂不精確會(huì)帶來系統(tǒng)誤差,系統(tǒng)誤差的消除舉例,交換法,.,2018/4/1,C. 抵消法,: 兩次測量，使系統(tǒng)誤差大小相等，符號(hào)相反,,,光柵衍射,系統(tǒng)誤差,.,2018/4/1,電流表測量弱電流： 懷疑存在弱磁場可能對實(shí)驗(yàn)結(jié)果引入系統(tǒng)誤差,使用數(shù)字毫安表測量電流： 懷疑存在電流表存在微弱的初始讀數(shù)引入系統(tǒng)誤差,系統(tǒng)誤差,反射法測三棱鏡頂角：,,,.,2018/4/1,系統(tǒng)誤差的消除舉例,待測元件達(dá)不到理論要求,霍爾元件的不等位電勢差,即實(shí)驗(yàn)中改變磁場方向兩次測量可消除不等為電勢差的影響,.,2018/4/1,系統(tǒng)誤差的消除舉例,分光計(jì)偏心差 （周期性系統(tǒng)誤差）,對稱游標(biāo) （相隔180度兩次測量可消除周期性系統(tǒng)誤差）,半周期法,