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2019-2020年（新課程）高中數學《2.5.1平面幾何中的向量方法》評估訓練 新人教A版必修4 1．在△ABC中，若AB＝AC，D、E分別是AB、AC的中點，則(　　)． A.＝ B.與共線 C.＝ D.與共線 解析　如圖，可知DE∥BC.故與共線． 答案　D 2．在四邊形ABCD中，＝－，＝0，則四邊形為(　　)． A．平行四邊形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形 解析　∵＝－，即＝， ∴綉， ∴四邊形ABCD是平行四邊形． 又＝0， ∴⊥， 即AC⊥BD，∴?ABCD是菱形． 答案　D 3．若物體在共點力F1＝(lg 2，lg 2)，F2＝(lg 5，lg 2)的作用下產生位移s＝(2lg 5,1)，則共點力對物體所做的功W為(　　)． A．lg 2 B．lg 5 C．1 D．2 解析　W＝(F1＋F2)s＝(lg 2＋lg 5,2lg 2)(2lg 5,1)＝(1,2lg 2)(2lg 5,1)＝2lg 5＋2lg 2＝2，故選D. 答案　D 4．在平面直角坐標系中，正方形OABC的對角線OB 的兩端點分別為O(0,0)，B(1,1)，則＝________. 解析　由已知得A(1,0)，C(0,1)， ∴＝(0,1)，＝(－1,1)， ∴＝1. 答案　1 5．一纖夫用牽繩拉船沿直線方向前進60 m，若牽繩與行進方向夾角為30，纖夫的拉力為50 N．則纖夫對船所做的功為________． 解析　所做的功W＝6050cos 30＝1 500 J. 答案　1 500 J 6．已知點A(1,0)，直線l：y＝2x－6，點R是直線l上的一點，若＝2，求點P的軌跡方程． 解　設P(x，y)，R(x1，y1)，則 ＝(1－x1，－y1)，＝(x－1，y)； 由＝2得(1－x1，－y1)＝2(x－1，y)， 即， 代入直線l的方程得y＝2x. 所以，點P的軌跡方程為y＝2x. 綜合提高　(限時25分鐘) 7．已知在△ABC中，＝a，＝b，且ab<0，則△ABC的形狀為(　　)． A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等腰直角三角形 解析　∵ab＝|a||b|cos ∠BAC<0，∴cos ∠BAC<0， ∴90<∠BAC<180，故△ABC是鈍角三角形． 答案　A 8．點O是三角形ABC所在平面內的一點，滿足＝＝，則點O是△ABC的(　　)． A．三個內角的角平分線的交點 B．三條邊的垂直平分線的交點 C．三條中線的交點 D．三條高的交點 解析　∵＝， ∴＝0. ∴＝0. ∴OB⊥AC.同理OA⊥BC，OC⊥AB， ∴O為垂心． 答案　D 9．一個重20 N的物體從傾斜角30，斜面長1 m的光滑斜面頂端下滑到底端，則重力做的功是________． 解析　由力的正交分解知識可知沿斜面下滑的分力大小 |F|＝20 N＝10 N， ∴W＝|F||s|＝10 J. 或由斜面高為 m，W＝|G|h＝20 J＝10 J. 答案　10 J 10．已知作用于原點的兩個力F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，現增加一個力F，使這三個力F1，F2，F的合力為0，則F＝________. 解析　∵F1＋F2＋F＝0，∴F＝－F1－F2＝(－3，－4)＋(－2,5)＝(－5,1)． 答案　(－5,1) 11．(xx寧波高一檢測)已知Rt△ABC，∠C＝90，設AC＝m，BC＝n， (1)若D為斜邊AB的中點，求證：CD＝AB； (2)若E為CD的中點，連接AE并延長交BC于F，求AF的長(用m、n表示)． 解　以C為坐標原點，以邊CB、CA所在的直線分別為x軸、y軸建立坐標系，如圖，A(0，m)，B(n,0)． (1)∵D為AB的中點，∴D， ∴＝，＝ ， ∴＝，即CD＝AB. (2)∵E為CD的中點， ∴E，設F(x,0)，則＝， ＝(x，－m)， ∵A、E、F共線，∴＝λ， 即(x，－m)＝λ，∴ 即x＝，即F.∴＝ . 12．(創(chuàng)新拓展)如圖所示，用兩根分別長5 m 和10 m的繩子將100 N的物體吊在水平屋頂AB上， 平衡后G點距屋頂的距離恰好為5 m，求A處受力的大?。? 解　由已知條件可知AG與鉛直方向成45角，BG與鉛直方向成60角，設A處所受的力為Fa，B處所受的力為Fb， ∴ 解得|Fa|＝150－50，故A處受力的大小為(150－50)N.