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2019年高考數(shù)學一輪復習 第十章 算法、復數(shù)、推理與證明 課時達標檢測（四十九）合情推理與演繹推理 1．(1)已知a是三角形一邊的長，h是該邊上的高，則三角形的面積是ah，如果把扇形的弧長l，半徑r分別看成三角形的底邊長和高，可得到扇形的面積為lr；(2)由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32，可得到1＋3＋5＋…＋2n－1＝n2，則(1)(2)兩個推理過程分別屬于________推理． 解析：(1)由三角形的性質(zhì)得到扇形的性質(zhì)有相似之處，此種推理為類比推理；(2)由特殊到一般，此種推理為歸納推理． 答案：類比，歸納 2．“因為指數(shù)函數(shù)y＝ax是增函數(shù)(大前提)，而y＝x是指數(shù)函數(shù)(小前提)，所以y＝x是增函數(shù)(結(jié)論)”，上面推理的錯誤在于________錯而導致結(jié)論錯． 解析：y＝ax是增函數(shù)這個大前提是錯誤的，從而導致結(jié)論錯誤． 答案：大前提 3．(xx如東高級中學模擬)觀察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由歸納推理得：若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝f(x)，記g(x)為f(x)的導函數(shù)，則g(－x)＝________. 解析：由已知得函數(shù)的導函數(shù)為奇函數(shù)，故g(－x)＝－g(x)． 答案：－g(x) 4．下面圖形由小正方形組成，請觀察圖①至圖④的規(guī)律，并依此規(guī)律，寫出第n個圖形中小正方形的個數(shù)是________． 解析：由題圖知第1個圖形的小正方形個數(shù)為1，第2個圖形的小正方形個數(shù)為1＋2，第3個圖形的小正方形個數(shù)為1＋2＋3，第4個圖形的小正方形個數(shù)為1＋2＋3＋4，…，則第n個圖形的小正方形個數(shù)為1＋2＋3＋…＋n＝. 答案： 5．在平面幾何中：△ABC中∠C的角平分線CE分AB所成線段的比為 ＝.把這個結(jié)論類比到空間：在三棱錐ABCD中(如圖)，DEC平分二面角ACDB且與AB相交于E，則得到類比的結(jié)論是_____________________． 解析：由平面中線段的比轉(zhuǎn)化為空間中面積的比可得＝. 答案：＝ [練常考題點——檢驗高考能力] 一、填空題 1．已知圓：x2＋y2＝r2上任意一點(x0，y0)處的切線方程為x0x＋y0y＝r2，類比以上結(jié)論有：雙曲線：－＝1上任意一點(x0，y0)處的切線方程為________________． 解析：設(shè)圓上任一點為(x0，y0)，把圓的方程中的x2，y2替換為x0x，y0y，則得到圓的切線方程；類比這種方式，設(shè)雙曲線－＝1上任一點為(x0，y0)，則有切線方程為－＝1. 答案：－＝1 2．已知“整數(shù)對”按如下規(guī)律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，則第60個“整數(shù)對”是________． 解析：依題意，把“整數(shù)對”的和相同的分為一組，不難得知第n組中每個“整數(shù)對”的和均為n＋1，且第n組共有n個“整數(shù)對”，這樣的前n組一共有個“整數(shù)對”，注意到＜60＜，因此第60個“整數(shù)對”處于第11組(每個“整數(shù)對”的和為12的組)的第5個位置，結(jié)合題意可知每個“整數(shù)對”的和為12的組中的各對數(shù)依次為：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60個“整數(shù)對”是(5,7)． 答案：(5,7) 3．(xx常州模擬)觀察下列各式：55＝3 125,56＝15 625，57＝78 125,58＝390 625，59＝1 953 125，……，則52 019的末四位數(shù)字為________． 解析：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625，59＝1 953 125，……，可得59與55的后四位數(shù)字相同，由此可歸納出5m＋4k與5m(k∈N*，m＝5,6,7,8)的后四位數(shù)字相同，又2 019＝4503＋7，所以52 019與57的后四位數(shù)字相同，為8 125. 答案：8 125 4．若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，則數(shù)列{bn}也為等差數(shù)列．類比這一性質(zhì)可知，若正項數(shù)列{cn}是等比數(shù)列，且{dn}也是等比數(shù)列，則dn的表達式應(yīng)為________． 解析：若{an}是等差數(shù)列，則a1＋a2＋…＋an＝na1＋d，∴bn＝a1＋d＝n＋a1－，即{bn}為等差數(shù)列；若{cn}是等比數(shù)列，則c1c2…cn＝cq1＋2＋…＋(n－1)＝cq，∴dn＝＝c1q，即{dn}為等比數(shù)列． 答案：dn＝ 5．(xx全國卷Ⅱ改編)甲、乙、丙、丁四位同學一起去向老師詢問成語競賽的成績．老師說：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績．看后甲對大家說：我還是不知道我的成績．根據(jù)以上信息，下列說法正確的序號是________． ①乙可以知道四人的成績； ②丁可以知道四人的成績； ③乙、丁可以知道對方的成績； ④乙、丁可以知道自己的成績． 解析：依題意，四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，由于甲知道乙、丙的成績，但還是不知道自己的成績，則乙、丙必有1位優(yōu)秀，1位良好，甲、丁必有1位優(yōu)秀，1位良好，因此，乙知道丙的成績后，必然知道自己的成績；丁知道甲的成績后，必然知道自己的成績，故④正確． 答案：④ 6．某市為了緩解交通壓力，實行機動車輛限行政策，每輛機動車每周一到周五都要限行一天，周末(周六和周日)不限行．某公司有A，B，C，D，E五輛車，保證每天至少有四輛車可以上路行駛．已知E車周四限行，B車昨天限行，從今天算起，A，C兩車連續(xù)四天都能上路行駛，E車明天可以上路，由此可知下列推測一定正確的是________．(填序號) ①今天是周六；②今天是周四； ③A車周三限行；④C車周五限行． 解析：因為每天至少有四輛車可以上路行駛，E車明天可以上路，E車周四限行，所以今天不是周三；因為B車昨天限行，所以今天不是周一，也不是周日；因為A，C兩車連續(xù)四天都能上路行駛，所以今天不是周五，周二和周六，所以今天是周四． 答案：② 7．對于實數(shù)x，[x]表示不超過x的最大整數(shù)，觀察下列等式： [ ]＋[ ]＋[ ]＝3， [ ]＋[ ]＋[ ]＋[ ]＋[ ]＝10， [ ]＋[ ]＋[ ]＋[ ]＋[ ]＋[ ]＋[ ]＝21， …… 按照此規(guī)律第n個等式的等號右邊的結(jié)果為________． 解析：因為[ ]＋[ ]＋[ ]＝13，[ ]＋[ ]＋[ ]＋[ ]＋[ ]＝25，[ ]＋[ ]＋[ ]＋[ ]＋[ ]＋[ ]＋[ ]＝37，……，以此類推，第n個等式的等號右邊的結(jié)果為n(2n＋1)，即2n2＋n. 答案：2n2＋n 8．(xx江蘇省通州高級中學高三月考)如果函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是凸函數(shù)，那么對于區(qū)間D內(nèi)的任意x1，x2，…，xn，都有≤f.若y＝sin x在區(qū)間(0，π)上是凸函數(shù)，那么在△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值是________． 解析：由題意知，凸函數(shù)滿足 ≤f， 又y＝sin x在區(qū)間(0，π)上是凸函數(shù)，則sin A＋sin B＋sin C≤3sin＝3sin＝. 答案： 9．觀察下列事實：|x|＋|y|＝1的不同整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為4，|x|＋|y|＝2的不同整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為8，|x|＋|y|＝3的不同整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為12，…，則|x|＋|y|＝20的不同整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為________． 解析：由|x|＋|y|＝1的不同整數(shù)解的個數(shù)為4，|x|＋|y|＝2的不同整數(shù)解的個數(shù)為8，|x|＋|y|＝3的不同整數(shù)解的個數(shù)為12，歸納推理得|x|＋|y|＝n的不同整數(shù)解的個數(shù)為4n，故|x|＋|y|＝20的不同整數(shù)解的個數(shù)為80. 答案：80 10.如圖，將平面直角坐標系中的格點(橫、縱坐標均為整數(shù)的點)按如下規(guī)則標上數(shù)字標簽：原點處標0，點(1,0)處標1，點(1，－1)處標2，點(0，－1)處標3，點(－1，－1)處標4，點(－1,0)處標5，點(－1,1)處標6，點(0,1)處標7，依此類推，則標簽為2 0172的格點的坐標為________． 解析：因為點(1,0)處標1＝12，點(2,1)處標9＝32，點(3,2)處標25＝52，點(4,3)處標49＝72，依此類推得點(1 009，1 008)處標2 0172. 答案：(1 009,1 008) 二、解答題 11．在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求證：＝＋.在四面體ABCD中，類比上述結(jié)論，你能得到怎樣的猜想？并說明理由． 解：如圖所示，由射影定理AD2＝BDDC，AB2＝BDBC，AC2＝BCDC，∴＝ ＝＝. 又BC2＝AB2＋AC2， ∴＝＝＋. 猜想，在四面體ABCD中，AB、AC、AD兩兩垂直，AE⊥平面BCD，則＝＋＋. 證明：如圖，連結(jié)BE并延長交CD于F，連結(jié)AF. ∵AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A， ∴AB⊥平面ACD. ∵AF?平面ACD，∴AB⊥AF. 在Rt△ABF中，AE⊥BF， ∴＝＋. ∵AB⊥平面ACD，∴AB⊥CD. ∵AE⊥平面BCD， ∴AE⊥CD. 又AB∩AE＝A， ∴CD⊥平面ABF， ∴CD⊥AF. ∴在Rt△ACD中＝＋， ∴＝＋＋. 12．某同學在一次研究性學習中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)： ①sin213＋cos217－sin 13cos 17； ②sin215＋cos215－sin 15cos 15； ③sin218＋cos212－sin 18cos 12； ④sin2(－18)＋cos248－sin(－18)cos 48； ⑤sin2(－25)＋cos255－sin(－25)cos 55. (1)試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)； (2)根據(jù)(1)的計算結(jié)果，將該同學的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論． 解：(1)選擇②式，計算如下：sin215＋cos215－sin 15cos 15＝1－sin 30＝1－＝. (2)三角恒等式為 sin2α＋cos2(30－α)－sin αcos(30－α)＝. 證明如下： sin2α＋cos2(30－α)－sin αcos(30－α) ＝sin2α＋(cos 30cos α＋sin 30sin α)2－sin α(cos 30cos α＋sin 30sin α) ＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α ＝sin2α＋cos2α＝.