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2019-2020 年高中數(shù)學(xué) 雙曲線知識(shí)精講 理 人教版第二冊(cè) 【本講教育信息】 一. 教學(xué)內(nèi)容： 雙曲線 二. 重點(diǎn)、難點(diǎn)： 1. 定義： caPF2|||21??? 到兩點(diǎn)距離之差為定值 2a 的點(diǎn)的軌跡。 2. 標(biāo)準(zhǔn)方程：或（） 3. 性質(zhì)： （1）范圍： ),[],(???ax?， （2）對(duì)稱：x、y 軸為對(duì)稱軸，原點(diǎn)為對(duì)稱中心 （3）頂點(diǎn)： （4）漸近線： （5）離心率： 4. 第二定義： 到的距離與到直線：的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡為雙曲線， （， ） 。 【典型例題】 [例 1] 求滿足條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。 （1）一條漸近線是：，且過點(diǎn)的雙曲線方程。 解： 雙曲線 代入 A 其漸近線雙曲線系 （2）求與雙曲線有共同漸近線且焦距為 12 的雙曲線。 解： 兩解 [例 2] P 為平面上一點(diǎn)，過 P 作雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線可作 n 條。 解： 切線 有一交點(diǎn)、交線 ① 無 2（平漸） ② P 在線上 / 2（平漸） ③ P 在漸近線上（非 O 點(diǎn)） /（本支） 1 ④ P 在原點(diǎn) 02 02 [例 3] P 為雙曲線上一點(diǎn)（異于頂點(diǎn)） ， ，求。 解： 2121 4aFF????22cos? 相減 22)(b?? ∴ ctsin122bP??? [例 4] 雙曲線的右頂點(diǎn)為 A，P 為雙曲線上一點(diǎn)（異于頂點(diǎn)）過 A 作漸近線的平行線交 OP 于 E、F。 （1）證 （2）雙曲線上是否存在一點(diǎn) P，使 解： ： ： ： ),(00aybxyxaF?),(00aybxyxaE?2202 02 |)1(||)1(|| OPxkyaxbkOFE???????FE2||| ?20200||1yxbyS?????? 四點(diǎn) [例 5] 雙曲線 C：，A（3，2） ，B（2，0） ，P 為雙曲線上一點(diǎn)，求的最小值。 解： 25),(),(||1| ?????ldlP xC0BA ? [例 6] 雙曲線 C：的一支上有不同的三點(diǎn)，，，它們與 F（0，5）的距離成等差數(shù)列。 （1）求。 （2）求證線段 AC 的中垂線過定點(diǎn)，并求此點(diǎn)。 解：A、B、C 到準(zhǔn)線距離成等差數(shù)列 ∴ )(2)()( 2321 caycayc???? ∴ )2(63131xxy?? ∴過定點(diǎn) [例 7] 雙曲線的一條準(zhǔn)線與實(shí)軸交于 D，過 D 引直線和雙曲線交于 M、N，又過一焦點(diǎn) F， 引一直線垂直于 MN 和雙曲線交于 P、Q，證： |||2|| DFQ??? 。0 xy 解： )0,2(),(aFaD? 設(shè) MN 傾斜角為，∴PQ 為???????sinco2tytxlMN ??? ???)2sin(co??tyaxlPQ 分別代入 22)si()c( atta??，2o)]cos2[t?? 即： 01cs2?at?， 0sin2cos22 ???att?|o|||| 21DNM??? |cs|||| ?tFQP?? ∴ || N? [例 8] 過雙曲線上任一點(diǎn) P 的切線與雙曲線的漸近線交于 A、B，求證：P 點(diǎn)為 AB 中點(diǎn)。 解：為雙曲線上一點(diǎn) 過 P 的切線??????0121byax 消 y 02)( 24112 ???baxxyab 即 b 中點(diǎn)橫坐標(biāo)為 ∴中點(diǎn)為 P 【模擬試題】 （答題時(shí)間：30 分鐘） 1. 離心率為是雙曲線為等軸雙曲線的（ ） A. 充非必 B. 必非充 C. 充要 D. 非充非必 2. 下列雙曲線中，既有相同的離心率，又有相同漸近線的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 3. 過 P（4，4）且與雙曲線，只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有（ ） A. 1 條 B. 2 條 C. 3 條 D. 4 條 4. 過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn) F1且垂直于實(shí)軸的弦 PQ，而 F2為另一個(gè)焦點(diǎn)，若，則（ ） A. B. C. D. 5. 雙曲線的兩條準(zhǔn)線，把連結(jié)兩個(gè)焦點(diǎn)的線段分成，則雙曲線的離心率為（ ） 。 A. B. C. 2 D. 3 6. 連接雙曲線和的四個(gè)頂點(diǎn)的四邊形面積為 S1，連接四個(gè)焦點(diǎn)的四邊形面積為 S2，則 的最大值為（ ） A. 2 B. 4 C. D. 7. 求證：等軸雙曲線上任一點(diǎn)到中心的距離是它到兩焦點(diǎn)的距離的等比中項(xiàng)。 8. 過雙曲線上任一點(diǎn) P 作雙曲線的兩漸近線的平行線，試證它們和兩條漸近線所圍成的 平行四邊形的面積為定值。 【試題答案】 1. C 2. D 3. D 4. B 5. A 6. C 7. 證： ||||| 1121 aexPF????? 22yaxe? ∴ 8. 設(shè)（不妨設(shè) P 在右支） 過 P 作直線 交于 Q??????xaby)(00 ∴ |)(2|1| 0yxabO??201||),(abyxlpd?? ∴ bayxdOQS2||| 02??