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2020-2021學(xué)年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)專題4-1 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)

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2020-2021學(xué)年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)專題4-1 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)_第1頁(yè)
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《2020-2021學(xué)年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)專題4-1 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2020-2021學(xué)年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)專題4-1 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)(6頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、專題4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 【考情分析】 1.了解任意角的概念;了解弧度制的概念. 2.能進(jìn)行弧度與角度的互化. 3.理解任意角的三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義. 【重點(diǎn)知識(shí)梳理】 知識(shí)點(diǎn)一 角的概念 1.角的定義 角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形. 2.角的分類 角的分類 3.終邊相同的角 所有與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi),可構(gòu)成一個(gè)集合:S={β|β=α+k360,k∈Z}或{β|β=α+2kπ,k∈Z}. 知識(shí)點(diǎn)二 弧度制及應(yīng)用 1.弧度制的定義 把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓

2、心角叫做1弧度的角,弧度記作rad. 2.弧度制下的有關(guān)公式 角α的弧度數(shù)公式 |α|=(弧長(zhǎng)用l表示) 角度與弧度的換算 ①1= rad;②1 rad= 弧長(zhǎng)公式 弧長(zhǎng)l=|α|r 扇形面積公式 S=lr=|α|r2 知識(shí)點(diǎn)三 任意角的三角函數(shù) 三角函數(shù) 正弦 余弦 正切 定義 設(shè)α是一個(gè)任意角,它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y),那么 叫做α的正弦,記作sin α 叫做α的余弦,記作cos α 叫做α的正切,記作tan α 各象限符號(hào) Ⅰ + + + Ⅱ + - - Ⅲ - - + Ⅳ - + - 三角函數(shù)線

3、 有向線段MP為正弦線 有向線段OM為余弦線 有向線段AT為正切線 【典型題分析】 高頻考點(diǎn)一 象限角的判斷 【例1】(2020新課標(biāo)Ⅱ)若α為第四象限角,則( ) A. cos2α>0 B. cos2α<0 C. sin2α>0 D. sin2α<0 【答案】D 【解析】當(dāng)時(shí),,選項(xiàng)B錯(cuò)誤;當(dāng)時(shí),,選項(xiàng)A錯(cuò)誤;由α在第四象限可得:,則,選項(xiàng)C錯(cuò)誤,選項(xiàng)D正確; 【方法技巧】象限角的兩種判斷方法 ①圖象法:在平面直角坐標(biāo)系中,作出已知角并根據(jù)象限角的定義直接判斷已知角是第幾象限角; ②轉(zhuǎn)化法:先將已知角化為k360+α(0≤α<360,k∈Z)的形式,

4、即找出與已知角終邊相同的角α,再由角α終邊所在的象限判斷已知角是第幾象限角. 【變式探究】(2020吉林省遼源市實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬)設(shè)θ是第三象限角,且=-cos ,則是(  ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 【答案】B  【解析】∵θ是第三象限角, ∴π+2kπ<θ<+2kπ,k∈Z, ∴+kπ<<+kπ,k∈Z, ∴的終邊落在第二、四象限, 又=-cos ,∴cos <0, ∴是第二象限角. 高頻考點(diǎn)二 扇形的弧長(zhǎng)及面積公式的應(yīng)用 【例2】(2020北京101中學(xué)模擬)已知一扇形的圓心角為α,半徑為R,弧長(zhǎng)為l. (1)若α=6

5、0,R=10 cm,求扇形的弧長(zhǎng)l; (2)已知扇形的周長(zhǎng)為10 cm,面積是4 cm2,求扇形的圓心角; (3)若扇形周長(zhǎng)為20 cm,當(dāng)扇形的圓心角α為多少弧度時(shí),這個(gè)扇形的面積最大? 【解析】(1)α=60=rad, 所以l=αR=10=(cm). (2)由題意得?(舍去)或 故扇形圓心角為rad. (3)由已知得l+2R=20, 所以S=lR=(20-2R)R=10R-R2=-(R-5)2+25, 所以當(dāng)R=5 cm時(shí),S取得最大值25 cm2, 此時(shí)l=10 cm,α=2 rad. 【方法技巧】 (1)利用扇形的弧長(zhǎng)和面積公式解題時(shí),要注意角的單位必須是弧度.

6、 (2)求扇形面積的最大值時(shí),常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題,利用配方法使問題得到解決. (3)在解決弧長(zhǎng)問題和扇形面積問題時(shí),要合理地利用圓心角所在的三角形. 【變式探究】(2020 湖南衡陽八中模擬)已知扇形弧長(zhǎng)為20 cm,圓心角為100,則該扇形的面積 為 cm2. 【答案】  【解析】由弧長(zhǎng)公式l=|α|r, 得r==, 所以S扇形=lr=20=. 高頻考點(diǎn)三 三角函數(shù)的概念 【例3】(2018浙江卷)已知角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合,始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,它的終邊過點(diǎn)P. (1)求sin(α+π)的值; (2)若角β滿足sin(α+β)=,求co

7、s β的值。 【解析】(1)由角α的終邊過點(diǎn)P, 得sin α=-. 所以sin(α+π)=-sin α=. (2)由角α的終邊過點(diǎn)P, 得cos α=-. 由sin(α+β)=,得cos(α+β)=. 由β=(α+β)-α, 得cos β=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α, 所以cos β=-或cos β=. 【方法技巧】三角函數(shù)定義解題的技巧 (1)已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo),可求角α的三角函數(shù)值.先求點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離,再用三角函數(shù)的定義求解. (2)已知角α的某三角函數(shù)值,可求角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)中的參數(shù)值,根據(jù)定義中的兩個(gè)量列方程求參數(shù)

8、值. (3)已知角α的終邊所在的直線方程或角α的大小,根據(jù)三角函數(shù)的定義可求角α終邊上某特定點(diǎn)的坐標(biāo). (4)已知一角的三角函數(shù)值(sin α,cos α,tan α)中任意兩個(gè)的符號(hào),可分別確定出角終邊所在的可能位置,二者的交集即為該角的終邊位置.注意終邊在坐標(biāo)軸上的特殊情況. 【變式探究】(2017北京卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,角α與角β均以O(shè)x為始邊,它們的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱.若sin α=,則sin β=__________。 【解析】 (1)方法一 當(dāng)角α的終邊在第一象限時(shí),取角α終邊上一點(diǎn)P1(2,1),其關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)(-2,1)在角β的終邊上,此時(shí)sin β=;當(dāng)角

9、α的終邊在第二象限時(shí),取角α終邊上一點(diǎn)P2(-2,1),其關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)(2,1)在角β的終邊上,此時(shí)sin β=.綜合可得sin β=. 方法二 令角α與角β均在區(qū)間(0,π)內(nèi),故角α與角β互補(bǔ),得sin β=sin α=. 【答案】  高頻考點(diǎn)四 三角函數(shù)線的應(yīng)用 【例4】(2018北京卷)在平面坐標(biāo)系中,,,,是圓x2+y2=1上的四段弧(如圖),點(diǎn)P在其中一段上,角α以O(shè)x為始邊,OP為終邊,若tan α<cos α<sin α,則P所在的圓弧是(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】當(dāng)點(diǎn)P在或上時(shí),由三角函數(shù)線易知,sin α<ta

10、n α,不符合題意;當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí),tan α>0,sin α<0,不符合題意;進(jìn)一步可驗(yàn)證,只有點(diǎn)P在上時(shí)才滿足條件。 【方法技巧】利用三角函數(shù)線求解三角不等式的方法 對(duì)于較為簡(jiǎn)單的三角不等式,在單位圓中,利用三角函數(shù)線先作出使其相等的角(稱為臨界狀態(tài),注意實(shí)線與虛線),再通過大小找到其所滿足的角的區(qū)域,由此寫出不等式的解集.   【變式探究】(2020江蘇省啟東中學(xué)模擬)若-<α<-,從單位圓中的三角函數(shù)線觀察sin α,cos α,tan α的大小是(  ) A.sin α<tan α<cos α B.cos α<sin α<tan α C.sin α<cos α<tan α D.tan α<sin α<cos α 【答案】C  【解析】如圖,作出角α的正弦線MP, 余弦線OM,正切線AT, 觀察可知sin α<cos α<tan α.]

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