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2020-2021學(xué)年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識點(diǎn)專題6-5 數(shù)列的綜合應(yīng)用

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1、專題6.5 數(shù)列的綜合應(yīng)用 【考情分析】 1.理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念,掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前 n 項(xiàng)和公式及其應(yīng)用。 2.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系。 3.會用數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系解決實(shí)際問題。 【重點(diǎn)知識梳理】 知識點(diǎn)一 等差數(shù)列和等比數(shù)列比較 等差數(shù)列 等比數(shù)列 定義 =常數(shù) =常數(shù) 通項(xiàng)公式 判定方法 (1)定義法; (2)中項(xiàng)公式法:?為等差數(shù)列; (3)通項(xiàng)公式法:(為常數(shù),)? 為等差數(shù)列; (4)前n項(xiàng)和公式法:(為常數(shù), )? 為等差數(shù)列; (5) 為等比數(shù)列,且,那么數(shù)列 (,

2、且)為等差數(shù)列 (1)定義法 (2)中項(xiàng)公式法: ()? 為等比數(shù)列 (3)通項(xiàng)公式法: (均是不為0的常數(shù),)?為等比數(shù)列 (4) 為等差數(shù)列?(總有意義)為等比數(shù)列 性質(zhì) (1)若,,,,且,則 (2) (3) ,…仍成等差數(shù)列 (1)若,,,,且,則 (2) (3)等比數(shù)列依次每項(xiàng)和(),即 ,…仍成等比數(shù)列 前n項(xiàng)和 時,;當(dāng)時,或. 知識點(diǎn)二 數(shù)列求和 1. 等差數(shù)列的前n和的求和公式:. 2.等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式 一般地,設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和是,當(dāng)時,或;當(dāng)時,(錯位相減法). 3. 數(shù)列前n項(xiàng)和 ①重要公式:(1) (

3、2) (3) (4) ②等差數(shù)列中,; ③等比數(shù)列中,. 【典型題分析】 高頻考點(diǎn)一 數(shù)列在數(shù)學(xué)文化與實(shí)際問題中的應(yīng)用 【例1】(2020重慶八中模擬)某地區(qū)2018年人口總數(shù)為45萬.實(shí)施“二孩”政策后,專家估計(jì)人口總數(shù)將發(fā)生如下變化:從2019年開始到2028年,每年人口總數(shù)比上一年增加0.5萬人,從2029年開始到2038年,每年人口總數(shù)為上一年的99%. (1)求實(shí)施“二孩”政策后第n年的人口總數(shù)an(單位:萬人)的表達(dá)式(注:2019年為第一年); (2)若“二孩”政策實(shí)施后的2019年到2038年人口平均值超過49萬,則需調(diào)整政策,否則繼續(xù)實(shí)施,問到

4、2038年結(jié)束后是否需要調(diào)整政策?(參考數(shù)據(jù):0.9910≈0.9) 【解析】(1)由題意知,當(dāng)1≤n≤10時,數(shù)列{an}是首項(xiàng)為45.5,公差為0.5的等差數(shù)列,可得an=45.5+0.5(n-1)=0.5n+45,則a10=50; 當(dāng)11≤n≤20時,數(shù)列{an}是公比為0.99的等比數(shù)列,則an=500.99n-10. 故實(shí)施“二孩”政策后第n年的人口總數(shù)an(單位:萬人)的表達(dá)式為 an= (2)設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.從2019年到2038年共20年,由等差數(shù)列及等比數(shù)列的求和公式得S20=S10+(a11+a12+…+a20)=477.5+4 950(1-0.9

5、910)≈972.5. 所以“二孩”政策實(shí)施后的2019年到2038年人口平均值為≈48.63,則<49, 故到2038年結(jié)束后不需要調(diào)整政策. 【方法技巧】數(shù)列實(shí)際應(yīng)用中的常見模型 (1)等差模型:如果增加(或減少)的量是一個固定的數(shù),則該模型是等差模型,這個固定的數(shù)就是公差. (2)等比模型:如果后一個量與前一個量的比是一個固定的數(shù),則該模型是等比模型,這個固定的數(shù)就是公比. (3)遞推數(shù)列模型:如果題目中給出的前后兩項(xiàng)之間的關(guān)系不固定,隨項(xiàng)的變化而變化,則應(yīng)考慮考查的是第n項(xiàng)an與第n+1項(xiàng)an+1的遞推關(guān)系還是前n項(xiàng)和Sn與前n+1項(xiàng)和Sn+1之間的遞推關(guān)系. 【變式探究

6、】(2020安徽省銅陵中學(xué)模擬)我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有如下問題:“今有蒲生一日,長三尺.莞生一日,長一尺.蒲生日自半,莞生日自倍.問幾何日而長等?”意思是:“今有蒲草第一天長高3尺,莞草第一天長高1尺.以后,蒲草每天長高前一天的一半,莞草每天長高前一天的2倍.問第幾天蒲草和莞草的高度相同?”根據(jù)上述的已知條件,可求得第________天時,蒲草和莞草的高度相同(結(jié)果采取“只入不舍”的原則取整數(shù),相關(guān)數(shù)據(jù):lg 3≈0.477 1,lg 2≈0.301 0). 【答案】3 【解析】由題意得,蒲草的高度組成首項(xiàng)為a1=3,公比為的等比數(shù)列{an},設(shè)其前n項(xiàng)和為An;莞草的高度組成首

7、項(xiàng)為b1=1,公比為2的等比數(shù)列{bn},設(shè)其前n項(xiàng)和為Bn.則An=,Bn=,令=,化簡得2n+=7(n∈N*),解得2n=6,所以n==1+≈3,即第3天時蒲草和莞草高度相同。 高頻考點(diǎn)二 等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題 【例2】(2018高考北京卷)設(shè){an}是等差數(shù)列,且a1=ln 2,a2+a3=5ln 2. (1)求{an}的通項(xiàng)公式; (2)求ea1+ea2+…+ean. 【解析】 (1)設(shè){an}的公差為d. 因?yàn)閍2+a3=5ln 2, 所以2a1+3d=5ln 2. 又a1=ln 2,所以d=ln 2. 所以an=a1+(n-1)d=nln 2. (2)因

8、為ea1=eln 2=2,=ean-an-1=eln 2=2, 所以{ean}是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列. 所以ea1+e a2+…+ean=2=2(2n-1)=2n+1-2. 【方法技巧】等差數(shù)列、等比數(shù)列綜合問題的解題策略 (1)分析已知條件和求解目標(biāo),為最終解決問題設(shè)置中間問題,例如求和需要先求出通項(xiàng)、求通項(xiàng)需要先求出首項(xiàng)和公差(公比)等,確定解題的順序. (2)注意細(xì)節(jié):在等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合問題中,如果等比數(shù)列的公比不能確定,則要看其是否有等于1的可能,在數(shù)列的通項(xiàng)問題中第一項(xiàng)和后面的項(xiàng)能否用同一個公式表示等,這些細(xì)節(jié)對解題的影響也是巨大的. 【變式探究】(2020

9、江西省瑞昌市第二中學(xué)模擬)設(shè)公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a2,a5,a11成等比數(shù)列,且a11=2(Sm-Sn)(m>n>0,m,n∈N*),則m+n的值是 . 【解析】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0), 因?yàn)閍2,a5,a11成等比數(shù)列, 所以a=a2a11, 所以(a1+4d)2=(a1+d)(a1+10d), 解得a1=2d, 又a11=2(Sm-Sn)(m>n>0,m,n∈N*), 所以2ma1+m(m-1)d-2na1-n(n-1)d=a1+10d, 化簡得(m+n+3)(m-n)=12, 因?yàn)閙>n>0,m,n∈N*,

10、 所以或 解得或(舍去),所以m+n=9. 高頻考點(diǎn)三 數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題 【例3】(2020湖北黃岡中學(xué)模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=+,正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足a1=1,an=f,n∈N*,且n≥2. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)對n∈N*,求證:+++…+<2. 【解析】(1)由an=f, 所以an=+an-1,n∈N*,且n≥2, 所以數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng),以為公差的等差數(shù)列, 所以an=a1+(n-1)d=1+(n-1)=. (2)證明:由(1)可知 ==4, Sn=+++…+ =4[++…+(-)] =4 =2-<2,得證. 【方

11、法技巧】數(shù)列與其他知識交匯問題的常見類型及解題策略 (1)數(shù)列與函數(shù)的交匯問題 ①已知函數(shù)條件,解決數(shù)列問題,此類問題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問題; ②已知數(shù)列條件,解決函數(shù)問題,解題時要注意數(shù)列與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系,掌握遞推數(shù)列的常見解法. (2)數(shù)列與不等式的交匯問題 ①函數(shù)方法:即構(gòu)造函數(shù),通過函數(shù)的單調(diào)性、極值等得出關(guān)于正實(shí)數(shù)的不等式,通過對關(guān)于正實(shí)數(shù)的不等式特殊賦值得出數(shù)列中的不等式; ②放縮方法:數(shù)列中不等式可以通過對中間過程或者最后的結(jié)果放縮得到; ③比較方法:作差或者作商比較. 【變式探究】 (2020湖南岳陽一模)曲線y=x+ln x(n∈N*)在x=處的

12、切線斜率為an,則數(shù)列的前n項(xiàng)的和為 . 【解析】對y=x+ln x(n∈N*)求導(dǎo),可得y′=+,由曲線y=x+ln x(n∈N*)在x=處的切線斜率為an,可得an=+=n.所以==-,則數(shù)列的前n項(xiàng)的和為1-+-+…+-=. 【答案】 【舉一反三】(2020浙江杭州模擬)已知數(shù)列{an},{bn}滿足a1=1,且an,an+1是函數(shù)f(x)=x2-bnx+2n的兩個零點(diǎn),則a5= ,b10= . 【解析】因?yàn)閍n,an+1是函數(shù)f(x)=x2-bnx+2n的兩個零點(diǎn),所以an,an+1是方程x2-bnx+2n=0的兩個根,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系,可得anan+1=2n,an+an+1=bn,由anan+1=2n,可得an+1an+2=2n+1, 兩式相除可得=2, 所以a1,a3,a5,…成公比為2的等比數(shù)列,a2,a4,a6,…成公比為2的等比數(shù)列,又由a1=1,得a2=2,所以a5=122=4,a10=224=32,a11=125=32,所以b10=a10+a11=32+32=64. 【答案】4 64

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