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2019年高考數(shù)學一輪復習 第二十一章 概率統(tǒng)計 21.2 相互獨立事件、n次獨立重復試驗的模型及二項分布講義 考點一　相互獨立事件 1.(xx課標Ⅰ改編,4,5分)投籃測試中,每人投3次,至少投中2次才能通過測試.已知某同學每次投籃投中的概率為0.6,且各次投籃是否投中相互獨立,則該同學通過測試的概率為　　　　. 答案　0.648 2.(xx湖南,18,12分)某商場舉行有獎促銷活動,顧客購買一定金額的商品后即可抽獎.每次抽獎都是從裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱中,各隨機摸出1個球.在摸出的2個球中,若都是紅球,則獲一等獎;若只有1個紅球,則獲二等獎;若沒有紅球,則不獲獎. (1)求顧客抽獎1次能獲獎的概率; (2)若某顧客有3次抽獎機會,記該顧客在3次抽獎中獲一等獎的次數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學期望. 解析　(1)記事件A1={從甲箱中摸出的1個球是紅球}, A2={從乙箱中摸出的1個球是紅球}, B1={顧客抽獎1次獲一等獎}, B2={顧客抽獎1次獲二等獎}, C={顧客抽獎1次能獲獎}. 由題意,得A1與A2相互獨立,A1與A2互斥,B1與B2互斥,且B1=A1A2,B2=A1+A2,C=B1+B2. 因為P(A1)==,P(A2)==, 所以P(B1)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)==, P(B2)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2) =P(A1)P()+P()P(A2) =P(A1)[1-P(A2)]+[1-P(A1)]P(A2) =+=. 故所求概率為P(C)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)=+=. (2)顧客抽獎3次可視為3次獨立重復試驗,由(1)知,顧客抽獎1次獲一等獎的概率為,所以X~B. 于是P(X=0)==, P(X=1)==, P(X=2)==, P(X=3)==. 故X的分布列為 X 0 1 2 3 P X的數(shù)學期望為E(X)=3=. 3.(xx山東,18,12分)乒乓球臺面被球網(wǎng)分隔成甲、乙兩部分,如圖,甲上有兩個不相交的區(qū)域A,B,乙被劃分為兩個不相交的區(qū)域C,D,某次測試要求隊員接到落點在甲上的來球后向乙回球.規(guī)定:回球一次,落點在C上記3分,在D上記1分,其他情況記0分.對落點在A上的來球,隊員小明回球的落點在C上的概率為,在D上的概率為;對落點在B上的來球,小明回球的落點在C上的概率為,在D上的概率為.假設共有兩次來球且落在A,B上各一次,小明的兩次回球互不影響.求: (1)小明兩次回球的落點中恰有一次的落點在乙上的概率; (2)兩次回球結束后,小明得分之和ξ的分布列與數(shù)學期望. 解析　(1)記Ai為事件“小明對落點在A上的來球回球的得分為i分”(i=0,1,3), 則P(A3)=,P(A1)=,P(A0)=1--=; 記Bi為事件“小明對落點在B上的來球回球的得分為i分”(i=0,1,3), 則P(B3)=,P(B1)=,P(B0)=1--=. 記D為事件“小明兩次回球的落點中恰有1次的落點在乙上”. 由題意得,D=A3B0+A1B0+A0B1+A0B3, 由事件的獨立性和互斥性,得 P(D)=P(A3B0+A1B0+A0B1+A0B3) =P(A3B0)+P(A1B0)+P(A0B1)+P(A0B3) =P(A3)P(B0)+P(A1)P(B0)+P(A0)P(B1)+P(A0)P(B3) =+++=, 所以小明兩次回球的落點中恰有1次的落點在乙上的概率為. (2)隨機變量ξ可能的取值為0,1,2,3,4,6, 由事件的獨立性和互斥性,得 P(ξ=0)=P(A0B0)==, P(ξ=1)=P(A1B0+A0B1)=P(A1B0)+P(A0B1)=+=, P(ξ=2)=P(A1B1)==, P(ξ=3)=P(A3B0+A0B3)=P(A3B0)+P(A0B3)=+=, P(ξ=4)=P(A3B1+A1B3)=P(A3B1)+P(A1B3)=+=, P(ξ=6)=P(A3B3)==. 可得隨機變量ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 4 6 P 所以數(shù)學期望Eξ=0+1+2+3+4+6=. 4.(xx大綱全國,20,12分)設每個工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某種設備的概率分別為0.6、0.5、0.5、0.4,各人是否需使用設備相互獨立. (1)求同一工作日至少3人需使用設備的概率; (2)X表示同一工作日需使用設備的人數(shù),求X的數(shù)學期望. 解析　記Ai表示事件:同一工作日乙、丙中恰有i人需使用設備,i=0,1,2, B表示事件:甲需使用設備, C表示事件:丁需使用設備, D表示事件:同一工作日至少3人需使用設備. (1)D=A1BC+A2B+A2C, P(B)=0.6,P(C)=0.4,P(Ai)=0.52,i=0,1,2,(3分) 所以P(D)=P(A1BC+A2B+A2C) =P(A1BC)+P(A2B)+P(A2C) =P(A1)P(B)P(C)+P(A2)P(B)+P(A2)P()P(C) =0.31.(6分) (2)X的可能取值為0,1,2,3,4,則 P(X=0)=P(A0) =P()P(A0)P() =(1-0.6)0.52(1-0.4) =0.06, P(X=1)=P(BA0+A0C+A1) =P(B)P(A0)P()+P()P(A0)P(C)+P()P(A1)P() =0.60.52(1-0.4)+(1-0.6)0.520.4+(1-0.6)20.52(1-0.4)=0.25, P(X=4)=P(A2BC)=P(A2)P(B)P(C)=0.520.60.4=0.06, P(X=3)=P(D)-P(X=4)=0.25, P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)-P(X=4) =1-0.06-0.25-0.25-0.06=0.38,(10分) 數(shù)學期望EX=0P(X=0)+1P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)+4P(X=4)=0.25+20.38+30.25+40.06=2.(12分) 教師用書專用(5) 5.(xx陜西理,19,12分)在一場娛樂晚會上,有5位民間歌手(1至5號)登臺演唱,由現(xiàn)場數(shù)百名觀眾投票選出最受歡迎歌手.各位觀眾須彼此獨立地在選票上選3名歌手,其中觀眾甲是1號歌手的歌迷,他必選1號,不選2號,另在3至5號中隨機選2名.觀眾乙和丙對5位歌手的演唱沒有偏愛,因此在1至5號中隨機選3名歌手. (1)求觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率; (2)X表示3號歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數(shù)之和,求X的分布列及數(shù)學期望. 解析　(1)設A表示事件“觀眾甲選中3號歌手”,B表示事件“觀眾乙選中3號歌手”, 則P(A)==,P(B)==. ∵事件A與B相互獨立, ∴觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率為 P(A)=P(A)P() =P(A)[1-P(B)] ==. (2)設C表示事件“觀眾丙選中3號歌手”, 則P(C)==, ∵X可能的取值為0,1,2,3,且取這些值的概率分別為 P(X=0)=P(　)==, P(X=1)=P(A )+P(B)+P(C) =++=, P(X=2)=P(AB)+P(AC)+P(BC) =++=, P(X=3)=P(ABC)==, ∴X的分布列為 X 0 1 2 3 P ∴X的數(shù)學期望EX=0+1+2+3==. 考點二　n次獨立重復試驗的模型及二項分布 1.(xx四川理,12,5分)同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣,當至少有一枚硬幣正面向上時,就說這次試驗成功,則在2次試驗中成功次數(shù)X的均值是　　　　. 答案　 2.(xx廣東,13,5分)已知隨機變量X服從二項分布B(n,p).若E(X)=30,D(X)=20,則p=　　　　. 答案　 3.(xx陜西,19,12分)在一塊耕地上種植一種作物,每季種植成本為1 000元,此作物的市場價格和這塊地上的產(chǎn)量均具有隨機性,且互不影響,其具體情況如下表: 作物產(chǎn)量(kg) 300 500 概　率 0.5 0.5 　 作物市場價格(元/kg) 6 10 概　率 0.4 0.6 (1)設X表示在這塊地上種植1季此作物的利潤,求X的分布列; (2)若在這塊地上連續(xù)3季種植此作物,求這3季中至少有2季的利潤不少于2 000元的概率. 解析　(1)設A表示事件“作物產(chǎn)量為300 kg”,B表示事件“作物市場價格為6元/kg”,由題設知P(A)=0.5,P(B)=0.4, ∵利潤=產(chǎn)量市場價格-成本, ∴X所有可能的取值為 50010-1 000=4 000,5006-1 000=2 000, 30010-1 000=2 000,3006-1 000=800. P(X=4 000)=P()P()=(1-0.5)(1-0.4)=0.3, P(X=2 000)=P()P(B)+P(A)P()=(1-0.5)0.4+0.5(1-0.4)=0.5, P(X=800)=P(A)P(B)=0.50.4=0.2, 所以X的分布列為 X 4 000 2 000 800 P 0.3 0.5 0.2 (2)設Ci表示事件“第i季利潤不少于2 000元”(i=1,2,3), 由題意知C1,C2,C3相互獨立,由(1)知, P(Ci)=P(X=4 000)+P(X=2 000)=0.3+0.5=0.8(i=1,2,3), 3季的利潤均不少于2 000元的概率為 P(C1C2C3)=P(C1)P(C2)P(C3)=0.83=0.512; 3季中有2季利潤不少于2 000元的概率為 P(C2C3)+P(C1C3)+P(C1C2)=30.820.2=0.384, 所以,這3季中至少有2季的利潤不少于2 000元的概率為 0.512+0.384=0.896. 教師用書專用(4) 4.(xx四川,17,12分)一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下:每盤游戲都需擊鼓三次,每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂,要么不出現(xiàn)音樂;每盤游戲擊鼓三次后,出現(xiàn)一次音樂獲得10分,出現(xiàn)兩次音樂獲得20分,出現(xiàn)三次音樂獲得100分,沒有出現(xiàn)音樂則扣除200分(即獲得-200分).設每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為,且各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨立. (1)設每盤游戲獲得的分數(shù)為X,求X的分布列; (2)玩三盤游戲,至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是多少? (3)玩過這款游戲的許多人都發(fā)現(xiàn),若干盤游戲后,與最初的分數(shù)相比,分數(shù)沒有增加反而減少了.請運用概率統(tǒng)計的相關知識分析分數(shù)減少的原因. 解析　(1)X可能的取值為10,20,100,-200. 根據(jù)題意,有P(X=10)==, P(X=20)==, P(X=100)==, P(X=-200)==. 所以X的分布列為 X 10 20 100 -200 P (2)設“第i盤游戲沒有出現(xiàn)音樂”為事件Ai(i=1,2,3), 則P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)=. 所以,“三盤游戲中至少有一次出現(xiàn)音樂”的概率為 1-P(A1A2A3)=1-=1-=. 因此,玩三盤游戲至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是. (3)X的數(shù)學期望為EX=10+20+100-200=-. 這表明,獲得的分數(shù)X的均值為負. 因此,多次游戲之后分數(shù)減少的可能性更大. 三年模擬 A組　xx模擬基礎題組 考點一　相互獨立事件 1.(xx江蘇徐州銅山中學期中)某同學在上學路上要經(jīng)過A,B,C三個有紅綠燈的路口,已知他在A,B,C三個路口遇到紅燈的概率依次是,,,遇到紅燈時停留的時間依次是40秒,20秒,80秒,且在各個路口遇到紅燈是相互獨立的. (1)求這名同學在第三個路口C首次遇到紅燈的概率; (2)記這名同學因遇到紅燈停留的總時間為X秒,求X的概率分布與期望E(X). 解析　(1)設這名同學在第三個路口C首次遇到紅燈為事件M, 因為事件M等于事件“這名同學在第一個路口A和第二個路口B都沒有遇到紅燈,在第三個路口C遇到紅燈”,所以P(M)==. 答:這名同學在第三個路口C首次遇到紅燈的概率為. (2)X的所有可能取值為0,20,40,60,80,100,120,140(單位:秒). P(X=0)==; P(X=20)==; P(X=40)==; P(X=60)==; P(X=80)==; P(X=100)==; P(X=120)==; P(X=140)==. 所以X的分布列為 X 0 20 40 60 80 100 120 140 P 所以E(X)=0+20+40+60+80+100+120+140=秒. 2.(蘇教選2—3,二,2,3,變式)學生語、數(shù)、英三科考試成績在一次考試中排名全班第一的概率分別為0.9,0.8,0.85,求一次考試中, (1)三科成績均未獲得第一名的概率; (2)恰有一科成績未獲得第一名的概率. 解析　分別記該學生語、數(shù)、英考試成績排名全班第一的事件為A,B,C,則A、B、C兩兩相互獨立且P(A)=0.9,P(B)=0.8,P(C)=0.85. (1)“三科成績均未獲得第一名”可以用 表示. P( )=P()P()P() =[1-P(A)][1-P(B)][1-P(C)] =(1-0.9)(1-0.8)(1-0.85) =0.003. 即三科成績均未獲得第一名的概率是0.003. (2)“恰有一科成績未獲得第一名”可以用BC+AC+AB表示. 由于事件BC,AC和AB兩兩互斥, 根據(jù)概率加法公式和相互獨立事件的概率乘法公式,可知所求的概率P(BC)+P(AC)+P(AB) =P()P(B)P(C)+P(A)P()P(C)+P(A)P(B)P() =[1-P(A)]P(B)P(C)+P(A)[1-P(B)]P(C)+P(A)P(B)[1-P(C)] =(1-0.9)0.80.85+0.9(1-0.8)0.85+0.90.8(1-0.85)=0.329. 即恰有一科成績未獲得第一名的概率是0.329. 考點二　n次獨立重復試驗的模型及二項分布 3.(蘇教選2—3,二,5,變式)袋子A和B中裝有若干個均勻的紅球和白球,從A中摸出一個紅球的概率為,從B中摸出一個紅球的概率為p. (1)從A中有放回地摸球,每次摸出一個,共摸5次. 求:①恰好有3次摸到紅球的概率; ②僅在第一次,第三次,第五次摸到紅球的概率; (2)若A,B兩袋中球數(shù)之比為1∶2,將A,B中的球裝在一起后,從中摸出一個紅球的概率是,求p的值. 解析　(1)①所求概率P1==10=. ②所求概率P2==. (2)設袋子A中有m個球,則袋子B中有2m個球, 由題意知,=,得p=. B組　xx模擬提升題組 (滿分:30分　時間:15分鐘) 解答題(共30分) 1.(xx南京、鹽城高三第一次模擬)某年級星期一至星期五每天下午排3節(jié)課,每天下午隨機選擇1節(jié)作為綜合實踐課(上午不排該課程),張老師與王老師分別任教甲、乙兩個班的綜合實踐課程. (1)求這兩個班“在星期一不同時上綜合實踐課”的概率; (2)設這兩個班“在一周中同時上綜合實踐課的節(jié)數(shù)”為X,求X的分布列與數(shù)學期望E(X). 解析　(1)這兩個班“在星期一不同時上綜合實踐課”的概率P=1-=. (2)X的可能取值為0,1,2,3,4,5,由題意得X~B,P(X=k)=,k=0,1,2,3,4,5. 則P(X=0)==, P(X=1)==, P(X=2)==, P(X=3)==, P(X=4)==, P(X=5)==, 所以X的分布列為 X 0 1 2 3 4 5 P 所以X的數(shù)學期望E(X)=0+1+2+3+4+5=.或E(X)=5= 2.(xx江蘇如皋高三上學期教學質(zhì)量調(diào)研(三),23)已知兩個城市之間由7條網(wǎng)線并聯(lián),這7條網(wǎng)線能夠通過的信息量分別為1,2,2,2,3,3,3,現(xiàn)從中任選三條網(wǎng)線,設能夠通過的信息總量為X,若能夠通過的信息總量不小于8,則可以保持線路通暢. (1)求線路通暢的概率; (2)求線路通過信息量的概率分布及數(shù)學期望. 解析　(1)記“線路通暢”為事件A,則事件A包含X=8和X=9兩個事件,且它們互斥, P(X=8)==,P(X=9)==, 所以P(A)=P(X=8)+P(X=9)=+=. (2)X的所有可能取值為5,6,7,8,9, 則P(X=5)==, P(X=6)===, P(X=7)==, P(X=8)==, P(X=9)==. 所以X的分布列為 X 5 6 7 8 9 P 故E(X)=5+6+7+8+9=. C組　xx模擬方法題組 方法　獨立重復試驗及二項分布 　一名學生騎自行車去上學,從他家到學校的途中有6個路口,假設在各個路口遇到紅燈的事件是相互獨立的,并且概率都是. (1)設X為這名學生在途中遇到紅燈的次數(shù),求X的分布列; (2)設Y為這名學生在首次停車前經(jīng)過的路口數(shù),求Y的分布列; (3)求這名學生在途中至少遇到一次紅燈的概率. 解析　(1)依據(jù)已知條件,可知X~B. ∴P(X=k)==,k=0,1,2,…,6. ∴X的分布列為 X 0 1 2 3 4 5 6 P (2)由題意知,Y的所有可能取值為0,1,2,3,…,6.Y=k(k=0,1,2,…,5)表示前k個路口沒有遇上紅燈,但在第(k+1)個路口遇上紅燈,則P(Y=k)=,Y=6表示路上沒有遇上紅燈,其概率P(Y=6)=. ∴Y的分布列為 Y 0 1 2 3 4 5 6 P (3)由題意可知,“至少遇到一次紅燈”的對立事件是“一次紅燈都沒有遇到”,因此有 P(X≥1)=1-P(X=0)=1-=. 所以這名學生在途中至少遇到一次紅燈的概率為.