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2019-2020年高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)資料《數(shù)列》 一、數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí) 1．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)的和Sn的關(guān)系 它包括兩個(gè)方面的問題：一是已知Sn求an，二是已知an求Sn； 2．遞推數(shù)列，解決這類問題時(shí)一般都要與兩類特殊數(shù)列相聯(lián)系，設(shè)法轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列與等比數(shù)列的有關(guān)問題，然后解決。 常見類型： 類型Ⅰ：（一階遞歸） 其特例為：（1） （2） （3） 解題方法：利用待定系數(shù)法構(gòu)造類似于“等比數(shù)列”的新數(shù)列。 類型Ⅱ：（二階遞歸） 解題方法:利用特征方程x2=px+q,求其根α、β,構(gòu)造an=Aαn+Bβn，代入初始值求得。 類型Ⅲ：an+1=f(an)其中函數(shù)f(x)為基本初等函數(shù)復(fù)合而成。 解題方法：一般情況下，通過構(gòu)造新數(shù)列可轉(zhuǎn)化為前兩種類型。 二、等差數(shù)列與等比數(shù)列 1．定義： 2．通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式： 函數(shù)的思想：等差數(shù)列可以看作是一個(gè)一次函數(shù)型的函數(shù)；等比數(shù)列可以看作是一個(gè)指數(shù)函數(shù)型的函數(shù)?？梢岳煤瘮?shù)的思想、觀點(diǎn)和方法分析解決有關(guān)數(shù)列的問題。 三．等差數(shù)列與等比數(shù)列數(shù)列問題的綜合性和靈活性如何表現(xiàn)？ 數(shù)列問題的綜合性主要表現(xiàn)在 1．?dāng)?shù)列中各相關(guān)量的關(guān)系較為復(fù)雜、隱蔽． 2．同一問題中出現(xiàn)有若干個(gè)相關(guān)數(shù)列，既有等差或等比數(shù)列，也有非等差，非等比的數(shù)列，需相互聯(lián)系，相互轉(zhuǎn)換． 數(shù)列問題的靈活性表現(xiàn)在： 1．需靈活應(yīng)用遞推公式，通項(xiàng)公式，求和公式，尋求已知與所求的關(guān)系，減少中間量計(jì)算． 2．需靈活選用輔助數(shù)列，處理相關(guān)數(shù)列的關(guān)系． 例題講解 1．已知(b－c)logm x+(c－a)logm y+(a－b)logm z＝0 ① (1) 若a、b、c依次成等差數(shù)列，且公差不為0，求證x、y、z成等比數(shù)列； (2) 若x、y、z依次成等比數(shù)列，且公比不為1，求證a、b、c成等差數(shù)列． 2. 數(shù)列｛an｝的 前 n 項(xiàng) 和Sn＝a 2n + b（nN），則｛an｝為等比數(shù)列的充要條件是________． 3. 設(shè)等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，若S7＝56，Sn＝420，an－3＝34，則n＝________． 4. 等差數(shù)列中,a3+a7-a10=8,a11-a4=4,求S13 5. 各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)之和為Sn，若S10=10，S30=70，求S40。 6. 設(shè){an}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，(n=1,2,3,…),則它的通項(xiàng)公式是an= . 7．已知f(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn，且a1,a2,a3,…,an組成等差數(shù)列（n為正偶數(shù)），又f(1)=n2,f(-1)=n； （1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an； （2）試比較f(0.5)與3的大小，并說明理由。 8．在1與2之間插入個(gè)正數(shù)a1,a2,a3,…,an，使這n+2個(gè)正數(shù)成等比數(shù)列；又在1與2之間插入個(gè)正數(shù)b1,b2,b3,…,bn，使這n+2個(gè)正數(shù)成等差數(shù)列。記An=a1a2a3…an,Bn=b1+b2+b3+…+bn. （1）求數(shù)列{An}和{Bn}的通項(xiàng)； （2）當(dāng)n≥7時(shí)，比較An與Bn的大小，并證明你的結(jié)論。 9. 設(shè)任意實(shí)數(shù)x,y滿足|x|<1,|y|<1,求證： (第19屆莫斯科數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題) 10. 從n個(gè)數(shù)1,a, a2,…, an (a>2)中拿走若干個(gè)數(shù)，然后將剩下的數(shù)任意分成兩個(gè)部分，證明：這兩部分之和不可能相等 11.已知a1=，an=，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。 12.正整數(shù)k，g（k）表示k的最大奇因子（例如g（3）=3，g（20）=5），求g（1）+ g（2）+ g（3）+……..+ g（2n）(其中n∈N*) 13.將數(shù)字1，2，3，……..，n填入標(biāo)號(hào)為1，2，3，……，n的n個(gè)方格內(nèi)，每格一個(gè)數(shù)字，則標(biāo)號(hào)與數(shù)字均不相同的填法有多少種？ 14.用1，2，3三個(gè)數(shù)字寫n位數(shù)，要求數(shù)中不出現(xiàn)緊挨著的兩個(gè)1，問能構(gòu)成多少個(gè)n位數(shù)？ 15.設(shè)數(shù)列{an}和{bn}滿足a0=1，b0=0，且 （n=0，1，2，……….） 證明：an（n=0，1，2，…..）是完全平方數(shù) 16.已知a,b均為正整數(shù),且a>b,sinθ=(其中0<),An=(a2+b2)nsinnθ 求證: 對(duì)一切正整數(shù)n,均為整數(shù) 17.（1）證明： （2） 求正整數(shù)a, b，c，使得對(duì)任意（n>2），有 18. 設(shè)A，E為正八邊形的相對(duì)頂點(diǎn)，頂點(diǎn)A處有一只青蛙，除頂點(diǎn)E外青蛙可以從八邊形的任一頂點(diǎn)跳到兩相鄰頂點(diǎn)中任一個(gè)，落到頂點(diǎn)E時(shí)青蛙就停止跳動(dòng)，設(shè)青蛙從頂點(diǎn)A恰好跳n次后到E的方法數(shù)為an，求an 19. 使得：（1）a1=1（2）|ai-ai+1|≤2（i=1,2,……,n-1）.確定f (1996)是否能被3整除 課后練習(xí) 1設(shè)數(shù)列a1,a2,….,an,….滿足a1a21,a32，且對(duì)任何自然數(shù)n, 都有anan+1an+21，又anan+1an+2an+3an+an+1+an+2+an+3，則a1+a2+….+a100的值是____ 2設(shè)正數(shù)列a0,a1,a2,L,an,L滿足(n≥2)且a0=a1=1．求{an}的通項(xiàng)公式． 3已知數(shù)列滿足,且,其前n項(xiàng)之和為,則滿足不等式的最小整數(shù)n是( ) (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 4設(shè)等差數(shù)列滿足且,Sn為其前項(xiàng)之和，則Sn中最大的是( ) (A) (B) (C) (D) 5等比數(shù)列的首項(xiàng),公比,用表示它的前n項(xiàng)之積。則最大的是( ) (A) (B) (C) (D) 6設(shè)數(shù)列{an}的前項(xiàng)和Sn=2an -1(n=1,2,3,….)，數(shù)列{bn}滿足b1=3, bk+1ak+bk (k=1,2,3….).求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和. 7已知數(shù)列{}滿足(n≥2)，x1a, x2b, 記Snx1+x2+…+xn，則下列結(jié)論正確的是( ) (A)x100=-a,S100=2b-a (B)x100=-b,S100=2b-a (C)x100=-b,S100=b-a (D)x100=-a,S100=b-a 8設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)及公差均為非負(fù)整數(shù)，項(xiàng)數(shù)不少于3，且各項(xiàng)的和為972，則這樣的數(shù)列共有( ) (A)2個(gè) (B)3個(gè) (C)4個(gè) (D)5個(gè) 9各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)的等比數(shù)列{an}前n項(xiàng)和記為Sn，若S10=10,S30=70，則S40等于( ) (A) 150 (B) -200 (C) 150或-200 (D)400或-50 10等比數(shù)列a+log23,a+log43,a+log83的公比是____________. 11設(shè)Sn=1+2+3+…+n,nN，求f(n)=的最大值. 12設(shè)為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，且，又，試求的首項(xiàng)和公差。 13如圖，有一列曲線已知所圍成的圖形是面積為1的等邊三角形，進(jìn)行如下操作得到：將的每條邊三等分，以每邊中間部分的線段為邊，向外作等邊三角形，再將中間部分的線段去掉所圍成圖形的面積． ①求數(shù)列的通項(xiàng)公式；②求 ． P0 P1 P2 14刪去正整數(shù)數(shù)列1,2,3,……中的所有完全平方數(shù)，得到一個(gè)新數(shù)列．這個(gè)新數(shù)列的第xx項(xiàng)是（ ）(A)2046 　　　 (B)2047 　　　 (C)2048 　　 (D)2049 15 已知數(shù)列滿足關(guān)系式且，則的值是______。 16 在平面直角坐標(biāo)系中， 軸正半軸上的點(diǎn)列與曲線（≥0）上的點(diǎn)列滿足，直線在X軸上的截距為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，。 （Ⅰ）證明>>4，。 （Ⅱ）證明有，使得對(duì)都有<。 課后練習(xí)答案 1．200, 2． , 3．C , 4．C , 5．C 6．, 7．A, 8．C, 9．A, 10． 11．當(dāng)n=8時(shí)，f(n)取得最大值，為, 12． 13．略 14．C 15． 16．略