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2019-2020年高二數(shù)學(xué)上 7.4《數(shù)學(xué)歸納法解題》學(xué)案 滬教版 數(shù)學(xué)歸納法是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一.類比與猜想是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法所體現(xiàn)的比較突出的思想，抽象與概括，從特殊到一般是應(yīng)用的一種主要思想方法. ●難點(diǎn)磁場 (★★★★)是否存在a、b、c使得等式122+232+…+n(n+1)2=(an2+bn+c). ●案例探究 ［例1］試證明：不論正數(shù)a、b、c是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，當(dāng)n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等時(shí)，均有：an+cn＞2bn. 命題意圖：本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，屬★★★★級(jí)題目. 知識(shí)依托：等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)及數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的一般步驟. 錯(cuò)解分析：應(yīng)分別證明不等式對(duì)等比數(shù)列或等差數(shù)列均成立，不應(yīng)只證明一種情況. 技巧與方法：本題中使用到結(jié)論：(ak－ck)(a－c)＞0恒成立(a、b、c為正數(shù))，從而ak+1+ck+1＞akc+cka. 證明：(1)設(shè)a、b、c為等比數(shù)列，a=,c=bq(q＞0且q≠1) ∴an+cn=+bnqn=bn(+qn)＞2bn (2)設(shè)a、b、c為等差數(shù)列，則2b=a+c猜想＞()n(n≥2且n∈N*) 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： ①當(dāng)n=2時(shí)，由2(a2+c2)＞(a+c)2，∴ ②設(shè)n=k時(shí)成立，即 則當(dāng)n=k+1時(shí)， (ak+1+ck+1+ak+1+ck+1) ＞(ak+1+ck+1+akc+cka)=(ak+ck)(a+c) ＞()k()=()k+1 ［例2］在數(shù)列{an}中，a1=1，當(dāng)n≥2時(shí)，an,Sn,Sn－成等比數(shù)列. (1)求a2,a3,a4，并推出an的表達(dá)式； (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明所得的結(jié)論； (3)求數(shù)列{an}所有項(xiàng)的和. 命題意圖：本題考查了數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法、數(shù)列極限等基礎(chǔ)知識(shí). 知識(shí)依托：等比數(shù)列的性質(zhì)及數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟.采用的方法是歸納、猜想、證明. 錯(cuò)解分析：(2)中，Sk=－應(yīng)舍去，這一點(diǎn)往往容易被忽視. 技巧與方法：求通項(xiàng)可證明{}是以{}為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，進(jìn)而求得通項(xiàng)公式. 解：∵an,Sn,Sn－成等比數(shù)列，∴Sn2=an(Sn－)(n≥2) (*) (1)由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=－ 由a1=1，a2=－,S3=+a3代入(*)式得：a3=－ 同理可得：a4=－,由此可推出：an= (2)①當(dāng)n=1,2,3,4時(shí)，由(*)知猜想成立. ②假設(shè)n=k(k≥2)時(shí)，ak=－成立 故Sk2=－(Sk－) ∴(2k－3)(2k－1)Sk2+2Sk－1=0 ∴Sk= (舍) 由Sk+12=ak+1(Sk+1－),得(Sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+Sk－) 由①②知，an=對(duì)一切n∈N成立. (3)由(2)得數(shù)列前n項(xiàng)和Sn=,∴S=Sn=0. ●錦囊妙記 (1)數(shù)學(xué)歸納法的基本形式 設(shè)P(n)是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若 1P(n0)成立(奠基) 2假設(shè)P(k)成立(k≥n0)，可以推出P(k+1)成立(歸納)，則P(n)對(duì)一切大于等于n0的自然數(shù)n都成立. (2)數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用 具體常用數(shù)學(xué)歸納法證明：恒等式，不等式，數(shù)的整除性，幾何中計(jì)算問題，數(shù)列的通項(xiàng)與和等. ●殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練 一、選擇題 1.(★★★★★)已知f(n)=(2n+7)3n+9,存在自然數(shù)m,使得對(duì)任意n∈N,都能使m整除f(n)，則最大的m的值為( ) A.30 B.26 C.36 D.6 2.(★★★★)用數(shù)學(xué)歸納法證明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步應(yīng)驗(yàn)證( ) A.n=1 B.n=2 C.n=3 D.n=4 二、填空題 3.(★★★★★)觀察下列式子：…則可歸納出_________. 4.(★★★★)已知a1=,an+1=,則a2,a3,a4,a5的值分別為_________，由此猜想an=_________. 三、解答題 5.(★★★★)用數(shù)學(xué)歸納法證明4+3n+2能被13整除，其中n∈N*. 6.(★★★★)若n為大于1的自然數(shù)，求證：. 7.(★★★★★)已知數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，b1=1,b1+b2+…+b10=145. (1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn; (2)設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=loga(1+)(其中a＞0且a≠1)記Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，試比較Sn與logabn+1的大小，并證明你的結(jié)論. 8.(★★★★★)設(shè)實(shí)數(shù)q滿足|q|＜1,數(shù)列{an}滿足：a1=2,a2≠0,anan+1=－qn,求an表達(dá)式，又如果S2n＜3,求q的取值范圍. 參考答案 難點(diǎn)磁場 解：假設(shè)存在a、b、c使題設(shè)的等式成立，這時(shí)令n=1,2,3,有 于是，對(duì)n=1,2,3下面等式成立 122+232+…+n(n+1)2= 記Sn=122+232+…+n(n+1)2 設(shè)n=k時(shí)上式成立，即Sk= (3k2+11k+10) 那么Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2=(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2 = (3k2+5k+12k+24) =［3(k+1)2+11(k+1)+10］ 也就是說，等式對(duì)n=k+1也成立. 綜上所述，當(dāng)a=3,b=11,c=10時(shí)，題設(shè)對(duì)一切自然數(shù)n均成立. 殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練 一、1.解析：∵f(1)=36,f(2)=108=336,f(3)=360=1036 ∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除. 證明：n=1,2時(shí)，由上得證，設(shè)n=k(k≥2)時(shí)， f(k)=(2k+7)3k+9能被36整除，則n=k+1時(shí)， f(k+1)－f(k)=(2k+9)3k+1－(2k+7)3k =(6k+27)3k－(2k+7)3k =(4k+20)3k=36(k+5)3k－2(k≥2) f(k+1)能被36整除 ∵f(1)不能被大于36的數(shù)整除，∴所求最大的m值等于36. 答案：C 2.解析：由題意知n≥3，∴應(yīng)驗(yàn)證n=3. 答案：C 二、3.解析： (n∈N*) (n∈N*) 、、、 三、5.證明：(1)當(dāng)n=1時(shí)，421+1+31+2=91能被13整除 (2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，42k+1+3k+2能被13整除，則當(dāng)n=k+1時(shí)， 42(k+1)+1+3k+3=42k+142+3k+23－42k+13+42k+13 =42k+113+3(42k+1+3k+2) ∵42k+113能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除 ∴當(dāng)n=k+1時(shí)也成立. 由①②知，當(dāng)n∈N*時(shí)，42n+1+3n+2能被13整除. 6.證明：(1)當(dāng)n=2時(shí)， (2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立，即 7.(1)解：設(shè)數(shù)列{bn}的公差為d,由題意得,∴bn=3n－2 (2)證明：由bn=3n－2知 Sn=loga(1+1)+loga(1+)+…+loga(1+) =loga［(1+1)(1+)…(1+ )］ 而logabn+1=loga,于是，比較Sn與logabn+1的大小比較(1+1)(1+)…(1+)與的大小. 取n=1，有(1+1)= 取n=2，有(1+1)(1+ 推測：(1+1)(1+)…(1+)＞ (*) ①當(dāng)n=1時(shí)，已驗(yàn)證(*)式成立. ②假設(shè)n=k(k≥1)時(shí)(*)式成立，即(1+1)(1+)…(1+)＞ 則當(dāng)n=k+1時(shí)， ,即當(dāng)n=k+1時(shí)，(*)式成立 由①②知，(*)式對(duì)任意正整數(shù)n都成立. 于是，當(dāng)a＞1時(shí)，Sn＞logabn+1,當(dāng) 0＜a＜1時(shí)，Sn＜logabn+1 8.解：∵a1a2=－q,a1=2,a2≠0, ∴q≠0,a2=－, ∵anan+1=－qn,an+1an+2=－qn+1 兩式相除，得,即an+2=qan 于是，a1=2,a3=2q,a5=2qn…猜想：a2n+1=－qn(n=1,2,3,…) 綜合①②，猜想通項(xiàng)公式為an= 下證：(1)當(dāng)n=1,2時(shí)猜想成立 (2)設(shè)n=2k－1時(shí)，a2k－1=2qk－1則n=2k+1時(shí)，由于a2k+1=qa2k－1 ∴a2k+1=2qk即n=2k－1成立. 可推知n=2k+1也成立. 設(shè)n=2k時(shí)，a2k=－qk,則n=2k+2時(shí)，由于a2k+2=qa2k, 所以a2k+2=－qk+1,這說明n=2k成立，可推知n=2k+2也成立. 綜上所述，對(duì)一切自然數(shù)n,猜想都成立. 這樣所求通項(xiàng)公式為an= S2n=(a1+a3…+a2n－1)+(a2+a4+…+a2n) =2(1+q+q2+…+qn-1)－ (q+q2+…+qn) 由于|q|＜1,∴= 依題意知＜3,并注意1－q＞0,|q|＜1解得－1＜q＜0或0＜q＜