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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2-4-3第3課時 直線與拋物線的位置關(guān)系同步檢測 新人教版選修2-1 一、選擇題 1．直線y＝x－3與拋物線y2＝4x交于A、B兩點，過兩點向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為P、Q，則梯形APQB的面積為(　　) A．48　　　 B．56　　　 C．64　　　 D．72 [答案]　A [解析]　由消去y得， x2－10x＋9＝0，∴x＝1或9， ∴或， ∴|AP|＝10，|BQ|＝2或者|BQ|＝10，|AP|＝2，|PQ|＝8，梯形APQB的面積為48，選A. 2．設(shè)O是坐標(biāo)原點，F(xiàn)是拋物線y2＝2px　(p>0)的焦點，A是拋物線上的一點，與x軸正向的夾角為60，則||為(　　) A. B. C.p D.p [答案]　B [解析]　依題意可設(shè)AF所在直線方程為 y－0＝(x－)tan60，∴y＝(x－)． 聯(lián)立，解得x＝與. ∵與x軸正向夾角為60，∴x＝，y＝p. ∴||＝＝. 3．拋物線y2＝2px與直線ax＋y－4＝0的一個交點是(1,2)，則拋物線的焦點到該直線的距離為(　　) A. B. C. D. [答案]　B [解析]　由已知得拋物線方程為y2＝4x，直線方程為2x＋y－4＝0，拋物線y2＝4x的焦點坐標(biāo)是F(1,0)，到直線2x＋y－4＝0的距離d＝＝. 4．設(shè)F為拋物線y2＝4x的焦點，A，B，C為該拋物線上三點，若＋＋＝0，則||＋||＋||等于(　　) A．9　　 　 B．6　　 　 C．4　　 　 D．3 [答案]　B [解析]　設(shè)A、B、C三點坐標(biāo)分別為(x1，y1)、(x2，y2)、(x3，y3)．由題意知F(1,0)，因為＋＋＝0，所以x1＋x2＋x3＝3.根據(jù)拋物線定義，有||＋||＋||＝x1＋1＋x2＋1＋x3＋1＝3＋3＝6.故選B. 5．設(shè)O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)為拋物線y2＝4x的焦點，A為拋物線上一點，若＝－4，則點A的坐標(biāo)為(　　) A．(2，2) B．(1，2) C．(1,2) D．(2,2) [答案]　B [解析]　設(shè)點A的坐標(biāo)為(x0，y0)，∴y＝4x0① 又F(1,0)，∴＝(x0，y0)，＝(1－x0，－y0)， ∵＝－4，∴x0－x－y＝－4② 解①②組成的方程組得或. [點評]　向量與解析幾何相結(jié)合，向量往往要化為坐標(biāo)的形式． 6．(08寧夏、海南)已知點P在拋物線y2＝4x上，那么點P到點Q(2，－1)的距離與點P到拋物線焦點距離之和取得最小值時，點P的坐標(biāo)為(　　) A. B. C．(1,2) D．(1，－2) [答案]　A [解析]　過點Q作準(zhǔn)線的垂線QM，交拋物線于P′點，連結(jié)P′F，此時|P′Q|＋|P′F|＝|P′Q|＋|P′M|＝|QM|，此時|MQ|最小，所以所求坐標(biāo)為. 7．(09全國Ⅱ理)已知直線y＝k(x＋2)(k>0)與拋物線C：y2＝8x相交于A、B兩點，F(xiàn)為C的焦點．若|FA|＝2|FB|，則k＝(　　) A.　　　 B.　 C. 　　　 D. [答案]　D [解析]　設(shè)A、B兩點坐標(biāo)分別為(x1，y1)、(x2，y2)， 由消去y得，k2x2＋4x(k2－2)＋4k2＝0， ∴x1＋x2＝，x1x2＝4. 由拋物線定義得|AF|＝x1＋2，|BF|＝x2＋2， 又∵|AF|＝2|BF|，∴x1＋2＝2x2＋4， ∴x1＝2x2＋2代入x1x2＝4，得x＋x2－2＝0， ∴x2＝1或－2(舍去)，∴x1＝4， ∴＝5，∴k2＝， ∵k>0，∴k＝. 8．過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F作兩弦AB和CD，其所在直線的傾斜角分別為與，則|AB|與|CD|的大小關(guān)系是(　　) A．|AB|>|CD| B．|AB|＝|CD| C．|AB|<|CD| D．|AB|≠|(zhì)CD| [答案]　A [解析]　由拋物線的焦點弦公式l＝知， |AB|>|CD|，故選A. 9．(09全國Ⅰ理)設(shè)雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線與拋物線y＝x2＋1相切，則該雙曲線的離心率等于(　　) A. B．2 C. D. [答案]　C [解析]　雙曲線的漸近線方程為y＝x. ∵漸近線與y＝x2＋1相切， ∴x2x＋1＝0有兩相等根， ∴Δ＝－4＝0，∴b2＝4a2， ∴e＝＝＝＝. 10．(09四川理)已知直線l1：4x－3y＋6＝0和直線l2：x＝－1，拋物線y2＝4x上一動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是(　　) A．2　　　　 B．3　　　　 C.　　　 D. [答案]　A [解析]　如圖|PA|＋|PB|＝|PF|＋|PB| ∴所求最小值為點F到直線l1：4x－3y＋6＝0的距離 d＝＝2，故選A. 二、填空題 11．已知當(dāng)拋物線型拱橋的頂點距水面2米時，量得水面寬8米，當(dāng)水面升高1米后，水面寬度是________米． [答案]　4 [解析]　設(shè)拋物線拱橋的方程為x2＝－2py，當(dāng)頂點距水面2米時，量得水面寬8米， 即拋物線過點(4，－2)代入方程得16＝4p ∴p＝4，則拋物線方程是x2＝－8y， 水面升高1米時，即y＝－1時，x＝2. 則水面寬為4米． 12．已知拋物線y2＝4x的一條過焦點的弦AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB所在直線與y軸交點坐標(biāo)(0,2)，則＋＝________. [答案]　 [解析]　弦AB是過焦點F(1,0)的弦， 又過點(0,2)，∴其方程為x＋＝1， 2x＋y－2＝0與y2＝4x聯(lián)立得 y2＋2y－4＝0，y1＋y2＝－2，y1y2＝－4， ＋＝＝＝. 13．在已知拋物線y＝x2上存在兩個不同的點M、N關(guān)于直線y＝kx＋對稱，則k的取值范圍為________． [答案]　k>或k<－ [解析]　設(shè)M(x1，x)，N(x2，x)關(guān)于已知拋物線對稱，依MN⊥l：y＝kx＋， ∴＝－，即x1＋x2＝－.設(shè)MN的中點為(x0，y0)，則x0＝－，y0＝k(－)＋＝4. 因中點在y＝x2內(nèi)，有4>(－)2?k2>， ∴k>或k<－. 14．(xx重慶理，14)已知以F為焦點的拋物線y2＝4x上的兩點A、B滿足＝3，則弦AB的中點到準(zhǔn)線的距離為________． [答案]　 [解析]　如右圖，設(shè)||＝m，||＝n， 由＋＝得＋＝1， 即＋＝1， ∴n＝，m＝4，∴AB中點到準(zhǔn)線的距離d＝＝＝. 三、解答題 15．過拋物線y2＝x上一點A(4,2)，作傾斜角互補的兩直線AB、AC交拋物線于B、C.求證直線BC的斜率為定值． [證明]　設(shè)B(x，x1)，C(x，x2)(|x1|≠|(zhì)x2|)， 則kBC＝＝；kAB＝，kAC＝. ∵AB，AC的傾斜角互補．∴kAB＝－kAC. ∴＝－，∴x1＋2＝－(x2＋2)， ∴x1＋x2＝－4.∴kBC＝－為定值． 16．已知拋物線y2＝6x的弦AB經(jīng)過點P(4,2)，且OA⊥ OB(O為坐標(biāo)原點)，求弦AB的長． [解析]　由A、B兩點在拋物線y2＝6x上，可設(shè)A(，y1)，B(，y2)． 因為OA⊥OB，所以＝0. 由＝(，y1)，＝(，y2)，得＋y1y2＝0. ∵y1y2≠0，∴y1y2＝－36，① ∵點A、B與點P(4,2)在一條直線上， ∴＝，化簡，得＝， 即y1y2－2(y1＋y2)＝－24. 將①式代入，得y1＋y2＝－6.② 由①和②，得y1＝－3－3，y2＝－3＋3，從而點A的坐標(biāo)為(9＋3，－3－3)，點B的坐標(biāo)為(9－3，－3＋3)， 所以|AB|＝＝6. 17．設(shè)拋物線y2＝8x的焦點是F，有傾角為45的弦AB，|AB|＝8，求△FAB的面積． [解析]　設(shè)AB方程為y＝x＋b 由消去y得：x2＋(2b－8)x＋b2＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝8－2b，x1x2＝b2. ∴|AB|＝|x1－x2| ＝ ＝＝8， 解得：b＝－3. ∴直線方程為y＝x－3.即：x－y－3＝0 ∴焦點F(2,0)到x－y－3＝0的距離為d＝＝. ∴S△FAB＝8＝2. 18．已知拋物線y＝－x2＋3上存在關(guān)于直線x＋y＝0對稱的相異兩點A、B，求A、B兩點間的距離． [分析]　本題考查拋物線上的對稱問題，可利用A、B兩點在拋物線上，又在直線上，設(shè)出直線方程利用條件求解． [解析]　由題意可設(shè)lAB為：y＝x＋b，把直線方程代入y＝－x2＋3中得，x2＋x＋b－3＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－1，y1＋y2＝x1＋b＋x2＋b＝(x1＋x2)＋2b＝2b－1. ∴AB的中點坐標(biāo)為(－，b－)，則該點在直線x＋y＝0上． ∴－＋(b－)＝0，得b＝1. ∴|AB|＝|x1－x2|＝ ＝ ＝3. 所以A、B兩點間距離為3.