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2019-2020年高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)資料《三角恒等式與三角不等式》 三角恒等變形，既要遵循代數(shù)式恒等變形的一般法則，又有三角所特有的規(guī)律. 三角恒等式包括絕對(duì)恒等式和條件恒等式兩類。證明三角恒等式時(shí)，首先要觀察已知與求證或所證恒等式等號(hào)兩邊三角式的繁簡(jiǎn)程度，以決定恒等變形的方向；其次要觀察已知與求證或所證恒等式等號(hào)兩邊三角式的角、函數(shù)名稱、次數(shù)以及結(jié)構(gòu)的差別與聯(lián)系，抓住其主要差異，選擇恰當(dāng)?shù)墓綄?duì)其進(jìn)行恒等變形，從而逐步消除差異，統(tǒng)一形式，完成證明.“和差化積”、“積化和差”、“切割化弦”、“降次”等是我們常用的變形技巧。當(dāng)然有時(shí)也可以利用萬(wàn)能公式“弦化切割”，將題目轉(zhuǎn)化為一個(gè)關(guān)于的代數(shù)恒等式的證明問(wèn)題. 萬(wàn)能公式 相除 相除 相除 積化和差 和差化積 相加減 要快捷地完成三角恒等式的證明，必須選擇恰當(dāng)?shù)娜枪? 為此，同學(xué)們要熟練掌握各公式及各公式的來(lái)龍去脈和變形形式. 上圖為三角公式脈絡(luò)圖，由圖可見(jiàn)兩角和差的三角函數(shù)的公式是所有三角公式的核心和基礎(chǔ). 此外，三角是代數(shù)與幾何聯(lián)系的“橋梁”，與復(fù)數(shù)也有緊密的聯(lián)系，因而許多三角問(wèn)題往往可以從幾何或復(fù)數(shù)角度獲得巧妙的解法. 三角不等式首先是不等式，因此，要掌握證明不等式的常用方法：配方法、比較法、放縮法、基本不等式法、數(shù)學(xué)歸納法等. 其次，三角不等式又有自己的特點(diǎn)——含有三角式，因而三角函數(shù)的單調(diào)性、有界性以及圖象特征等都是處理三角不等式的銳利武器. 三角形中有關(guān)問(wèn)題也是數(shù)學(xué)競(jìng)賽和高考的常見(jiàn)題型. 解決這類問(wèn)題，要充分利用好三角形內(nèi)角和等于180這一結(jié)論及其變形形式. 如果問(wèn)題中同時(shí)涉及邊和角，則應(yīng)盡量利用正弦定理、余弦定理、面積公式等進(jìn)行轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)邊角統(tǒng)一. 求三角形面積的海倫公式 ，大家往往不甚熟悉，但十分有用. 例題講解 1．已知 2．證明： 3．求證： 4．已知 5．證 明： 6．求證：① ②sin1sin2sin3…sin89= 7．證明：對(duì)任一自然數(shù)n及任意實(shí)數(shù)為任一整數(shù)），有 8．證明： 9．若，求證： 10．已知，證明：，并討論等號(hào)成立的條件。 11．已知，能否以，，的值為邊長(zhǎng)，構(gòu)成三角形。 12．在△中，角、、的對(duì)邊為、、，求證： 13．在銳角△中，求證 （1）；（2） 14．設(shè)，且，求乘積的最大值和最小值。 課后練習(xí) 1．證明：sin47+sin61－sin11－sin25=cos7. 2．證明： 3．已知：sinA+sinB+sinC=0，cosA+cosB+cosC=0. 求證：sin2A+sin2B+sin2C=0，cos2A+cos2B+cos2C=0. 4．已知 5．已知的最大值. 6．已知、、、的最大值. 7．△ABC中，C=2B的充要條件是 8．△ABC中，已知、、成等差數(shù)列，求證：、、也成等差數(shù)列. 9．△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，已知，求B的最大值. 10．若、能否以、、的值為邊長(zhǎng)構(gòu)成一個(gè)三角形. 11．求函數(shù)的值域. 12．求函數(shù)的值域. 13．在△中，求證：；； 。 14．設(shè)為銳角，求證： 15．對(duì)，求證：。 例題答案： １．分析：條件涉及到角、，而結(jié)論涉及到角，.故可利用消除條件與結(jié)論間角的差異，當(dāng)然亦可從式中的“A”入手. 證法1： 證法2： ２．分析：等號(hào)左邊涉及角7x、5x、3x、x右邊僅涉及角x，可將左邊各項(xiàng)逐步轉(zhuǎn)化為、 的表達(dá)式，但相對(duì)較繁. 觀察到右邊的次數(shù)較高，可嘗試降次. 證明：因?yàn)? 從而有 評(píng)述：本題看似“化簡(jiǎn)為繁”，實(shí)質(zhì)上抓住了降次這一關(guān)鍵，很是簡(jiǎn)捷. 另本題也可利用復(fù)數(shù)求解. 令，展開(kāi)即可. ３．思路分析：等式左邊同時(shí)出現(xiàn)、，聯(lián)想到公式 . 證明： 評(píng)述：本題方法具有一定的普遍性. 仿此可證 等.、 ４．證明： ５．證明： 評(píng)述：這是三倍角的正弦的又一表示. 類似地，有 . 利用這幾個(gè)公式可解下例. 6. 證明：①cos6cos42cos66cos78 =cos6cos54cos66 ②sin1sin2sin3…sin89 =(sin1sin59sin61)(sin2sin58sin62)…(sin29sin31sin89)sin30sin60 = 又 即 所以 7. 思路分析：本題左邊為n項(xiàng)的和，右邊為2項(xiàng)之差，故嘗試將左邊各項(xiàng)“裂”成兩項(xiàng)之差，并希冀能消去其中許多中間項(xiàng). 證明： 同理 …… 評(píng)述：①本題裂項(xiàng)技巧也可通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法獲得. ②“裂項(xiàng)相消”在解題中具有一定的普遍性，類似可證下列各題： . 8. 證明： 所以， 評(píng)述：①本題也可借助復(fù)數(shù)獲證. ②類似地，有 利用上述公式可快速證明下列各式：