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1、17. 1 一元二次方程 學習目標 知識與技能： 1 .了解一元二次方程及相關概念 2 .應用一元二次方程的概念解決一些簡單題目 過程與方法： 在探索問題的過程中使學生感受方程是刻畫現實世界的一種模型，體會方程與實際生活的 聯系。 情感態(tài)度與價值觀： 通過豐富的實例，讓學生合作探討，培養(yǎng)學生合作交流的能力，建立數學模型并通過數學 模型自己總結一元二次方程的定義，培養(yǎng)學生的歸納總結和數學建模的能力。 教學過程 一、情境導入 問題：一個面積為120m2的矩形苗圃，它的長比寬多 2m,苗圃的長和寬各是多少? 設苗圃的寬為xm,則長為（x+2）m. 根據題意，得x（x+2）

2、= 120. 所列方程是否為一元一次方程？（回憶：一元一次方程的定義） （給出定義：這個方程便是即將學習的一元二次方程. ） 二、合作探究 探究點一：一元二次方程的概念 ［類型一元二次方程的識別 國 下列方程中，是一元二次方程的是 （填入序號即可）. ①y"-y=0;②2x2-x- 3=0;③4=3; 4 x ④ x2=2+3x;⑤ x3 —x+ 4=0;⑥ t2=2; ⑦x2+3x —3=0;⑧迎一x =2. 解析：由一元二次方程的定義知 ③⑤⑦⑧不是.答案為 ①②④⑥. 方法總結：判斷一個方程是不是一元二次方程，先看它是不是整式方程，若是，再對它 進行整理，若能

3、整理為 ax2+bx+c= 0（a, b, c為常數，aw0）的形式，則這個方程就是一元 二次方程. 變式訓練：課本21頁第1題 ［類型二］根據一元二次方程的概念求字母的值 112 (1)ax2 — x= 2x2 — ax— 3; (2)(a — 1)xa| 1+ 2x— 7= 0. 解析：(1)將方程轉化為一般形式，得 (a—2)x2+(a—1)x+ 3=0,當a-2^0,即a^2 時，原方程是一■?！龃畏匠?； (2)由|a|+1=2,且a—1W0知，當a=— 1時，原方程是一■兀 二次方程. 解：(1)將方程整理得(a—2)x2+(a—1)x+3=0,=a —2W0,

4、，aw2.當 aw2 時，原方程 為一元二次方程； (2),「|a|+1 = 2,，a= .當 a= 1 時，a— 1 = 0,不合題意，舍去.，當 a = — 1 時，原 方程為一元二次方程. 方法總結：用一元二次方程的定義求字母的值的方法：根據未知數的最高次數等于 2, 列出關于某個字母的方程，再排除使二次項系數等于 0的字母的值. 變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第 2題 ［類型三］一元二次方程的一般形式 把下列方程轉化成一元二次方程的一般形式，并指出二次項系數、一次項系數和 常數項. (1)x(x— 2) = 4x2—3x; x+ 1 -x- 1 (

5、3)關于 x 的方程 mx2-nx+ mx+ nx2= q — p(m+nw 0). 解析：首先對上述三個方程進行整理， 通過“去分母” “去括號” “移項” “合并同類 項”等步驟將它們化為一般形式，再分別指出二次項系數、一次項系數和常數項. 解：(1)去括號，得x2- 2x= 4x2—3x.移項、合并同類項，得 3x2-x= 0.二次項系數為3, 一次項系數為一1,常數項為0; (2)去分母，得 2x2—3(x+ 1)=3(-x-1).去括號、移項、合并同類項，得 2x2=0.二次 項系數為2, 一次項系數為0,常數項為0; (3)移項、合并同類項，得 (m + n)x2+(m—

6、n)x+p —q= 0.二次項系數為 m+n, 一次項系 數為m-n,常數項為p-q. 方法總結：(1)在確定一元二次方程各項系數時，首先把一元二次方程轉化成一般形式， 如果在一般形式中二次項系數為負，那么最好在方程左右兩邊同乘- 1,使二次項系數變?yōu)? 正數； (2)指出一元二次方程的各項系數時，一定要帶上前面的符號； (3)一元二次方程轉化為一般形式后，若沒有出現一次項 bx,則b=0;若沒有出現常數 項c,則c= 0. 變式訓練：課本21頁第2題 探究點二：根據實際問題建立一元二次方程模型 [1 如圖，現有一張長為 19cm,寬為 長是多少的小正方形，才能將其做成底面

7、積為 15cm的長方形紙片，需要在四個頂角處剪去邊 81cm2的無蓋長方體紙盒？請根據題意列出方 第3頁共3頁 程. 解析：小正方形的邊長即為紙盒的高，中間虛線部分則為紙盒底面，設出未知數， 禾1J用 長方形面積公式可列出方程. 解：設需要剪去的小正方形邊長為 xcm ,則紙盒底面的長方形的長為 (19- 2x)cm,寬為 (15 — 2x)cm. 根據題意，得(19 —2x)(15—2x) = 81.整理得 x2-17x+51 = 0(0

8、量之間的等量關系，正確地列出方程.在列出方程后，還應根據實際需求， 注明自變量的取值范圍. 變式訓練：課本21頁第3題 探究點三：一元二次方程的根 已知關于x的一元二次方程 x2+mx+3= 0的一個解是 x= 1,求m的值. 解析：將方程的解代入原方程，可使方程的左右兩邊相等.本題將 x=1代入原方程， 可得關于m的一元一次方程，解得 m的值即可. 解：根據方程的解的定義，將 x= 1代入原方程，得12 + mX 1 + 3=0,解得m = -4, 即m的值為一4. 方法總結：方程的根（解）一定滿足原方程，將根（解）的值代入原方程，即可得到關于未 知系數的方程，通過解方程可以求出未知系數的值，這種方法叫做根的定義法. 變式訓練：課本21頁第4題 三.課堂小結 本節(jié)課你學到了什么？（學生回答，教師總結補充） 四.家庭作業(yè) 完成同步練習對應練習