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2019-2020年高考數(shù)學(xué) 專題23 數(shù)列通項(xiàng)公式的求解策略黃金解題模板 【高考地位】 在高考中數(shù)列部分的考查既是重點(diǎn)又是難點(diǎn)，不論是選擇題或填空題中對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的考查，還是壓軸題中與其他章節(jié)知識(shí)的綜合，抓住數(shù)列的通項(xiàng)公式通常是解題的關(guān)鍵和解決數(shù)列難題的瓶頸。求通項(xiàng)公式也是學(xué)習(xí)數(shù)列時(shí)的一個(gè)難點(diǎn)。由于求通項(xiàng)公式時(shí)滲透多種數(shù)學(xué)思想方法，因此求解過程中往往顯得方法多、靈活度大、技巧性強(qiáng)。 【方法點(diǎn)評(píng)】 方法一 數(shù)學(xué)歸納法 解題模板：第一步 求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，并猜想出數(shù)列的通項(xiàng)； 第二步 使用數(shù)學(xué)歸納法證明通項(xiàng)公式是成立的. 例1 若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且方程有一個(gè)根為－1，n=1,2,3.. (1) 求 ；（2）猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明 試題解析：解：（1） （2）由知 代入 ………（） 【變式演練1】已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。 由此可知，當(dāng)時(shí)等式也成立。 根據(jù)（1），（2）可知，等式對(duì)任何都成立。 【變式演練2】把數(shù)列{}（）依次按第一個(gè)括號(hào)一個(gè)數(shù)，第二個(gè)括號(hào)兩個(gè)數(shù)，第三個(gè)括號(hào)三個(gè)數(shù)，第四個(gè)括號(hào)四個(gè)數(shù)，第五個(gè)括號(hào)一個(gè)數(shù)，第六個(gè)括號(hào)兩個(gè)數(shù)， 進(jìn)行擺放，即（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27），（29，31，33），（35，37，39，41），（43），（45，47），則第104個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和為（ ） A．2072 B．2060 C．2048 D．2036 【答案】A 【解析】 試題分析：該擺放具有周期性，周期為4，即一個(gè)周期內(nèi)有4個(gè)括號(hào)，而第104個(gè)括號(hào)位于第26個(gè)周期內(nèi)， 又第一個(gè)周期中最后一個(gè)數(shù)為21，第二個(gè)周期最后一個(gè)數(shù)為41，第三個(gè)周期最后一個(gè)數(shù)為81，易知每個(gè)周期的最后一個(gè)數(shù)依次構(gòu)成以21為首項(xiàng)，公差為20的等差數(shù)列，由此可得第104個(gè)括號(hào)內(nèi)的最后一個(gè)數(shù)為521，由此得第104個(gè)括號(hào)內(nèi)的四個(gè)數(shù)為515、517、519、521. 考點(diǎn)：歸納推理的應(yīng)用。 方法二 法 使用情景：已知 解題模板：第一步 利用滿足條件，寫出當(dāng)時(shí)，的表達(dá)式； 第二步 利用，求出或者轉(zhuǎn)化為的遞推公式的形式； 第三步 根據(jù)求出，并代入的通項(xiàng)公式進(jìn)行驗(yàn)證，若成立，則合并；若不成立，則寫出分段形式或根據(jù)和的遞推公式求出. 例2 在數(shù)列中，已知其前項(xiàng)和為，則__________． 【答案】 【變式演練3】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（ ） A. B. C. D. 【答案】A. 【解析】 試題分析：，再令， ∴，∴數(shù)列是以4為首項(xiàng)，2為公比是等比數(shù)列， ∴，故選A. 考點(diǎn)：本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式. 【變式演練4】在數(shù)列中，， （1）求數(shù)列的通項(xiàng)； （2）若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的最小值. 【答案】（1）；(2) 方法三 累加法 使用情景：型如或 解題模板：第一步 將遞推公式寫成； 第二步 依次寫出，并將它們累加起來； 第三步 得到的值，解出； 第四步 檢驗(yàn)是否滿足所求通項(xiàng)公式，若成立，則合并；若不成立，則寫出分段形式. 例3 數(shù)列滿足，對(duì)任意的都有，則（ ） A、 B、 C、 D、 【答案】B 【變式演練5】在數(shù)列{}中，=1， (n=2、3、4……) ，求{}的通項(xiàng)公式。 【答案】 【變式演練6】已知數(shù)列{an}滿足a1＝，an＋1＝an＋，求an. 【答案】 方法四 累乘法 使用情景：型如或 解題模板：第一步 將遞推公式寫成； 第二步 依次寫出，并將它們累加起來； 第三步 得到的值，解出； 第四步 檢驗(yàn)是否滿足所求通項(xiàng)公式，若成立，則合并；若不成立，則寫出分段形式. 例4 已知數(shù)列滿足 【答案】 【變式演練7】已知數(shù)列{}中，=1，（n，則數(shù)列{}的通項(xiàng)公式為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 試題分析：, 即．故C正確． 考點(diǎn)：1累乘法求通項(xiàng)公式；2等差數(shù)列的前項(xiàng)和． 方法五 構(gòu)造法一 使用情景：型如（其中為常數(shù)，且） 解題模板：第一步 假設(shè)將遞推公式改寫為an＋1＋t＝p(an＋t)； 第二步 由待定系數(shù)法，解得； 第三步 寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式； 第四步 寫出數(shù)列通項(xiàng)公式. 例5 已知數(shù)列{}滿足=1，= ()，求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式。 【答案】= 【變式演練8】如題圖，已知點(diǎn)為的邊上一點(diǎn)，，為邊上的列點(diǎn)，滿足，其中實(shí)數(shù)列中，則的通項(xiàng)公式為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 試題分析：因?yàn)?，所以．設(shè)，則由－，得，，所以，所以．因?yàn)?，所以?shù)列是以2為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以，所以，故選D． 考點(diǎn)：1、向量的加減運(yùn)算；2、等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式． 【變式演練10】已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，求an. 【答案】an＝2n＋1－3. 方法六 構(gòu)造法二 使用情景：型如（其中為常數(shù)，且） 解題模板：第一步 假設(shè)將遞推公式改寫為； 第二步 由待定系數(shù)法，求出的值； 第三步 寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式； 第四步 寫出數(shù)列通項(xiàng)公式. 例6 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。 【答案】 為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，因此，則。 例7 已知數(shù)列中的分別為直線在軸、軸上的截距，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為 ． 【答案】. 【解析】 試題分析：由已知得：，已知條件可化為，設(shè)，可化為：，則，解得：，即，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則．兩邊同時(shí)除以轉(zhuǎn)化為：，即數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以． 考點(diǎn)：1.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；2.構(gòu)造等比數(shù)列． 【方法點(diǎn)晴】本題主要考察的是等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和根據(jù)遞推數(shù)列構(gòu)造等比數(shù)列，屬于難題．本題兩次構(gòu)造等比數(shù)列，首先設(shè)，再根據(jù)已知條件確定的值，構(gòu)造數(shù)列為等比數(shù)列；第二，根據(jù)，兩邊同時(shí)除以得數(shù)列為等比數(shù)列，從而得解．因?yàn)閮纱螛?gòu)造等比數(shù)列，做題過程中要注意認(rèn)真計(jì)算，否則容易出現(xiàn)錯(cuò)誤． 【變式演練11】 設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝4，an＝3an－1＋2n－1(n≥2)，求an. 【答案】an＝23n－n－1. 【變式演練12】已知數(shù)列中，函數(shù)． （1）若正項(xiàng)數(shù)列滿足，試求出，，，由此歸納出通項(xiàng)，并加以證明； （2）若正項(xiàng)數(shù)列滿足（n∈N*），數(shù)列的前項(xiàng)和為Tn，且，求證：． 【答案】（1），；（2）證明見解析． 【解析】 試題分析：（1）由遞推公式依次可求得，用數(shù)學(xué)歸納法的要求證明即可；也可把遞推公式變形為，則數(shù)列是等比數(shù)列；（2）要與（1）進(jìn)行聯(lián)系，首選函數(shù)，因此在上是增函數(shù)，可妨（1）進(jìn)行歸納，，，，…，也可把變形為，由累乘證明如下： ∵，∴，∴， ∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)、為公比的等比數(shù)列， ∴，∴； （2）∵（n∈N*），∴，∴， 累乘得：，∴，即，∴， ∵， ∴． 考點(diǎn)：歸納法，等比數(shù)列的公式，累乘法，放縮法證明不等式． 方法七 構(gòu)造法三 使用情景：型如（其中為常數(shù)，且） 解題模板：第一步 在遞推公式兩邊同除以，得； 第二步 利用方法五，求數(shù)列的通項(xiàng)公式； 第三步 寫出數(shù)列通項(xiàng)公式. 例7 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。 【答案】 例8 已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。 【答案】 【變式演練13】　已知數(shù)列{an}中，a1＝，an＋1＝an＋n＋1，求an. 【答案】bn＝3－2n，an＝＝3n－2n. 【解析】法一：在an＋1＝an＋n＋1兩邊乘以2n＋1，得2n＋1an＋1＝(2nan)＋1. 令bn＝2nan，則bn＋1＝bn＋1， 方法八 構(gòu)造法四 使用情景：型如（其中為常數(shù)，且） 解題模板：第一步 假設(shè)將遞推公式改寫成； 第二步 利用待定系數(shù)法，求出的值； 第三步 求數(shù)列的通項(xiàng)公式； 第四步 根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出數(shù)列通項(xiàng)公式. 例9 數(shù)列中，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。 【答案】 【變式演練14】已知數(shù)列滿足 （1）求的值；（2）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（3）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； 【答案】見解析 方法九 構(gòu)造五 使用情景：型如（其中為常數(shù)） 解題模板：第一步 將遞推公式兩邊取倒數(shù)得； 第二步 利用方法五，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式； 第三步 求出數(shù)列通項(xiàng)公式. 例10 已知數(shù)列滿足求數(shù)列的通項(xiàng)公式。 【答案】 【變式演練15】已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝，an＋1＝，n＝1,2,3，…求{an}的通項(xiàng)公式． 【答案】an＝. 【解析】∵an＋1＝，∴＝＋， 方法十 構(gòu)造六 使用情景：型如 解題模板：第一步 對(duì)遞推公式兩邊取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為； 第二步 利用方法五，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式； 第三步 求出數(shù)列通項(xiàng)公式. 例11 若數(shù)列{}中，=3且（n是正整數(shù)），求它的通項(xiàng)公式是。 【變式演練16】已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝ a(a>0)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． 【答案】 所以bn＝cn－lg＝2n－1lg－lg ＝lg＝lga， 即lg an＝lga，所以. 【高考再現(xiàn)】 1.【xx高考新課標(biāo)1，文7】已知是公差為1的等差數(shù)列，為的前項(xiàng)和，若，則（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】B 【考點(diǎn)定位】等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式 【名師點(diǎn)睛】解等差數(shù)列問題關(guān)鍵在于熟記等差數(shù)列定義、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，利用方程思想和公式列出關(guān)于首項(xiàng)與公差的方程，解出首項(xiàng)與公差，利用等差數(shù)列性質(zhì)可以簡(jiǎn)化計(jì)算. 2. 【xx高考浙江理數(shù)】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*，則a1= ，S5= . 【答案】 【解析】 試題分析：， 再由，又， 所以 考點(diǎn)：1、等比數(shù)列的定義；2、等比數(shù)列的前項(xiàng)和． 【易錯(cuò)點(diǎn)睛】由轉(zhuǎn)化為的過程中，一定要檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)是否滿足，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤． 3.【xx全國III文，17】設(shè)數(shù)列滿足. （1）求的通項(xiàng)公式； （2）求數(shù)列 的前項(xiàng)和. 【答案】（1）；（2） 【解析】試題分析：（1）先由題意得時(shí)，，再作差得，驗(yàn)證時(shí)也滿足（2）由于，所以利用裂項(xiàng)相消法求和. 【考點(diǎn)】數(shù)列通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)法求和 【名師點(diǎn)睛】裂項(xiàng)相消法是指將數(shù)列的通項(xiàng)分成兩個(gè)式子的代數(shù)和的形式，然后通過累加抵消中間若干項(xiàng)的方法，裂項(xiàng)相消法適用于形如 (其中是各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列，c為常數(shù))的數(shù)列. 裂項(xiàng)相消法求和，常見的有相鄰兩項(xiàng)的裂項(xiàng)求和(如本例)，還有一類隔一項(xiàng)的裂項(xiàng)求和，如或. 4.【xx高考新課標(biāo)Ⅲ文數(shù)】已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列滿足，. （I）求； （II）求的通項(xiàng)公式. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）． 5.【xx高考山東理數(shù)】已知數(shù)列 的前n項(xiàng)和Sn=3n2+8n，是等差數(shù)列，且 （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； 【答案】（Ⅰ）. 考點(diǎn)：1.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；2.等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和；3.“錯(cuò)位相減法”. 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式、等比數(shù)列的求和、數(shù)列求和的“錯(cuò)位相減法”.此類題目是數(shù)列問題中的常見題型.本題覆蓋面廣，對(duì)考生計(jì)算能力要求較高.解答本題，布列方程組，確定通項(xiàng)公式是基礎(chǔ)，準(zhǔn)確計(jì)算求和是關(guān)鍵，易錯(cuò)點(diǎn)是在“錯(cuò)位”之后求和時(shí)，弄錯(cuò)等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù).本題能較好的考查考生的邏輯思維能力及基本計(jì)算能力等. 6. 【xx高考新課標(biāo)3理數(shù)】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，其中． （I）證明是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式； （II）若 ，求． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）． 【解析】 試題分析：（Ⅰ）首先利用公式，得到數(shù)列的遞推公式，然后通過變換結(jié)合等比數(shù)列的定義可證；（Ⅱ）利用（Ⅰ）前項(xiàng)和化為的表達(dá)式，結(jié)合的值，建立方程可求得的值． （Ⅱ）由（Ⅰ）得，由得，即， 解得． 考點(diǎn)：1、數(shù)列通項(xiàng)與前項(xiàng)和為關(guān)系；2、等比數(shù)列的定義與通項(xiàng)及前項(xiàng)和為． 【方法總結(jié)】等比數(shù)列的證明通常有兩種方法：（1）定義法，即證明（常數(shù)）；（2）中項(xiàng)法，即證明．根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)常常要將遞推關(guān)系變形，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列或等差數(shù)列來求解． 7.【xx高考福建，文17】等差數(shù)列中，，． （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）設(shè)，求的值． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）． 【考點(diǎn)定位】1、等差數(shù)列通項(xiàng)公式；2、分組求和法． 【名師點(diǎn)睛】確定等差數(shù)列的基本量是．所以確定等差數(shù)列需要兩個(gè)獨(dú)立條件，求數(shù)列前n項(xiàng)和常用的方法有四種：（1）裂項(xiàng)相消法（通過將通項(xiàng)公式裂成兩項(xiàng)的差或和，在前n項(xiàng)相加的過程中相互抵消）； （2）錯(cuò)位相減法（適合于等差數(shù)列乘以等比數(shù)列型）；（3）分組求和法(根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)公式的特點(diǎn)，將其分解為等差數(shù)列求和以及等比數(shù)列求和)；（4）奇偶項(xiàng)分析法（適合于整個(gè)數(shù)列特征不明顯，但是奇數(shù)項(xiàng)之間以及偶數(shù)項(xiàng)之間有明顯的等差數(shù)列特征或等比數(shù)列特征）． 8.【xx高考山東，理18】設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為.已知. （I）求的通項(xiàng)公式； （II）若數(shù)列滿足，求的前n項(xiàng)和. 【答案】（I）; （II）. 【考點(diǎn)定位】1、數(shù)列前 項(xiàng)和 與通項(xiàng) 的關(guān)系；2、特殊數(shù)列的求和問題. 【名師點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的基本概念與運(yùn)算，意在考查學(xué)生的邏輯思維能力與運(yùn)算求解能力，思維的嚴(yán)密性和運(yùn)算的準(zhǔn)確性，在利用與通項(xiàng)的關(guān)系求的過程中，一定要注意 的情況，錯(cuò)位相減不法雖然思路成熟但也對(duì)學(xué)生的運(yùn)算能力提出了較高的要求. 9. 【xx高考安徽，文18】已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，且 （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 【考點(diǎn)定位】本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、性質(zhì)，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，以及利用裂項(xiàng)相消法求和. 【名師點(diǎn)睛】本題利用“若，則”，是解決本題的關(guān)鍵，同時(shí)考生發(fā)現(xiàn)是解決本題求和的關(guān)鍵,本題考查了考生的基礎(chǔ)運(yùn)算能力. 10.【xx高考廣東，文19】（本小題滿分14分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，．已知，，，且當(dāng) 時(shí)，． （1）求的值； （2）證明：為等比數(shù)列； （3）求數(shù)列的通項(xiàng)公式． 【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）． （3）由（2）知：數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，所以 11.【xx高考天津，理18】已知數(shù)列滿足，且 成等差數(shù)列. (I)求的值和的通項(xiàng)公式； (II)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 【答案】(I) ; (II) . 【考點(diǎn)定位】等差數(shù)列定義、等比數(shù)列及前項(xiàng)和公式、錯(cuò)位相減法求和. 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查等差、等比數(shù)列定義與性質(zhì)，求和公式以及錯(cuò)位相減法求和的問題，通過等差數(shù)列定義、等比數(shù)列性質(zhì)，分為奇偶數(shù)討論求通項(xiàng)公式，并用錯(cuò)位相減法基本思想求和.是中檔題. 12.【xx高考重慶，理22】在數(shù)列中， （1）若求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）若證明： 【答案】（1）；（2）證明見解析. 【解析】 若存在某個(gè)，使得，則由上述遞推公式易得，重復(fù)上述過程可得，此與矛盾，所以對(duì)任意,. 從而，即是一個(gè)公比的等比數(shù)列. 故. 求和得 另一方面，由上已證的不等式知得 綜上： 【考點(diǎn)定位】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列的遞推公式，不等式的證明，放縮法.，考查探究能力和推理論證能力，考查創(chuàng)新意識(shí)． 【名師點(diǎn)晴】數(shù)列是考查考生創(chuàng)新意識(shí)與實(shí)踐精神的最好素材．從近些年的高考試題來看，一些構(gòu)思精巧、新穎別致、極富思考性和挑戰(zhàn)性的數(shù)列與方程、函數(shù)(包括三角函數(shù))、不等式以及導(dǎo)數(shù)等的綜合性試題不斷涌現(xiàn)，這部分試題往往以壓軸題的形式出現(xiàn)，考查綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，突出知識(shí)的融會(huì)貫通．?dāng)?shù)列的問題難度大，往往表現(xiàn)在與遞推數(shù)列有關(guān)，遞推含義趨廣，不僅有數(shù)列前后項(xiàng)的遞推，更有關(guān)聯(lián)數(shù)列的遞推，更甚的是數(shù)列間的“復(fù)制”式遞推；從遞推形式上看，既有常規(guī)的線性遞推，還有分式、三角、分段、積(冪)等形式．在考查通性通法的同時(shí)，突出考查思維能力、代數(shù)推理能力、分析問題解決問題的能力． 本題第（1）小題通過遞推式證明數(shù)列是等比數(shù)列，從而應(yīng)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得通項(xiàng)，第（2）小題把數(shù)列與不等式結(jié)合起來，利用數(shù)列的遞推式證明數(shù)列是單調(diào)數(shù)列，利用放縮法證明不等式，難度很大． 13.【xx高考四川，理16】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，且成等差數(shù)列. （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）記數(shù)列的前n項(xiàng)和，求得成立的n的最小值. 【答案】（1）；（2）10. 【考點(diǎn)定位】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念、等比數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力. 【名師點(diǎn)睛】凡是有與間的關(guān)系，都是考慮消去或（多數(shù)時(shí)候是消去，得與間的遞推關(guān)系）.在本題中，得到與間的遞推關(guān)系式后，便知道這是一個(gè)等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的相關(guān)公式即可求解.等差數(shù)列與等比數(shù)列是高考中的必考內(nèi)容，多屬容易題，考生應(yīng)立足得滿分. 14.【xx高考湖北，理18】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的公比為．已知，，，． （Ⅰ）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，記，求數(shù)列的前項(xiàng)和． 【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）. . ② ①-②可得， 故. 【考點(diǎn)定位】等差數(shù)列、等比數(shù)列通項(xiàng)公式，錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和. 【名師點(diǎn)睛】錯(cuò)位相減法適合于一個(gè)由等差數(shù)列及一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積組成的數(shù)列．考生在解決這類問題時(shí)，都知道利用錯(cuò)位相減法求解，也都能寫出此題的解題過程，但由于步驟繁瑣、計(jì)算量大導(dǎo)致了漏項(xiàng)或添項(xiàng)以及符號(hào)出錯(cuò)等．兩邊乘公比后，對(duì)應(yīng)項(xiàng)的冪指數(shù)會(huì)發(fā)生變化，應(yīng)將相同冪指數(shù)的項(xiàng)對(duì)齊，這樣有一個(gè)式子前面空出一項(xiàng)，另外一個(gè)式子后面就會(huì)多了一項(xiàng)，兩項(xiàng)相減，除第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)外，剩下的項(xiàng)是一個(gè)等比數(shù)列． 15.【xx高考浙江，文17】（本題滿分15分）已知數(shù)列和滿足， . （1）求與； （2）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求. 【答案】(1)；(2) 【考點(diǎn)定位】1.等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；2.數(shù)列的遞推關(guān)系式；3.錯(cuò)位相減法求和. 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及數(shù)列的求和.根據(jù)數(shù)列遞推關(guān)系式推理得到數(shù)列的性質(zhì)和特點(diǎn)，以此得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法計(jì)算新組合的數(shù)列的求和問題.本題屬于中等題，主要考查學(xué)生基本的運(yùn)算能力. 【反饋練習(xí)】 1．【廣東省中山市第一中學(xué)xx學(xué)年高二上學(xué)期第二次統(tǒng)測(cè)數(shù)學(xué)（理）試題】在數(shù)列1，2， ， ， ，…中， 是這個(gè)數(shù)列的第（ ） A. 16項(xiàng) B. 24項(xiàng) C. 26項(xiàng) D. 28項(xiàng) 【答案】C 【解析】 數(shù)列可化為 ， 所以， 所以，解得，所以是這個(gè)數(shù)列的第項(xiàng)，故選C． 2．【江蘇省常州市xx屆高三上學(xué)期武進(jìn)區(qū)高中數(shù)學(xué)期中試卷（理）】已知數(shù)列中， ，對(duì)都有成立，則的值為________. 【答案】 3．【廣東省中山市第一中學(xué)xx學(xué)年高二上學(xué)期第二次統(tǒng)測(cè)數(shù)學(xué)（理）試題】若數(shù)列的前項(xiàng)和，則它的通項(xiàng)公式為________． 【答案】 【解析】由題意得，當(dāng)時(shí)， ， 當(dāng)時(shí)， ， 所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為． 4．【廣西玉林、貴港市xx屆高三下學(xué)期質(zhì)量檢測(cè)考試數(shù)學(xué)（理）試題】已知數(shù)列中， ， （）. （1）求證： 是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式； （2）數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和為. 【答案】（1）（2） 5．【安徽省淮北市第一中學(xué)xx學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（理）試題】已知數(shù)列滿足，且（且）. （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)之和，求證： . 【答案】（1）；（2）見解析 【解析】（1）∵an=2an﹣1+2n（≥2，且n∈N*）∴∴，∴數(shù)列{}是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列； ∴； （2）∵Sn=，∴2Sn=，兩式相減可得﹣Sn=1+22+23+…+2n﹣=（3﹣2n）?2n﹣3，∴Sn=（2n﹣3）?2n+3＞（2n﹣3）?2n ∴． 5．【安徽省阜陽市太和中學(xué)xx學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（文）試題】已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足，且，其中. （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)之和為，對(duì)任意的，總有，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【答案】(1) (2) ∴實(shí)數(shù)的取值范圍是. 【方法點(diǎn)晴】本題主要考查等比數(shù)列的定義以及已知數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)，不等式恒成立問題，屬于難題.由數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)常用的方法有：（1）等差數(shù)列、等比數(shù)列（先根據(jù)條件判定出數(shù)列是等差、等比數(shù)數(shù)列）；（2）累加法，相鄰兩項(xiàng)的差成等求和的數(shù)列可利用累加求通項(xiàng)公式；（3）累乘法，相鄰兩項(xiàng)的商是能求出積的特殊數(shù)列時(shí)用累乘法求通項(xiàng)；（4）構(gòu)造法，形如的遞推數(shù)列求通項(xiàng)往往用構(gòu)造法，即將利用待定系數(shù)法構(gòu)造成的形式，再根據(jù)等比數(shù)例求出的通項(xiàng)，進(jìn)而得出的通項(xiàng)公式. 6．【安徽省阜陽市太和中學(xué)xx學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（文）試題】（1）設(shè)數(shù)列滿足且，求的通項(xiàng)公式； （2）數(shù)列的前項(xiàng)和，求數(shù)列的通項(xiàng)公式. 【答案】(1) (2) 7．【重慶市第一中學(xué)xx屆高三11月月考數(shù)學(xué)（理）試題】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足： ， ， （）． （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）求數(shù)列的前項(xiàng)和． 【答案】(1) ;(2) 8．【天津市耀華中學(xué)xx屆高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)（理）試題】已知曲線： ， ： （），從上的點(diǎn)作軸的垂線，交于點(diǎn)，再從點(diǎn)作軸的垂線，交于點(diǎn).設(shè)， ， . （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證： ； （Ⅲ）若已知（），記數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，試比較與的大小. 【答案】（1） ；（2）見解析；（3）見解析. 試題解析：（1）依題意點(diǎn)的坐標(biāo)為， ∴∴ ∴ . （2）∵，所以： ， ∴當(dāng)時(shí)， ， ∴ （當(dāng)時(shí)取“”）. 9．【福建省閩侯縣第八中學(xué)xx學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)（理）試題】已知函數(shù)，數(shù)列滿足， . （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)一切正整數(shù)都成立，求最小的正整數(shù)的值. 【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)xx. 【解析】試題分析： （Ⅱ）因?yàn)? 所以的前項(xiàng)和為 令，解得 又，最小的正整數(shù)的值為xx. 點(diǎn)睛：使用裂項(xiàng)法求和時(shí)，要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫未被消去的項(xiàng)，未被消去的項(xiàng)有前后對(duì)稱的特點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目的． 10．【天津市第一中學(xué)xx屆高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)（理）試題】已知數(shù)列滿足，且. (1)求 的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和； (3)設(shè)，證明： 【答案】（1）（2）（3）詳見解析 （2） (3) 為奇 為偶 11．【湖北省八校xx屆高三上學(xué)期第一次聯(lián)考（12月）數(shù)學(xué)（理）試題】已知數(shù)列滿足. （1）求證是等比數(shù)列； （2）求的通項(xiàng)公式. 【答案】（1）證明見解析；（2）. （2）由（1）可得， ， 是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列， . 12．【河南省平頂山市郟縣第一高級(jí)中學(xué)xx學(xué)年高二上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)（文）試題】已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)， 是數(shù)列的前項(xiàng)和，且. （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）已知，求的值. 【答案】（1） （2） （2） ③ 又 ④