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2019-2020年（新課程）高中數(shù)學《1.3.2-2 函數(shù)奇偶性的應用》課外演練 新人教A版必修1 一、選擇題 1．有下列4個命題： ①偶函數(shù)的圖象一定與縱軸相交； ②奇函數(shù)的圖象一定通過原點； ③即是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)一定是f(x)＝0(x∈R)； ④偶函數(shù)的圖象關(guān)于縱軸對稱． 其中正確的命題有 (　　) A．1個　　　　　　　　 B．2個 C．3個 D．4個 解析：只有④正確，③中x∈R，定義域只要關(guān)于原點對稱即可．函數(shù)f(x)＝0不唯一． 答案：A 2．若函數(shù)y＝f(x)的定義域是[0,1]，則下列函數(shù)中，可能是偶函數(shù)的一個為 (　　) A．y＝[f(x)]2 B．y＝f(2x) C．y＝f(|x|) D．y＝f(－x) 解析：A、B、D三項函數(shù)的定義域不關(guān)于原點對稱． 答案：C 3．已知y＝f(x)是偶函數(shù)，且其圖象與x軸有4個交點，則方程f(x)＝0的所有實根之和是 (　　) A．0 B．1 C．2 D．4 解析：∵f(x)是偶函數(shù)，且f(－x)＝f(x)． 答案：A 4．設(shè)f(x)是定義在R上的任意一個增函數(shù)，G(x)＝f(x)－f(－x)，則G(x)必定為 (　　) A．增函數(shù)且為奇函數(shù) B．增函數(shù)且為偶函數(shù) C．減函數(shù)且為奇函數(shù) D．減函數(shù)且為偶函數(shù) 解析：f(x)的定義域為R，則G(x)＝f(x)－f(－x)的定義域為R，又G(－x)＝f(－x)－f(x)＝－G(x)， ∴G(x)為奇函數(shù)．設(shè)x1f(－x2) ∴f(x1)－f(x2)<0，－[f(－x1)－f(－x2)]<0， 即G(x1)f(－x2) B．f(－x1)＝f(－x2) C．f(－x1)0時f(x)遞減，∴f(－x1)>f(－x2)． 答案：A 6．f(x)是R上的奇函數(shù)，且f(x＋2)＝－f(x)，當0≤x≤1時，f(x)＝x，則f(7.5)為 (　　) A．0.5 B．－0.5 C．1.5 D．－1.5 解析：f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(7.5)＝f(3.5)＝f(－0.5＋4)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5. 答案：B 二、填空題 7．若y＝(a－1)x2－2ax＋3為偶函數(shù)，則在(－∞，3]內(nèi)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為________． 解析：a＝0，y＝－x2＋3結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性知． 答案：(－∞，0)上為增函數(shù)，在[0,3]上為減函數(shù)． 8．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函數(shù)，則g(x)＝ax3＋bx2＋cx的奇偶性是________． 解析：∵f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函數(shù)，∴b＝0，g(x)＝ax3＋cx，即為奇函數(shù)． 答案：奇函數(shù) 9．設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)恒大于0，則下列函數(shù)：①y＝－f(x)f(－x)，②y＝xf(x2)，③y＝－f(－x)，④y＝f(x)－f(－x)中必為奇函數(shù)的有________．(要求填寫正確答案的序號) 解析：令g(x)＝－f(x)f(－x)，則g(－x)＝－f(－x)f(x)＝g(x)，∴y＝－f(x)f(－x)為偶函數(shù)； 令g(x)＝xf(x2)，則g(－x)＝(－x)f[(－x)2]＝－xf(x2)＝－g(x)，∴y＝xf(x2)為奇函數(shù)． 令g(x)＝－f(－x)，則g(－x)＝－f(x)與g(x)＝－f(－x)不一定有關(guān)系，∴y＝－f(－x)不一定是奇函數(shù)． 令g(x)＝f(x)－f(－x)，則g(－x)＝f(－x)－f(x)＝－[f(x)－f(－x)]＝－g(x)，∴y＝f(x)－f(－x)為奇函數(shù)． 答案：②④ 三、解答題 10．已知f(x)是奇函數(shù)，且當x>0時，f(x)＝x|x－2|，求x<0時，f(x)的表達式． 解：∵x<0，則－x>0， ∴f(－x)＝(－x)|(－x)－2|. 又f(x)為奇函數(shù)， ∴f(x)＝－f(－x)＝－(－x)|(－x)－2|＝ x|x＋2|. 故當x<0時，f(x)＝x|x＋2|. 11．已知函數(shù)f(x)對一切x、y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)， (1)求證：f(x)是奇函數(shù)； (2)若f(－3)＝a，試用a表示f(12)． 解：(1)由已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)， 令y＝－x得f(0)＝f(x)＋f(－x)， 令x＝y(tǒng)＝0得f(0)＝2f(0)，∴f(0)＝0. ∴f(x)＋f(－x)＝0， 即f(－x)＝－f(x)， 故f(x)是奇函數(shù)． (2)∵f(x)為奇函數(shù)． ∴f(－3)＝－f(3)＝a， ∴f(3)＝－a. 又f(12)＝f(6)＋f(6)＝2f(3)＋2f(3)＝4f(3)， ∴f(12)＝－4a. 12．設(shè)f(x)是定義在[－1,1]上的奇函數(shù)，對任意a、b∈[－1,1]，當a＋b≠0時，都有>0. (1)若a>b，試比較f(a)與f(b)的大小； (2)解不等式f(x－)b，則a－b>0，依題意有 >0成立，∴f(a)＋f(－b)>0. 又∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(a)－f(b)>0，即f(a)>f(b)． (2)由(1)可知f(x)在[－1,1]上是增函數(shù)．則所求不等式等價于