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2019年高中數(shù)學 第一章 計數(shù)原理 課時跟蹤檢測（一）兩個計數(shù)原理及其簡單應用 新人教A版選修2-3 1．從甲地到乙地一天有汽車8班，火車3班，輪船2班，某人從甲地到乙地，他共有不同的走法數(shù)為(　　) A．13種　　　　　　　 　B．16種 C．24種 D．48種 解析：選A　應用分類加法計數(shù)原理，不同走法數(shù)為8＋3＋2＝13(種)． 2．從集合中任取兩個互不相等的數(shù)a，b組成復數(shù)a＋bi，其中虛數(shù)有(　　) A．30個　　　　　　 　B．42個 C．36個 D．35個 解析：選C　∵a＋bi為虛數(shù)，∴b≠0，即b有6種取法，a有6種取法，由分步乘法計數(shù)原理知可以組成66＝36個虛數(shù)． 3．甲、乙兩人從4門課程中各選修1門，則甲、乙所選的課程不相同的選法共有(　　) A．6種 B．12種 C．30種 D．36種 解析：選B　∵甲、乙兩人從4門課程中各選修1門，∴由分步乘法計數(shù)原理，可得甲、乙所選的課程不相同的選法有43＝12種． 4．已知兩條異面直線a，b上分別有5個點和8個點，則這13個點可以確定不同的平面?zhèn)€數(shù)為(　　) A．40 B．16 C．13 D．10 解析：選C　分兩類：第1類，直線a與直線b上8個點可以確定8個不同的平面； 第2類，直線b與直線a上5個點可以確定5個不同的平面． 故可以確定8＋5＝13個不同的平面． 5．從集合中，選出5個數(shù)組成的子集，使得這5個數(shù)中任意兩個數(shù)的和都不等于11，則這樣的子集有(　　) A．32個 B．34個 C．36個 D．38個 解析：選A　先把數(shù)字分成5組：{1,10}，{2,9}，{3,8}，{4,7}，{5,6}，由于選出的5個數(shù)中，任意兩個數(shù)的和都不等于11，所以從每組中任選一個數(shù)字即可，故共可組成22222＝32個這樣的子集． 6．一個禮堂有4個門，若從任一個門進，從任一門出，共有不同走法________種． 解析：從任一門進有4種不同走法，從任一門出也有4種不同走法，故共有不同走法44＝16種． 答案：16 7．將三封信投入4個郵箱，不同的投法有________種． 解析：第一封信有4種投法，第二封信也有4種投法，第三封信也有4種投法，由分步乘法計數(shù)原理知，共有不同投法43＝64種． 答案：64 8.如圖所示，在A，B間有四個焊接點，若焊接點脫落，則可能導致電路不通．今發(fā)現(xiàn)A，B之間線路不通，則焊接點脫落的不同情況有　　　　種． 解析：按照焊接點脫落的個數(shù)進行分類： 第1類，脫落1個，有1,4，共2種； 第2類，脫落2個，有(1,4)，(2,3)，(1,2)，(1,3)，(4,2)，(4,3)，共6種； 第3類，脫落3個，有(1,2,3)，(1,2,4)，(2,3,4)，(1,3,4)，共4種； 第4類，脫落4個，有(1,2,3,4)，共1種． 根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有2+6+4+1=13種焊接點脫落的情況． 答案：13 9．若x，y∈N*，且x＋y≤6，試求有序自然數(shù)對(x，y)的個數(shù)． 解：按x的取值進行分類： x＝1時，y＝1,2，…，5，共構成5個有序自然數(shù)對； x＝2時，y＝1,2，…，4，共構成4個有序自然數(shù)對； … x＝5時，y＝1，共構成1個有序自然數(shù)對． 根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有N＝5＋4＋3＋2＋1＝15個有序自然數(shù)對． 10．現(xiàn)有高一四個班的學生34人，其中一、二、三、四班分別有7人、8人、9人、10人，他們自愿組成數(shù)學課外小組． (1)選其中一人為負責人，有多少種不同的選法？ (2)每班選一名組長，有多少種不同的選法？ (3)推選兩人做中心發(fā)言，這兩人需來自不同的班級，有多少種不同的選法？ 解：(1)分四類：第一類，從一班學生中選1人，有7種選法；第二類，從二班學生中選1人，有8種選法；第三類，從三班學生中選1人，有9種選法；第四類，從四班學生中選1人，有10種選法． 所以共有不同的選法N＝7＋8＋9＋10＝34(種)． (2)分四步：第一、二、三、四步分別從一、二、三、四班學生中選一人任組長． 所以共有不同的選法N＝78910＝5 040(種)． (3)分六類，每類又分兩步：從一、二班學生中各選1人，有78種不同的選法；從一、三班學生中各選1人，有79種不同的選法；從一、四班學生中各選1人，有710種不同的選法；從二、三班學生中各選1人，有89種不同的選法；從二、四班學生中各選1人，有810種不同的選法；從三、四班學生中各選1人，有910種不同的選法． 所以，共有不同的選法N＝78＋79＋710＋89＋810＋910＝431(種)． 1．(a1＋a2)(b1＋b2)(c1＋c2＋c3)完全展開后的項數(shù)為(　　) A．9　　　　　　　　 　B．12 C．18 D．24 解析：選B　每個括號內各取一項相乘才能得到展開式中的一項，由分步乘法計數(shù)原理得，完全展開后的項數(shù)為223＝12. 2．(全國卷Ⅰ)如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為(　　) A．24 B．18 C．12 D．9 解析：選B　由題意可知E→F有6種走法，F(xiàn)→G有3種走法，由分步乘法計數(shù)原理知，共63＝18種走法，故選B． 3．有4件不同顏色的襯衣，3件不同花樣的裙子，另有2套不同樣式的連衣裙．“五一”節(jié)需選擇一套服裝參加歌舞演出，則有幾種不同的選擇方式(　　) A．24 B．14 C．10 D．9 解析：選B　第一類：一件襯衣，一件裙子搭配一套服裝有43＝12種方式；第二類：選2套連衣裙中的一套服裝有2種選法．∴由分類加法計數(shù)原理得，共有12＋2＝14(種)選擇方式． 4．從－2，－1,0,1,2,3這六個數(shù)字中任選3個不重復的數(shù)字作為二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的系數(shù)a，b，c，則可以組成頂點在第一象限且過原點的拋物線條數(shù)為(　　) A．6 B．20 C．100 D．120 解析：選A　分三步：第一步c＝0只有1種方法； 第二步確定a：a從－2，－1中選一個，有2種不同方法； 第三步確定b：b從1,2,3中選一個，有3種不同的方法． 根據(jù)分步乘法計數(shù)原理得共有123＝6種不同的方法，故所求拋物線的條數(shù)共6條． 5．圓周上有2n個等分點(n大于2)，任取3個點可得一個三角形，恰為直角三角形的個數(shù)為________． 解析：先在圓周上找一點，因為有2n個等分點，所以應有n條直徑，不過該點的直徑應有n－1條，這n－1條直徑都可以與該點形成直角三角形，即一個點可形成n－1個直角三角形，而這樣的點有2n個，所以一共可形成2n(n－1)個符合條件的直角三角形． 答案：2n(n－1) 6．用0,1，…，9十個數(shù)字，可以組成有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為________． 解析：0,1,2，…，9共能組成91010＝900(個)三位數(shù)，其中無重復數(shù)字的三位數(shù)有998＝648(個)，∴有重復數(shù)字的三位數(shù)有900－648＝252(個)． 答案：252 7．某校高二共有三個班，各班人數(shù)如下表. 男生人數(shù) 女生人數(shù) 總人數(shù) 高二(1)班 30 20 50 高二(2)班 30 30 60 高二(3)班 35 20 55 (1)從三個班中選1名學生任學生會主席，有多少種不同的選法？ (2)從高二(1)班、(2)班男生中或從高二(3)班女生中選1名學生任學生會生活部部長，有多少種不同的選法？ 解：(1)從每個班選1名學生任學生會主席，共有3類不同的方案： 第1類，從高二(1)班中選出1名學生，有50種不同的選法； 第2類，從高二(2)班中選出1名學生，有60種不同的選法； 第3類，從高二(3)班中選出1名學生，有55種不同的選法． 根據(jù)分類加法計數(shù)原理知，從三個班中選1名學生任學生會主席，共有50＋60＋55＝165種不同的選法． (2)從高二(1)班、(2)班男生或高二(3)班女生中選1名學生任學生會生活部部長，共有3類不同的方案： 第1類，從高二(1)班男生中選出1名學生，有30種不同的選法； 第2類，從高二(2)班男生中選出1名學生，有30種不同的選法； 第3類，從高二(3)班女生中選出1名學生，有20種不同的選法． 根據(jù)分類加法計數(shù)原理知，從高二(1)班、(2)班男生或高二(3)班女生中選1名學生任學生會生活部部長，共有30＋30＋20＝80種不同的選法． 8．已知集合A＝{a1，a2，a3，a4}，集合B＝{b1，b2}，其中ai，bj(i＝1,2,3,4，j＝1,2)均為實數(shù)． (1)從集合A到集合B能構成多少個不同的映射？ (2)能構成多少個以集合A為定義域，集合B為值域的不同函數(shù)？ 解：(1)因為集合A中的每個元素ai(i＝1,2,3,4)與集合B中元素的對應方法都有2種，由分步乘法計數(shù)原理，可構成A→B的映射有N＝24＝16個． (2)在(1)的映射中，a1，a2，a3，a4均對應同一元素b1或b2的情形此時構不成以集合A為定義域，以集合B為值域的函數(shù)，這樣的映射有2個． 所以構成以集合A為定義域，以集合B為值域的函數(shù)有M＝16－2＝14個．