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1、 第一課時集合－集合的概念 教學目的： （ 1）使學生初步理解集合的概念，知道常用數(shù)集的概念及記法 （ 2）使學生初步了解“屬于”關(guān)系的意義 （ 3）使學生初步了解有限集、無限集、空集的意義教學重點： 集合的基本概念及表示方法 教學難點： 運用集合的兩種常用表示方法——列舉法與描述法，正確表示 一些簡單的集合 授課類型： 新授課 課時安排： 1 課時羅華的手稿 1831 年 1 月伽羅華在 教 具： 多媒體個結(jié)論，他寫成論文提交給法國科、實物投影儀 內(nèi)容分析： 1 ．集合是中學數(shù)已證明的一個結(jié)果可以表明伽羅華

2、學的一個重要的基本概念在小學數(shù) 學中， 就滲透了集合的初步概念， 到了初議科學院否定它 1832 年 5 月 30 日中，更進一步應(yīng)用集合的語言表述一些問題例如， 在代數(shù)中用到的有數(shù)集、 解忙寫成后， 委托他的朋友薛伐里葉集等； 在幾何中用到的有點集至于邏輯， 可以說， 從開始學習數(shù)學就離不開對造福人類 1832 年 5 月 31 日離開了邏輯知識的掌握和運用，基本的邏輯知識在日常生活、學習、工作中，也是認識，他死后 14 年，法國數(shù)學家劉維問題、研究問題不可缺少的工具這些可以幫助學生認識學習本章的意義，也是于劉維爾主編的《數(shù)學雜志》上本章學習的基礎(chǔ) 把集合的初步知識與簡易邏輯知識

3、安排在高中數(shù)學的最開始， 是因為在高中數(shù)學中， 這些知識與其他內(nèi)容有著密切聯(lián)系， 它們是學習、 掌握和使用數(shù)學語言的基礎(chǔ)例如， 下一章 講函數(shù)的概念與性質(zhì)，就離不開集合與邏輯 本節(jié)首先從初中代數(shù)與幾何涉及的集合實例入手，引出集合與集合的元素的概念， 并且結(jié)合實例對集合的概念作了說明然后， 介紹了集合的常用表示方法， 包括列舉法、 描述 法，還給出了畫圖表示集合的例子 這節(jié)課主要學習全章的引言和集合的基本概念學習引言是引發(fā)學生的學習興趣，使 學生認識學習本章的意義本節(jié)課的教學重點是集合的基本概念 集合是集合論中的原始的、 不定義的概念在開始接觸集合

4、的概念時， 主要還是通過 實例，對概念有一個初步認識教科書給出的“一般地， 某些指定的對象集在一起就成為一個 集合，也簡稱集”這句話，只是對集合概念的描述性說明 教學過程： 一、復(fù)習引入： 1．簡介數(shù)集的發(fā)展，復(fù)習最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)，質(zhì)數(shù)與和數(shù)； 2．教材中的章頭引言； 3．集合論的創(chuàng)始人——康托爾（德國數(shù)學家） （見附錄）； 4．“物以類聚” ，“人以群分” ； 5．教材中例子（ P4） 二、講解新課： 閱讀教材第一部分，問題如下： （ 1）有那些概念？是如何定義的？ （ 2）有那些符號？是如何表示的？

5、（ 3）集合中元素的特性是什么？ （一）集合的有關(guān)概念： 用心 愛心 專心 1 由一些數(shù)、一些點、一些 形、一些整式、一些物體、一些人 成的 . 我 ，每 一 象的全體形成一個集合，或者 ，某些指定的 象集在一起就成 一個 集合 ， 也 稱 集 . 集合中的每個 象叫做 個集合的元素 . 定 ： 一般地，某些指定的 象集在一起就成 一個 集合． 1、集合的概念 （ 1）集合 ：某些指定的 象集在一起就形成一個集合（ 稱 集） （ 2）元素 ：集合中每個 象叫做 個集合的元素 （ 3）元素 于集合的隸屬關(guān)

6、系 （ 4）集合中元素的特性 確定性 ：按照明確的判斷 準 定一個元素或者在 個集合里，或者不在，不能模棱兩可 在 稱屬于，即 a 是集合 A 的元素，就 a 屬于 A， 作 a∈ A 集合通常用大寫的拉 丁字母表示，如 A、B、C、P、Q??元素通常用小寫的拉丁字母表示，如 a、b、c、p、q?? “∈”的開口方向，不能把 a∈A 倒 來寫 不在 稱，不屬于：如果 a 不是集合 A 的元素，就 a 不屬于 A， 作 a A 互異性 ：集合中的元素沒有重復(fù) 無序性 ：集合中的元素沒有一定的 序（通常用正常的 序?qū)懗觯? 2 、集合的表示方法

7、： （ 1）列 法：在大括號內(nèi)將集合中的元素一個個列 出來，元素之 用逗號隔開，具體又分以下三種情況： ①元素個數(shù)少且有限 ，全部列 ；如 {1 ， 2， 3} ②元素個數(shù)多且有限 ， 可以列 部分， 中 用省略號表示， 列 幾個元素，取決于能否 普遍看出其 律，稱中 省略列 。如“所有從 1 到 10000 的自然數(shù)全體”可以表示 {1 ， 2， 3，??， 10000} ； ③三是當元素個數(shù)無限但有 律 ， 也可以用 似的省略號列 ， 如：自然數(shù)構(gòu)成的集合， 可以表示 {0 ， 1， 2， 3， 4，?? } ，稱端省略列 。 ⑵描述法

8、 它又可 分 文字描述及屬性描述法兩 ：前者是在大括號內(nèi)用文字寫出集合的屬性，由于括號本身含有了“所有” 、“全部”的意 ，故 似的量 要去掉，如：全體自然數(shù)構(gòu)成 的集合寫成 { 自然數(shù) } 而不寫成 { 全體自然數(shù) } ：特征描述法是集合中最廣泛、 最抽象的一種表 示方法，其格式一般 { 元素的一般形式 | 元素的特征 } ，如：{(x,y)|y=x 2,x ∈ R}={ 拋物 y=x2 上 的 點 } ， 而 {y|y=x 2,x ∈ R} 表 示 函 y=x 2 的 y 的 取 值 范 圍 ； 方 程 x2-1=0 的 解 集 為 {x|x 2-

9、1=0}={-1,1}, 不是 {x 2-1=0} （它 是用列 法表示的一個集合， 個集合中只有一 個元素，就是方程 x2-1=0, 不是它解的集合。 （ 3） 示法 一是一 數(shù) 表示， 如初中 段所學的不等式解集表示方法， 其原理是數(shù) 的定 與數(shù) 上的點與 數(shù)一一 ；二是直角坐 表示，如 { （ x,y ） |y=x 2 }; 三是 Venn ，即畫個 圈表示集合（有的 上稱文氏兔、文斯 ） ； （ 4）符號表示法分 符號法及區(qū) 表示法：常用數(shù)集及 法 非 整數(shù)集 （自然數(shù)集）：全體非 整數(shù)的集合 作 N， N 0,1,2,

10、正整數(shù)集 ：非 整數(shù)集內(nèi)排除 0 的集 作 N* 或 N+ N * 1,2,3, 用心 愛心 專心 2 整數(shù)集 ：全體整數(shù)的集合記作 Z , Z 0， 1， 2， 有理數(shù)集 ：全體有理數(shù)的集合記作 Q , Q 整數(shù)與分數(shù) 實數(shù)集 ：全體實數(shù)的集合記作 R R 數(shù)軸上所有點所對應(yīng)的 數(shù) 不含任何元素的集合稱空集，符號為 注：（ 1）自然數(shù)集與非負整數(shù)集是相同的，也就是說，自然數(shù)集包括 數(shù) 0 （ 2）非負整數(shù)集內(nèi)排除 0 的集記作 N* 或 N+ Q、 Z、 R 等其它

11、 數(shù)集內(nèi)排除 0 的集，也是這樣表示，例如，整數(shù)集內(nèi)排除 0 的集，表示成 Z* 3，集合的分類： 有限集（元素的個數(shù)有 限個，含有空集） 按元素的個數(shù)分作 無限集（元素的個數(shù)有 無限個） 三、練習題： 1、下列各組對象能確定一個集合嗎？ （ 1）所有很大的實數(shù)（不確定） （ 2）好心的人 （不確定） （ 3） 1， 2， 2，3， 4， 5．（有重復(fù)） a b _-2,0,2__ 2、設(shè) a,b 是非零實數(shù)，那么 可能取的值組成集合的元素是 a b 3、由實數(shù) x, －x, ｜ x｜ , x 2 ,

12、 3 x3 所組成的集合，最多含（ A ） （ A）2 個元素 （ B） 3 個元素 （C） 4 個元素 （ D）5 個元素 4、設(shè)集合 G中的元素是所有形如 a＋ b 2 （ a∈ Z, b ∈ Z）的數(shù)，求證： (1) 當 x∈ N時 , x ∈ G; (2) 若 x∈ G， y∈ G，則 x＋ y∈G，而 1 不一定屬于集合 G x 證明 (1) ：在 a＋ b 2 （a∈ Z, b ∈ Z）中，令 a=x∈N,b=0, 則 x= x ＋ 0* 2 = a ＋ b 2 ∈ G,即 x∈ G 證明

13、(2) ：∵ x∈G， y∈ G， ∴ x= a ＋ b 2 （a∈ Z, b ∈ Z） ,y= c ＋ d 2 （ c∈ Z, d ∈ Z） ∴ x+y=( a ＋ b 2 )+( c ＋ d 2 )=(a+c)+(b+d) 2 ∵ a∈ Z, b ∈ Z,c ∈ Z, d ∈Z ∴ (a+c) ∈ Z, (b+d) ∈ Z 用心 愛心 專心 3 ∴ x+y =(a+c)+(b+d) 2 ∈ G， 又∵ 1 1 ＝ a 2b2 a2 b 2

14、 x a b 2 a2 2b 2 且 a , b 不一定都是整數(shù)， 2 2b 2 2 2b 2 a a ∴ 1 1 ＝ a a 2 b 2 不一定屬于集合 G x a b 2 a2 2b 2 2b2 四、小結(jié)： 本節(jié)課學習了以下內(nèi)容： 1．集合的有關(guān)概念： 確定性，互異性，無序性 列舉法 2．集合的表示 描述法 圖示法 符號表示法 五、

15、課后作業(yè) ：教材 P7____1~5 第二課時 集合表示法的轉(zhuǎn)換 教學目的：（ 1）進一步理解集合的有關(guān)概念，熟記常用數(shù)集的概念及記法 （ 2）使學生初步了解有限集、無限集、空集的意義 （ 3）會運用集合的兩種常用表示方法 教學重點： 集合的表示方法 教學難點： 運用集合的列舉法與描述法，正確表示一些簡單的集合 授課類型： 新授課 課時安排： 1 課時 教學過程： 一、復(fù)習引入： 上節(jié)所學集合的有關(guān)概念 1、集合的概念 集合 ：某些指定的對象集在一起就形成一個集合集合具有 （ 1）確定性 ：按照明

16、確的判斷標準給定一個元素或者在這個集合里，或者不在，不能模棱兩可 （ 2）互異性 ：集合中的元素沒有重復(fù) （ 3）無序性 ：集合中的元素沒有一定的順序（通常用正常的順序?qū)懗觯? 2、集合的表示方法 列舉法（含全部列舉、 中間省略列舉、端省略 列舉） 描述法（含文字描述及 特征描述） 圖示法（含數(shù)軸、直角 坐標、 Venn圖表示） 符號表示法（常用數(shù)集 及空集） 二，新課 1，其實，在符號表示法中還有一種方法——區(qū)間表示法 用心 愛心 專心 4 集合 區(qū)間 讀法 {x|a

17、

18、： 列舉法 具體化 文字描述法 熟悉化 屬性描述法 簡單化 符號表示法 直觀化 圖示法 數(shù)學解題的關(guān)鍵也是這“四化” 3，典型例題 例 1、已知集合 A={a-2,2a 2+5a,10}, 且 -3 ∈ A, 求 a 解： a-2=-3 或 2a2 +5a=-3 故 a=-1 或 a=-3/2 當 a=-1 時， 2a2+5a=a-2=-3 與集合的互異性矛盾，舍去 當 a=-3/2 時，滿足條件 總之， a=-3/2 [ 說明 ] 由于解題過程中用到了不等價變形，所

19、以要進行檢驗 例 2 、已知集合 {1,a,b}={a,a 2 ,ab}, 求實數(shù) a,b 1 b a2 ab (a 1)( a b 1) 0 解[ 方法一 ] 1.b a2 ab ( a3 1)b 0 因 a≠1 故 a=-1,b=0 [ 方法二 ] 由已知 a 2 1 a2 b ∵a≠ 1 ∴a=-1,b=0 ab b 或 1 ab 練習： {m,m+d,m

20、+2d}={m,mq,mq 2}, 求 q （答案： q=-1/2 ） 例 3，已知集合 A={x|(a 2-1)x 2+(a+1)x+1=0,x ∈ R} 中僅有一個元素，求實數(shù) a 的值 解：本題分兩類進行 2 時 ,a=1 或 a=-1; 當 a=1 時， A={x|2x+1=0}={-1/2}, 滿足條件；當 a=-1 ⑴當 a -1=0 時,A= ，舍去。 ⑵當 a2-1 ≠ 0 時 ,a ≠ 1 且 a≠ -1 ，△ =0， a

21、=5/3 總之， a=5/3 或 1 例 4，已知 S 是滿足下列兩個條件的實數(shù)構(gòu)成的集合：① 1∈ S; ②若 a∈ S，則 1 ∈ 1 a 用心 愛心 專心 5 S. 請回答下列問題 ⑴若 2∈ S, 求證 S 必有另外兩個數(shù)；⑵求證，若 a∈ S，則 1- 1 ∈ S； ⑶ S 中元素能否 a 只有一個？說明理由；⑷求證： S 中至少有三個不同的元素 解⑴ 2∈ S 1

22、1 1 -1 ， =-1 ∈ S =1/2 ∈ S =2∈ S,S 中必有另外兩個數(shù) 1 2 1 ( 1) 1 1 1/2 2 ⑵證明： a∈ S  1 ∈ S 1 1 = a 1 =1- 1 ∈ S 1 a 1 a a a 1 ⑶假設(shè) S 中元素只有一個，則 1 1 =a,a 2-a+1=0 有實數(shù)解，與 a2-a+1=0 沒有實數(shù)解矛 盾，故 S 中的元不能只

23、有一個 a ⑷由⑵ S 中，至少有 a, 1 ,1- 1 三個不同的元，只要證明三者兩兩不等。假設(shè) 1- 1 = 1 1 a a ，有 a2-a+1=0 但它沒有實數(shù)解，矛盾。同理，三者兩兩不等，從而 S 中至少有 a 1 a 三個不同的元素 4，總結(jié)： 本節(jié)主要在符號表示法上又加了區(qū)間表示的概念， 同時，集合表示法之間的轉(zhuǎn)化體現(xiàn)了數(shù)學解題的四大原則性思想 作業(yè)：見補充習題 用心 愛心 專心 6