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整數(shù)中的推理問題（B卷） 年級 班 姓名 得分 一、填空題 1.四年級三個班參加運動會,運動會上舉行跳高、跳遠和百米賽跑三項比賽,各取前3名,第一名得5分,第二名得3分,第三名得1分.已知1班進入前3名的人數(shù)最少,2班進入前3名人數(shù)是1班的2倍,而這兩個班所得總分相等，且是年級組的并列第1名,3班得了_______分. 2.A,B,C,D,E 5人在一次滿分為100分的考試中,得分都是大于91的整數(shù).如果A,B,C的平均分是95分;B,C,D的平均分是94;A是第一名;E是第三名得96分,問D得了_____分. 3.在一次象棋比賽中,規(guī)定每個選手必須與其他選手恰好比賽一盤,勝者得2分,負者不得分,平局各得1分.現(xiàn)有五名工作人員分別統(tǒng)計了全部選手的得分總數(shù),各為: 131分,132分,133分,134分和135分 當然,至少有四個數(shù)是錯的.經(jīng)核實,確有一個人統(tǒng)計結果正確.那么,有____名選手參加比賽? 4.由A,B,C三個班中各出3名學生比賽長跑.規(guī)定第一名得9分,第二名得8分,第三名得7分,…,第八名得2分,第九名得1分.比賽結果是三個班總分相等,而且九名學生沒有名次并列的,也沒有同一個班的學生獲得相連名次的.如果第一名是C班的,第二名是B班的,那么最后一名是______班的? 5.三名學生進行了若干科目的考試,以考得的名次進行記分.考得第一名得分最多,其次是第二名,第三名得分最少.各科都是如此記分.已知甲最后得22分,乙最后得9分,丙也是得9分.并且已知乙英語考試得了第一名,數(shù)學第二是_____. 6.A,B,C,D,E5人參加一次滿分為10分的考試. A說:“我得了4分.” B說:“5人中我得分最高.” C說:“我的得分是A與D的平均分.” D說:“我的得分是5個人的平均分.” E說:“我的得分是比C多2分,是第二名.” B得了______分. 7.甲乙共有圖書63冊,乙丙共有圖書77冊,三人中圖書最多的人的冊數(shù)是圖書最少的人的冊數(shù)的2倍.那么,甲乙丙三人分別有圖書______冊,______冊,______冊. 8.某樓住著4個女孩和兩個男孩,他們的年齡各不相同,最大的10歲,最小的4歲,最大的女孩比最小的男孩大4歲,最大的男孩比最小的女孩大4歲,最大的男孩的歲數(shù)是______. 9.一個能被8整除的三位數(shù),把它的數(shù)字順序顛倒,得到一個新的三位數(shù),這兩個三位數(shù)的和等于1111,這個三位數(shù)分別是______,______,_______. 10.將1,2,3,4,5,6,7,8八個數(shù)分成兩組,每組4個數(shù),并且兩組數(shù)之和相等.從A組拿一個數(shù)到B后,B組的數(shù)之和將是A組剩下的3數(shù)之和的2倍;從B組拿一個數(shù)到A組后,B組剩下的3數(shù)之和是A組5個數(shù)之和的. 第一組是_______,________,________,________. 第二組是_______,________,________,________. 二、解答題 11.從1至10十個整數(shù)中,選出5個數(shù)A,B,C,D,E滿足下面6個條件; (1)D比6大; (2)D能被C整除; (3)A與D的和等于B; (4)A,C,E三數(shù)之和等于D; (5)A與C的和比E小; (6)A與E的和比C與5的和小. 找出所有解答. 為了書寫方便,A =1,B =7,C =4,D =2,E =10(不是解答)可簡寫在(1,7,2,4,10). 12.A,B,C三人進行小口徑步槍射擊比賽,每個人射擊6次,并且都得了71分,三人共18次的得分情況,從小到大排列為: 1,1,1,2,2,3,3,5,5,10,10,10,20,20,20,25,25,50 已知A首先射擊兩次,共得22分;C第一次射擊只得3分,請根據(jù)條件判斷,是誰擊中了靶心(擊中靶心得50分). 13.某人的電話號碼是5位數(shù).下面10個5位數(shù) 17560 44356 41892 25731 78697 22171 90389 79500 53970 86075 其中每一個數(shù)與電話號碼,恰好在同一位上有一個相同的數(shù)字,求出這個電話號碼. 14.教師對五名學生進行了一次測驗,測驗成績按總分排列為:甲、乙、丙、丁、戊.考試的科目是英語、數(shù)學、歷史、物理和語文,記分辦法是每科第一名得5分,以下依次得分為4、3、2、1.現(xiàn)知道: (1)在同一科目中以及在總分中沒有得相同分數(shù)的人; (2)甲的總分是24分; (3)丙有四門功課得了相同的分數(shù); (4)戊的物理得5分,語文得3分; (5)丁的歷史得4分. 列出這次考試每個人的成績表. ———————————————答 案—————————————————————— 一、填空題 1. 3班得了7分 1班得的名次如果是3人,則2班需有6人得名次,但這樣一來全部9個名次均被2個班瓜分,卻無法產(chǎn)生并列第一名:全部得分[3(1+3+5)=]27是奇數(shù).因此1班至多只有2人得名次,而2人得名次還只能都拿第一名才能滿足與2班并列第一的要求,若有一人拿第二,則只能拿8分,而這不超過平均分(273=)9分.據(jù)此,1班和2班各得10分,3班必然得(27-102=)7分. 2. D得了97分. 分析B、C、D中誰是第二名.如果B是第二名,由E得96分,A,B得至少97.A,B,C三人平均95分 953-972=91,C最多91分,與題目條件不符合.同樣道理C也不是第二名.只能D是第二名.D最少97分,A最少100分. 3. 參賽選手有12名. 參賽選手中每兩人賽一盤,與若干個點、每兩點連一條線段相當.可用數(shù)線段方法算出比賽的總盤數(shù),每盤提供2分. 不論賽多少盤,選手所得的總分應是偶數(shù),所以,131分,133分和135分必不對. 設n個選手參賽,比賽盤數(shù): 總分數(shù): 這是兩個連續(xù)自然數(shù)之積.它的個位上數(shù)字有如下的可能: 0(45,56) 2(12,34,67,89) 6(23,78) 所以,134分必錯. 那么,正確的總分只能是132分. n必是兩位數(shù),且十位上為1,所以, 132=1112,即n=12 答:參賽選手有12名. 4. 最后一名是B班的學生. 九名學生的總得分為:1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 由于三個班的總分相等,即每個班均為15分,將1-9這9個自然數(shù),三個數(shù)一組分為3組,使每組之和都是15,只有以下兩種情況: (1)一組得分為:9,5,1 二組得分為:7,6,2 三組得分為:8,4,3 (2)一組得分為:8,6,1 二組得分為:9,4,2 三組得分為:7,5,3 在第一種情況中,二組、三組都有相連的數(shù),即相連的名次,這不合題意,所以只能取第二組的數(shù)字. 那么C班有第一名,得分是9,4,2;B班有第二名,得分是8,6,1,則A班得分為7,5,3.可見最后一名是B班的學生. 5. 數(shù)學第二只能是丙. 由乙英語第一,至少乙得3分,且總分為9分.所以科目不會多于7科,且每科第一名至多得8分.又由甲總分為22分,所以考試科目不少于3科. 因為三人共得40分,而每科分配得分情況相同,故考試科目應是40的約數(shù),而3,6,7都不是40的約數(shù),所以只可能是4科或5科.若4科,每科共有10分,按名次分配應有4種:(7,2,1)、(6,3,1)、(5,4,1)、(5,3,2). 由甲共得22分,且至多有3科第一(英語不是第一),則后三種情況不成立,因為即使3科第一,1科第二,總分也達不了22分. 又由乙得9分,且英語第一,如果按(7,2,1)分配,即使其他三科都是最后一名,得1分,總分也超過9分.所以,以上幾種情況不能成立. 若是5科,每科共為8分,按名次分配只有兩種:(5,2,1)、(4,3,1).而后一種也不能成立,原因仍然是不能與甲22分吻合,所以只有(5,2,1)符合題意. 按照這樣分配方案:乙的得分情況是5,1,1,1,1.甲的得分情況是5,5,5,5,2,且得2分的科目只能是英語,所以數(shù)學第二只能是丙. 6. B得了8分. D的得分不能比A少,也不能與A得分一樣.否則D成為5人中得分最少的.就不是5人的平均分.因此5人得分從大到小次序是B,E,D,C,A. A得4分,C得A與D的平均分,D的得分也一定是偶數(shù),D不能是10分或8分;否則B的得分要超出10分.D只能得6分,C得5分,E得7分.B的得分是: 65-(7+6+5+4)=8(分) 7. 甲有21冊書,乙有42冊書,丙有35冊書. 根據(jù)已知條件,甲乙之和小于乙丙之和,則甲之冊數(shù)小于丙之冊數(shù).因而乙有三種可能:最多、最小或居中.若能否定其中兩種可能,則另一種必成立.然后計算各人冊數(shù). 先假設乙的圖書最少,則丙的圖書最多.那么,乙丙之和應是3的倍數(shù).(最多數(shù)是最少數(shù)的2倍). 然而3|77 所以作的假設是謬誤的. 再假設乙之數(shù)居中,則甲丙之差是甲的冊數(shù),且可求乙丙冊數(shù). 甲:77-63=14(冊) 乙:63-14=49(冊) 丙:77-49=28(冊) 28<49 結論與丙為最多的條件矛盾,所作假設也是謬誤的. 那么,乙必定是最多的.相應甲是最少的,丙之數(shù)居中.可作如下合理計算: 甲:63(1+2)=21(冊) 乙:212=42(冊) 丙:77-42=35(冊) 答:甲有21冊書,乙有42冊書,丙有35冊書. 8. 最大男孩是8歲. 分兩種情況考慮:(1)最小的男子是4歲.(2)最小的女孩是4歲. 9. 這個三位數(shù)是704. 把這道題目寫成數(shù)字謎形式,設三位數(shù)是,就有 A B C + C B A 1 1 1 1 很明顯,A+C=11,B=0.這個三位數(shù)一定是偶數(shù),只能是308,506,704,902其中一個數(shù),被8整除只有704. 10. A組的4個數(shù)是1,4,6,7; B組的4個數(shù)是2,3,5,8. 1+2+3+4+5+6+7+8=36. 因此每組4個數(shù)之和是362=18 因為 36(2+1)=12 所以從A組拿出一個數(shù)到B組,要使B組5數(shù)之和是A組剩下3數(shù)之和的2倍,從A組拿出的數(shù)一定是18-12=6. 因為 , 所以從B組拿出一個數(shù)到A組,要使B組剩下3數(shù)之和是A組5數(shù)之和的,從B組拿出的數(shù)一定是21-18=3. 上面的推理說明,分組是6在A組,3在B組. A組中其他3數(shù)之和是12,在1,2,4,5,7,8六個數(shù)中,和12的三數(shù),只有1,4,7. 因此分在A組的4個數(shù)是1,4,6,7;分別在B組的4個數(shù)是2,3,5,8. 11. 本題有兩個答案:(1,9,2,8,5)與(1,10,3,9,5) 從條件(1),D可能是7,8,9,10,但D=10,就不能滿足條件(3).我們就D=7,8,9三種情況,列表來逐條檢查是否滿足條件. (1)D=7 條件(2) C=1 (3) A=2 B=9 A=3 B=10 (4) E=4 不存在 (5) √ (6) (2)D=9 條件(2) C=1 C=9 (3) 不存在 A=1 B=10 (4) E=5 (5) √ (6) √ (3)D=8 條件(2) C=1 C=2 C=4 (3) A=2 B=10 A=1 B=9 A=1 B=9 A=2 B=10 (4) E=5 E=5 E=3 不存在 (5) √ √ (6) √ 上面表中“√”表示滿足這一條件,“”表示不滿足這一條件.通過表格分析,就知道本題有2個解答: (1,9,2,8,5)與(1,10,3,9,5) 當需要分析的情況較多時,特別是層次較多時,使用表格就非常方便,本題就是使用表格較好的例子.表格要自己設計,才能使解題得心應手.會使用表格和設計表格是一種解題本領. 12. C是擊中靶心的人. 我們先來推斷A6次射擊的情況.已知前兩次得22分,6次共得71分,從71-22=49可知,擊靶心的決不會是A,另一方面,在上面18個數(shù)中,兩數(shù)之和等于22的只可能是20和2.再來推算一下四個數(shù)之和等于49的可能性.首先,在這四個數(shù)中,如果沒有25,是絕不可能組成49的.其次,由于49-25=24,則如果沒有20,任何三個數(shù)也不能組成24.而24-20=4,剩下的兩個數(shù)顯然只能是1和3了.所以A射擊6次的得分,應該是 20,2,25,20,3,1 (可在前面18個數(shù)中,劃去上述6個數(shù)) 再來推斷擊中靶心的人6次得分的情況,從71-50=21 可知,要在前面12個未被劃去的數(shù)中,取5個數(shù),使其和是21.可以斷定,這5個數(shù)中必須包括一個10,一個5,一個3,一個2,一個1,即6次得分情況為 50,10,5,3,2,1 就是第三個人的得分情況了. 從這6個數(shù)中沒有3,而C第一次得了3分,可知這6個數(shù)是C射擊的得分數(shù).因此C是擊中靶心的人. 13. 電話號碼是26390 恰好在同一位有一個相同的數(shù)字.十個數(shù)要出現(xiàn)十次這樣的“相同”.注意: 萬位上有兩個2,兩個4,兩個7; 千位上沒有數(shù)字是重復的; 百位上有兩個3,兩個5; 十位上有三個7,兩個9; 個位上有三個0,兩個1. 在千位只能有一次相同,因此其它位至少有一位上有三次相同.但是如果有兩位上三次相同,后兩位只能7,0.數(shù)53970就有二位上相同,因此只能在一位上有三次相同.這樣一來還有三位都必須有兩次相同.現(xiàn)在已能得出結論,最后兩位是71或90.但有數(shù)22171,最后兩位只能是90.去掉所有十位是9,和個位是0的數(shù)(在其它各位上不能再有與電話號碼相同的數(shù)),還留下五個數(shù) 4 4 3 5 6 2 5 7 3 1 2 2 1 7 1 9 0 3 8 9 8 6 0 7 5 萬位上有兩次相同,只有數(shù)字2;百位上有兩次相同,只有數(shù)字3,千位上的一次相同只能是最后一位數(shù)的千位數(shù)6. 14. 甲 乙 丙 丁 戊 英語 5 4 3 2 1 數(shù)學 5 4 3 2 1 歷史 5 2 3 4 1 物理 4 1 3 2 5 語文 5 4 1 2 3 由題意,五個人的總分之和為75.甲總分為24分,則乙、丙、丁、戊四人總分之和為51分.由(4)戊最少要得11分,由于戊的總分最低,所以乙、丙、丁、戊的總分只能分別是15,13,12,11分.由此可知戊的英語、歷史、數(shù)學成績均為1分,甲的總分為24分,可推出甲的成績是有四科為5分一科為4分.已知戊物理得5分,所以甲物理得4分.再由丙總分為13分,且有四科得分相同,可推出丙四科3分一科1分.由戊語文得3分,所以丙語文得1分.丁總分為12分.由于全部的5分、3分和四個1分都被其他人所得,所以丁的各科成績只能都是偶數(shù)分,且只能是四科2分,一科4分,由條件(5),丁歷史得4分,由此推出乙的各科成績?yōu)?英語4分,歷史2分,數(shù)學4分,物理1分,語文4分.