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,第五章 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng),教學(xué)基本要求,一 理解描寫剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的物理量，并掌握角量與線量的關(guān)系.,二 理解力矩和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量概念，掌握剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定理.,三 理解角動(dòng)量概念，掌握質(zhì)點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)以及剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)情況下的角動(dòng)量守恒問題.,能運(yùn)用以上規(guī)律分析和解決包括質(zhì)點(diǎn)和剛體的簡(jiǎn)單系統(tǒng)的力學(xué)問題.,四 理解剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能概念，能在有剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的問題中正確地應(yīng)用機(jī)械能守恒定律,一 剛體,5.1 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的描述,1 定義：在外力作用下，形狀和大小都不發(fā)生變化的 物體 .,note：1）理想化模型。,2）剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，各質(zhì)點(diǎn)之間的相對(duì)距離不發(fā)生 變化。,3）視為內(nèi)力無窮大的特殊質(zhì)點(diǎn)系。,2 剛體的運(yùn)動(dòng)形式：平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng) .,1） 平動(dòng)：若剛體中所有點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡都保持完全相同，或者說剛體內(nèi)任意兩點(diǎn)間的連線總是平行于它們的初始位置間的連線 .,,2） 轉(zhuǎn)動(dòng)：剛體中所有的點(diǎn)都繞同一直線做圓周運(yùn)動(dòng). 轉(zhuǎn)動(dòng)又分定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和非定軸轉(zhuǎn)動(dòng) .,剛體的平面運(yùn)動(dòng) .,,,,二 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度和角加速度,,,,角位移,角坐標(biāo),角速度矢量,方向: 右手螺旋方向,角加速度,1） 每一質(zhì)點(diǎn)均作圓周運(yùn)動(dòng)，圓面為轉(zhuǎn)動(dòng)平面； 2） 任一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng) 均相同，但 不同； 3） 運(yùn)動(dòng)描述僅需一個(gè)坐標(biāo) .,定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的特點(diǎn),剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)（一維轉(zhuǎn)動(dòng)）的轉(zhuǎn)動(dòng)方向可以用角速度的正負(fù)來表示 .,三 勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)公式,當(dāng)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度為恒量時(shí)，剛體做 勻變速轉(zhuǎn)動(dòng) .,剛體勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)與質(zhì)點(diǎn)勻變速直線運(yùn)動(dòng)公式對(duì)比,四 角量與線量的關(guān)系,,,,,,,飛輪 30 s 內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度,例1 一飛輪半徑為 0.2m、 轉(zhuǎn)速為150rmin-1， 因受制動(dòng)而均勻減速，經(jīng) 30 s 停止轉(zhuǎn)動(dòng) . 試求：（1）角加速度和在此時(shí)間內(nèi)飛輪所轉(zhuǎn)的圈數(shù)；（2）制動(dòng)開始后 t = 6 s 時(shí)飛輪的角速度；（3）t = 6 s 時(shí)飛輪邊緣上一點(diǎn)的線速度、切向加速度和法向加速度 .,該點(diǎn)的切向加速度和法向加速度,轉(zhuǎn)過的圈數(shù),,剛體繞 O z 軸旋轉(zhuǎn) , 力 作用在剛體上點(diǎn) P , 且在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi), 為由點(diǎn)O 到力的作用點(diǎn) P 的徑矢 .,一 力矩,2 轉(zhuǎn)動(dòng)定律,力臂：從O點(diǎn)到 作用線的垂直距離d叫力臂。,力矩為：力的大小和力臂的乘積，叫做力 對(duì)轉(zhuǎn)軸Z的力矩。,是一矢量。,大?。?方向：右手螺旋。,思考：與Z軸平行的力在Z軸上的力矩等于多少？作用線過Z軸的力在Z軸上的力矩等于多少？,判斷：平行于Z軸的力對(duì)Z軸的力矩一定是0，垂直于Z軸的力對(duì)Z軸的力矩一定不為0.,,,2）合力矩等于各分力矩的矢量和,其中 對(duì)轉(zhuǎn)軸的力 矩為零，故 對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩,結(jié)論：剛體所受的合力為0是，剛體的合力矩可以為0，也可以不為0.當(dāng)合力矩為0時(shí)，合力不一定為0.,3） 剛體內(nèi)作用力和反作用力的力矩互相抵消,,O,二 轉(zhuǎn)動(dòng)定律,2）剛體,質(zhì)量元受外力 ，內(nèi)力,,1）單個(gè)質(zhì)點(diǎn) 與轉(zhuǎn)軸剛性連接,外力矩,內(nèi)力矩,,,,剛體所受的對(duì)于某一固定軸的合力矩等于剛體對(duì)此轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剛體在此合力矩作用下所獲得的角加速度的乘積。,轉(zhuǎn)動(dòng)定律,定義轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,Note：1）轉(zhuǎn)動(dòng)定律中的各量均對(duì)同一轉(zhuǎn)軸。,2）此方程式類似于 。,,,說明力矩是使剛體狀態(tài)發(fā)生改變而產(chǎn)生角加速度的原因。,三 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,物理意義：轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量度 .,質(zhì)量離散分布剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的計(jì)算方法,解 設(shè)棒的線密度為 ，取一距離轉(zhuǎn)軸 OO 為 處的質(zhì)量元,,例1 一質(zhì)量為 、長(zhǎng)為 的均勻細(xì)長(zhǎng)棒，求通過棒中心并與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 .,如轉(zhuǎn)軸過端點(diǎn)垂直于棒,例2 一質(zhì)量為 、半徑為 的均勻圓盤，求通過盤中心 O 并與盤面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 .,解 設(shè)圓盤面密度為 ，在盤上取半徑為 ，寬為 的圓環(huán),而,圓環(huán)質(zhì)量,所以,圓環(huán)對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,四 平行軸定理,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的大小取決于剛體的質(zhì)量、形狀及轉(zhuǎn)軸的位置 .,質(zhì)量為 的剛體，如果對(duì)其質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 ，則對(duì)任一與該軸平行，相距為 的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,圓盤對(duì)P 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,,例4 一半徑為R，質(zhì)量密度為?的薄圓盤，有兩個(gè)半徑均為 的圓孔，兩圓孔中心距離圓盤中心距離均為 ，如圖所示。求此薄圓盤對(duì)于通過圓盤中心而與盤面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。,O,解：補(bǔ)償法,設(shè)想在帶孔圓盤的每個(gè)小孔處填充質(zhì)量為+m′和-m ′且相等的小圓盤，這樣并不會(huì)改變?cè)瓉淼馁|(zhì)量分布，但形成了正質(zhì)量的大圓盤和負(fù)質(zhì)量的小圓盤的組合體，它們的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量都可以按公式計(jì)算，而帶孔的圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可以由疊加法求出！,,正質(zhì)量的大圓盤對(duì)盤心O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 為：,,,兩個(gè)負(fù)質(zhì)量的小圓盤對(duì)O軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：,于是帶孔圓盤對(duì)O軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：,,練習(xí)1：一可忽略質(zhì)量的輕質(zhì)平面的正方形框架，邊長(zhǎng)為a，其四個(gè)頂點(diǎn)上分別有一個(gè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)(平行軸定理)。,求：1）此質(zhì)點(diǎn)系垂直于正方形平面且過中心軸OZ的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 2）若轉(zhuǎn)軸平移至其中一個(gè)頂點(diǎn)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為多少？ 3）若轉(zhuǎn)軸平移至正方形一邊的中點(diǎn)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為多少？,練習(xí)2：求如圖所示剛體對(duì)經(jīng)過棒端且與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。,五 轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用,定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體與可視為質(zhì)點(diǎn)的物體組成的系統(tǒng)力學(xué)問題。處理這類問題的方法與處理質(zhì)點(diǎn)力學(xué)問題相同：,1）選取研究對(duì)象 2）分析各隔離體所受的力或者力矩，判斷各隔離體的運(yùn)動(dòng)情況 3）應(yīng)用牛頓定律（質(zhì)點(diǎn)）或轉(zhuǎn)動(dòng)定律（剛體）分別列出方程 4）建立角量與線量之間的關(guān)系（質(zhì)點(diǎn)與剛體之間的聯(lián)系）5）連列方程求解,簡(jiǎn)單剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，直接應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律求解。,例5 一長(zhǎng)為 質(zhì)量為 勻質(zhì)細(xì)桿豎直放置，其下端與一固定鉸鏈 O 相接，并可繞其轉(zhuǎn)動(dòng) . 由于此豎直放置的細(xì)桿處于非穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當(dāng)其受到微小擾動(dòng)時(shí)，細(xì)桿將在重力作用下由靜止開始繞鉸鏈O 轉(zhuǎn)動(dòng) .試計(jì)算細(xì)桿轉(zhuǎn)動(dòng)到與豎直線成 角時(shí)的角加速度和角速度 .,解 細(xì)桿受重力和 鉸鏈對(duì)細(xì)桿的約束力 作用，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律得,式中,得,由角加速度的定義,代入初始條件積分 得,例6 質(zhì)量為 的物體 A 靜止在光滑水平面上，和一質(zhì)量不計(jì)的繩索相連接，繩索跨過一半徑為 R、質(zhì)量為 的圓柱形滑輪 C，并系在另一質(zhì)量為 的物體 B 上. 滑輪與繩索間沒有滑動(dòng)， 且滑輪與軸承間的摩擦力可略去不計(jì). 問：（1） 兩物體的線加速度為多少？ 水平和豎直兩段繩索的張力各為多少？（2） 物體 B 從,靜止落下距離 時(shí)，其速率是多少？,,,解 （1）隔離物體分別對(duì)物體A、B 及滑輪作受力分析，取坐標(biāo)如圖，運(yùn)用牛頓第二定律 、轉(zhuǎn)動(dòng)定律列方程 .,,如令 ，可得,（2） B由靜止出發(fā)作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，下落的速率,一 質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律,3 角動(dòng)量 角動(dòng)量守恒,,,1 質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量,質(zhì)量為 的質(zhì)點(diǎn)以速度 在空間運(yùn)動(dòng)，某時(shí)刻相對(duì)原點(diǎn) O 的位矢為 ，質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于原點(diǎn)的角動(dòng)量,大小,的方向符合右手法則.,1）質(zhì)點(diǎn)以角速度 作半徑為 的圓運(yùn)動(dòng)，相對(duì)圓心的角動(dòng)量,,,2）角動(dòng)量與位矢 和動(dòng)量 有關(guān)，即與參考點(diǎn)O的選擇有關(guān)。因此，在講述質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量時(shí)，必須指明是針對(duì)哪一點(diǎn)的角動(dòng)量。,3）角動(dòng)量的定義并沒有對(duì)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)做任何限制，做直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)對(duì)選定的參考點(diǎn)同樣具有角動(dòng)量。,作用于質(zhì)點(diǎn)的合力對(duì)參考點(diǎn) O 的力矩 ，等于質(zhì)點(diǎn)對(duì)該點(diǎn) O 的角動(dòng)量隨時(shí)間的變化率.,2 質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理,質(zhì)點(diǎn)所受對(duì)參考點(diǎn) O 的合力矩為零時(shí)，質(zhì)點(diǎn)對(duì)該參考點(diǎn) O 的角動(dòng)量為一恒矢量.,恒矢量,沖量矩,質(zhì)點(diǎn)（系）的角動(dòng)量定理：對(duì)同一參考點(diǎn) O ，質(zhì)點(diǎn)（系）所受的沖量矩等于質(zhì)點(diǎn)（系）角動(dòng)量的增量.,3 質(zhì)點(diǎn)（系）的角動(dòng)量守恒定律,例7 一半徑為 R 的光滑圓環(huán)置于豎直平面內(nèi).一質(zhì)量為 m 的小球穿在圓環(huán)上, 并可在圓環(huán)上滑動(dòng). 小球開始時(shí)靜止于圓環(huán)上的點(diǎn) A (該點(diǎn)在通過環(huán)心 O 的水平面上),然后從 A 點(diǎn)開始下滑.設(shè)小球與圓環(huán)間的摩擦略去不計(jì).求小球滑到點(diǎn) B 時(shí)對(duì)環(huán)心 O 的角動(dòng)量和角速度.,解 小球受重力和支持力作用, 支持力的力矩為零,重力矩垂直紙面向里,由質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理,考慮到,得,由初始條件積分上式,,二 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律,,,,,1 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量,2 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理,非剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理,,,,角動(dòng)量守恒定律是自然界的一個(gè)基本定律.,內(nèi)力矩不改變系統(tǒng)的角動(dòng)量.,,守 恒條件,若 不變， 不變；若 變， 也變，但 不變.,剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理,3 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律,有許多現(xiàn)象都可以用角動(dòng)量守恒來說明.,自然界中存在多種守恒定律,動(dòng)量守恒定律 能量守恒定律 角動(dòng)量守恒定律,電荷守恒定律 質(zhì)量守恒定律 宇稱守恒定律等,花樣滑冰 跳水運(yùn)動(dòng)員跳水,被 中 香 爐,慣性導(dǎo)航儀（陀螺）,角動(dòng)量守恒定律在技術(shù)中的應(yīng)用,角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律的應(yīng)用 例8 質(zhì)量為Ｍ，半徑為Ｒ的轉(zhuǎn)臺(tái)，可繞過中心的豎直軸無摩擦的轉(zhuǎn)動(dòng)。質(zhì)量為ｍ的一個(gè)人，站在距離中心ｒ處（ｒR），開始時(shí)，人和臺(tái)處于靜止?fàn)顟B(tài)。如果這個(gè)人沿著半徑為ｒ的圓周勻速走一圈，設(shè)它相對(duì)于轉(zhuǎn)臺(tái)的運(yùn)動(dòng)速度為ｕ，求轉(zhuǎn)臺(tái)的旋轉(zhuǎn)角速度和相對(duì)地面的轉(zhuǎn)過的角度。,分析：以人和轉(zhuǎn)臺(tái)為一系統(tǒng)，設(shè)系統(tǒng)沒有受到外力矩的作用，所以系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒。應(yīng)用角動(dòng)量定律時(shí)，其中角速度和速度都是相對(duì)于慣性系而言。因此，人在轉(zhuǎn)臺(tái)走動(dòng)時(shí)，必須考慮人相對(duì)地面的速度。,,解：對(duì)于人和轉(zhuǎn)臺(tái)形成的系統(tǒng)，角動(dòng)量守恒（思考？）設(shè)人對(duì)地面的速度為 ，轉(zhuǎn)臺(tái)對(duì)地面的轉(zhuǎn)速為?，則有：,而：,,代入得：,,其中，“-”表示轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)方向與人在轉(zhuǎn)臺(tái)走動(dòng)的方向相反。由于u為恒量，則?也為恒量，即勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。,設(shè)在時(shí)間?t內(nèi)轉(zhuǎn)臺(tái)相對(duì)地面轉(zhuǎn)過的角度為?，則有,,,,？,力矩的功,一 力矩作功,二 力矩的功率,,,4 轉(zhuǎn)動(dòng)中的功和能,三 轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能,四 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理,合外力矩對(duì)繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體所作的功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量 .,五 含有轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的機(jī)械能守恒定律,由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體與另外物體組成的系統(tǒng)，只有保守內(nèi)力做功時(shí)，系統(tǒng)的總機(jī)械能保持不變。,恒量,,質(zhì)心到勢(shì)能零點(diǎn)的高度,,,,,質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)與鋼體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)照表,,,,,,,,,,,,,,,,角動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律的綜合應(yīng)用 例9 質(zhì)量為ｍ的小圓環(huán)，套在一長(zhǎng)為?，質(zhì)量為Ｍ的光滑均勻桿ＡＢ上，桿可以繞過其Ａ端的固定軸在水平面上自由旋轉(zhuǎn)。開始時(shí)，桿的角速度為?0，兩小環(huán)位于Ａ點(diǎn)，當(dāng)小環(huán)受到一微小的擾動(dòng)后，即沿桿向外滑動(dòng)。試求當(dāng)小環(huán)脫離桿時(shí)的速度。,Note：小球脫離桿時(shí)的速度是由環(huán)沿桿的速度和桿旋轉(zhuǎn)時(shí)環(huán)沿圓周運(yùn)動(dòng)的切向速度合成的結(jié)果，所以環(huán)脫離桿的速度與桿間有一角度。,解：設(shè)小環(huán)脫離桿時(shí)的角速度為?，由角動(dòng)量守恒有：,其中,,設(shè)小環(huán)脫離桿時(shí)的速度為?，由機(jī)械能守恒有：,,,,?的方向與桿的夾角?：,,練習(xí)題： 1 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量?jī)H決定于： Ａ 剛體的質(zhì)量 Ｂ 剛體質(zhì)量的空間分布 Ｃ 剛體的質(zhì)量對(duì)定軸的分布 Ｄ 轉(zhuǎn)軸的位置,2關(guān)于力矩有以下幾種說法，其中正確的是： Ａ內(nèi)力矩會(huì)改變剛體對(duì)某個(gè)定軸的角動(dòng)量 Ｂ作用力和反作用力對(duì)同一軸的力矩之和必為０ Ｃ角速度的方向一定與外力矩的相同 Ｄ質(zhì)量相等、形狀、大小不同的兩個(gè)剛體，在相同力矩的作用下，它們的角加速度一定相等。,3 如圖，水平轉(zhuǎn)臺(tái)上距軸為Ｒ處，有一質(zhì)量為ｍ的物體隨轉(zhuǎn)臺(tái)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，已知物體與臺(tái)面的靜摩擦系數(shù)為?，若物體與組合體無相對(duì)滑動(dòng)，則物體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為： Ａ Ｅk≤ ?ｍgR/4 B Ｅk≤ ?ｍgR/2 C Ｅk≤ ?ｍgR D Ｅk≤ 2?ｍgR,4 對(duì)一個(gè)繞固定水平軸上一點(diǎn)o勻速轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，如圖，沿同一水平直線從相反方向射入兩顆相同質(zhì)量速率相等的子彈，并留在盤中，則子彈射入后轉(zhuǎn)盤的角速度[ ] A 變大 B 變小 C 不變 D 不確定,5 一長(zhǎng)為? 的細(xì)桿，兩端分別固定質(zhì)量為m和2m的小球，此系統(tǒng)可在豎直平面內(nèi)繞中心O自由轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖。開始時(shí)桿與水平方向成60，處于靜止?fàn)顟B(tài)，無初速度的釋放，桿球系統(tǒng)繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，則該系統(tǒng)繞O軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（ ），當(dāng)桿轉(zhuǎn)到水平位置時(shí)，系統(tǒng)所受的合力矩（ ），角加速度（ ）,