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1、精銳教育學科教師輔導講義 講義編號 學員編號： 年 級： 課時數(shù)：3 學員姓名： 輔導科目： 學科教師： 課 題 空間幾何體的三視圖和直觀圖 授課日期及時段 教學目的 1 .掌握斜二測畫法畫水平設置的平囹圖形的直觀圖； 2 .采用對比的方法了解在平行投影下面空間圖形與在中心投影下面空間圖形兩 種方法的各自特點； 教學內容 一、課前檢測 1.下列說法正確的是（） A.相等的線段在直觀圖中仍然相等 B.若兩條線段平行，則在直觀圖中對應的兩條線段仍然平行 C.兩個全等三角形的直觀圖一定也全等 D.兩個圖形的直觀圖是全等的三角形，則這兩個圖形一定是全等三角形

2、2.對于一個底邊在 x軸上的三角形，采用斜二測畫法作出其直觀圖， 其直觀圖面積是原三角形面積的 （）. D. 3.如圖所示的直觀圖，其平面圖形的面積為 （）. A . 3 B . 6 C . D. 4 . 一個平面的斜二測圖形是邊長為 2的正方形，則原圖形的高是 . 5 .利用斜二測畫法得到的圖形，有下列說法：①三角形的直觀圖仍是三角形；②正方形的直觀圖仍是 正方形；③平行四邊形的直觀圖仍是平行四邊形；④菱形的直觀圖仍是菱形 .其中說法正確的序號依次 是. 6 .關于“斜二測”直觀圖的畫法，有如下說法： ①原圖形中平行于y軸的線

3、段，其對應線段平行于y軸，長度變?yōu)樵瓉淼? ②畫與直角坐標系 必須是45 ; ③在畫直觀圖時，由于選軸的不同，所得的直觀圖可能不同； ④等腰三角形的直觀圖仍為等腰三角形； ⑤梯形的直觀圖仍然是梯形； ⑥正三角形的直觀圖一定為等腰三角形 . 其中說法正確的序號依次是 BCB 或 ； ①③； 、①⑤ 二、知識梳理 1.2空間幾何體的三視圖和直觀圖（ 1） 知識歸納 1 .中心投影與平行投影 ①光由一點向外散射形成的投影叫做 ,中心投影的 交于一點. ②在一束平行光線照射下形成的投影叫做 平行投影的 是平行的，在平行投 影中，投影線 投影面時，叫做正投影，否則叫斜投影

4、.與投影面平行的平面圖形，在平行投 影下得到的影子與原平面圖形全等；在中心投影下的影子與原平面圖形相似. 2 .三視圖 三視圖是觀察者從 觀察同一個幾何體畫出的空間幾何體圖形，三視圖包括 和. 換言之，正視圖即從正面往投影面看所看到的圖;側視圖即從左面往投影面看所看到的圖；俯視 圖即從上面往投影面看所看到的圖. 知識歸納答案：1.①中心投影，光線；②平行投影，光線，垂直于. 2.從三個不同的位置，正 視圖、側視圖、俯視圖. 方法點撥 1 .畫三視圖的基本方法 (1)確定正視方向，確定投影面； (2)布置視圖，按三視圖的位置關系，畫各視圖的定位線，如中心線或某些邊線； (3)

5、 一般從正視圖畫起，按投影規(guī)律，再畫另兩個視圖. (4)完成三視圖繪制，把能看見的輪廓線和棱用實線表示，不能看見的用虛線表示. 2 .三視圖的排列規(guī)則 俯視圖放在正視圖的下面，長度與正視圖的長度一樣；側視圖放在正視圖的右面，高度與正視圖 的高度一樣，寬度與俯視圖的寬度一樣，可間記為“長(左右距離)對正；高(上下距離)平齊；寬 (前后距離)相等”或“正側一樣高，正俯一樣長，側俯一樣寬” .如下圖是六棱柱的三視圖： 3 .幾種常見幾何體的三視圖 (1)圓柱的正視圖和側視圖都是矩形，俯視圖是一個圓； (2)圓錐的正視圖和側視圖都是等腰三角形，俯視圖是一圓和其圓心; (3)球的三

6、視圖都是圓. 如下圖所示： （2）圓錐的三視圖 （3）球的三視圖 4 .組合體的三視圖 應認清結構，把組合體分解成基本的幾何體，再按基本幾何體畫圖，并注意三視圖的位置和大小 關系. 1.2空間幾何體的三視圖和直觀圖（ 2） 知識歸納 1 .直觀圖 直觀圖是觀察者 觀察幾何體畫出的空間幾何體的圖形. 2 .利用斜二側畫法畫空間圖形的平面直觀圖的一般步驟 ： ①建立直角坐標系. 在已知水平放置的平面圖形中取互相垂直的 x軸、y軸，兩軸相交于點 Q ②畫出斜坐標系. 在畫直觀圖的紙上（平面上）畫出對應的 Ox, Oy,使 xOy ,它們確定 的平面表

7、示水平平面. ③畫對應圖形. 在已知圖形平行于 x軸的線段，在直觀圖中畫成平行于 ，且長度;在已知圖形平行于 y軸的線段，在直觀圖中畫成平行于 —，且長度. ④擦去輔助線. 圖畫好后，要擦去x軸、y軸及為畫圖添加的輔助線（虛線） 3 .立體圖形直觀圖的畫法 畫立體圖形的直觀圖， 在畫軸時，要多畫一條與平面 xOy垂直的軸Oz .且平行于Oz的線段長 度.其他同平面圖形的畫法. 知識歸納答案：1.站在某一點.2.②450 （或1350）;③x軸，保持不變，y軸，為原來的一半； 3.保持不變. 方法點撥 1 .利用斜二側畫法畫空間幾何體的直觀圖的步驟 ： ①在已知圖形所在的

8、空間中取水平平面，作互相垂直的軸Ox、Oy ,再作Oz軸，使 xOy 900, yOz 900. ②畫出與 Ox、Oy、Oz對應白^軸 Ox、Oy、Oz ,使 xOy 45, yOz 90, xOy 所確 定的平面表示水平平面. ③已知圖形中，平行于 x軸、y軸和z軸的線段，在直觀圖中畫成平行于 x軸、y軸和z軸的線 段，并使它們在所畫坐標軸中的位置關系與已知圖形中相應線段和原坐標軸的位置關系相同. ④已知圖形中平行于 x軸和z軸的線段，在直觀圖中保持長度不變；平行于 y軸的線段，在直觀圖 中畫成平行于y軸，且長度變?yōu)樵瓉淼囊话? ⑤擦除作為輔助線的坐標軸，就得到了空間圖形的直觀圖.

9、 2 .應注意的幾個問題 (1)直觀圖與三視圖的區(qū)別 繪制物體的直觀圖一般采用斜投影或中心投影，可以顯示空間幾何體的直觀形象，但作圖復雜， 且線段長度不如三視圖要求嚴格；而三視圖對線段的長度有嚴格的規(guī)定，一般在工程制圖中應用廣泛. (2)由直觀圖還原實際圖形 將水平放置的平面圖形的直觀圖還原成原來的實際圖形，其作法就是逆用斜二測畫法，也就是使 平行于x軸的線段的長度不變，而平行于 y軸的線段長度變?yōu)樵瓉淼?2倍. (3)求直觀圖面積 求直觀圖面積關鍵是依據(jù)斜二測畫法，求出相應的直觀圖的底邊和高，也就是在原來實際圖形中 的高線，在直觀圖中變?yōu)榕c水平直線成 450角且長度為原來的一

10、半的線段， 以此為依據(jù)來求出相應的高 線即可. 三、重難點突破 I. 一個幾何體的三視圖如下圖所示, 那么這個幾何體是（ ） A . B . C . D 解析：由正視圖可排除A B D,選C. 2.給出下列四個命題： ①平行投影的投影線互相平行，中心投影的投影線相交于一點； ②空間圖形經(jīng)過中心投影后，平行線可能變成了相交的直線； ③在同一直線或平行直線上，兩條線段平行投影的比等于這兩條線段的比; ④空間幾何體在平行投影與中心投影下有不同的表現(xiàn)形式. 上述命題中，正確命題的個數(shù)是 （） A. 1 B . 2 C .3 D .4 解析：由平行投影和中心投

11、影的概念可知，以上四個命題均正確，選 D. 3 .如下圖，是幾個相同的小正方體搭成的幾何體的三視圖，則搭成這個幾何體的小正方體的個數(shù) 是. 解析：利用還原法，根據(jù)三視圖畫出它的立體圖形.本題的立體圖形如上左圖所示，可知正確答 案應該是5個?填5. 4 .如下右圖是由四個相同的小立方體組成的立體圖形的正視圖和側視圖，那么原立體圖形可能 是（把下圖中正確的立體圖形的序號都填在橫線上 ）. 解析：分別作出四個幾何體的正視圖和俯視圖，填①②④. 5 .如圖，設所給的方向為物體的正視方向，試畫出它的三視圖. （單位：cm） 解：該幾何體的三視圖如下圖所示. 亞根的 側

12、袱圖 6.用三個正方體，一個圓柱，一個圓錐的積木擺成如圖※所示的幾何體，其正視圖為 （） 到的是“6”，乙說他看到的是“ 6”，丙說他看到的是“19”，丁說他看到的是“ 9”，則下列說法正確的 是（） A.甲在丁的對面，乙在甲的左邊，丙在丁的右邊 B.丙在乙的對面，丙的左邊是甲，右邊是乙 C甲在乙的對面，甲的右邊是丙，左邊是丁 D.甲在丁的對面，乙在甲的右邊，丙在丁的右邊 解析：易得甲、乙、丙、丁四人位置如下圖所示，選 D. —倍或 4 S原圖形 2應端觀圖.本題可以用該結論解為：由已知可得等腰梯形的高為 面積為 2 1 2 2(

13、11 2)22 2、2 2 2. 根據(jù)結論S原圖形 2&St觀圖， --、下底長為1 2"2.、其 2 有原平面圖形的面積為 例8利用斜二測畫法得到的 ①三角形的直觀圖-一定是三角形； ②正方形的直觀圖-一定是正方形； ③等腰梯形的直觀圖一定是等腰梯形； ④平行四邊形的直觀圖一定是平行四邊形. 以上結論正確的是（ ） A.①② B.①④ C③④ D.①②③④ 解析：依據(jù)斜二測畫法的要求，平行于 y軸的線段，在直觀圖中的長度變?yōu)樵瓉淼囊话?，則正方形 的直觀圖不是正方形，等腰梯形的直觀圖不是等腰梯形.故②③錯誤，①④正確，選 B. 評注：斜二測畫法保持平行性和相

14、交性不變，即平行直線的直觀圖仍是平行直線，相交直線的直 觀圖仍是相交直線. 例9一個水平放置的平面圖形的斜二側直觀圖是一個底角為 和上底長均為1的等腰梯形，則這個平面圖形的面積是（ A 11B . 1咚 C. 1 應 D . 2 22 解析：如圖，在直觀圖 A B C D中，C D =A D = 1、AB 1 J2 , 因此，在原平面圖 ABC加，AB= 1 歷、CD= 1, AD= 2.故梯形 ABCD勺面積 S 1（AB CD）gAD 2。2 .選 D. 2 評注：用斜二測畫法畫出的水平放置的平面圖形的直觀圖的面積是原圖形面積的 例10如圖1, AOB表示水平放置的 AOB直

15、觀圖，B在x軸上，AO與x軸垂直，且 AO 2,則 AOB的邊OB上的高為 圖1 圖2 解析：如圖2,過A作AC平行于x軸，交點為C ,則在Rt OAC中，OC = J2。A =2/2 , 所以 AOB的邊OB上的高為4& .填4J2 . 評注：要求實際圖形的高，需在直觀圖中過頂點作與 y軸的平行線，求出其長度，再將所求長度 變?yōu)閮杀都纯?其實由結論，原三角形的高是直觀圖中的三角形高的 2，萬倍即可得到. 例11用斜二測畫法作出長為 3cm＞寬為4cm的矩形的直觀圖. 分析：用斜二測畫法，即在已知圖形所在的空間中取水平平面，作 x軸，y軸使 xOy 45, 然后依據(jù)

16、平行投影的有關性質逐一作圖. 解：(1)在矩形ABC珅取AB AD所在邊分別為x軸與y軸，相交于O點(O與A重合)，畫對應x 軸、y軸使 x O y 45 ; (2)在x軸上取 A、B使A B =AB,在y軸上取D,使A D=」AD,過DYD C平 2 行x軸的直線，且等于 DC的長； (3)連結C B,所得的四邊形 A B C D就是矩形ABCD勺直觀圖. 評注：要盡量運用原有直線為坐標軸或圖形的對稱直線為坐標軸，或利用圖形的對稱點為原點或 原有垂直正交的直線為坐標軸. 例11畫出底面是正五邊形且側棱與底面垂直的五棱柱的直觀圖， 使底面邊長為3cm側棱長為5cm 分析

17、：先畫個正五邊形，再利用斜二測畫法作底面為正五邊形的直觀圖， 而后沿平行于z軸方向平 移即可得. 解：作法如下： (1)畫軸：畫x、y、z軸，記坐標原點為 O ,使 xOy 45, xOz 90； (2)畫底面：建立直角坐標系 xOy ,按x軸、y軸畫正五邊形的直觀圖 ABC D E ; (3)畫側棱：過 A、B、C、D、E各點分別作 z軸的平行線，并在這些平行線上分別截取 AA、BB、CC、DD、EE ,使它們都等于 5cm； （4）成圖：順次連結A、B、C、D、E ,并加以整理，去掉輔助線，改被遮擋的部分為虛線, 就得到原幾何體的直觀圖. 評注：（1）用此方法可以依

18、次畫出棱錐、棱柱、棱臺等多面體的直觀圖； （2）用斜二測畫法作立體 圖形的直觀圖，原圖形的高在直觀圖中不變； （3）畫幾何體的直觀圖時，如果不做嚴格要求，圖形尺寸 可以適當選取，用斜二測畫法畫圖的角度可以自定，但是要求圖形具有一定的立體感. 四、課堂練習 1、畫出水平放置的等邊三角形的直觀圖 ^ 解：畫法，如圖： （1）在三角形 ABC中，取 AB所在直線為 x軸，AB邊的高所在直線為 y軸；畫出相應的 軸，兩軸 交 于點 ，且 使 (2) 以

19、 上取 并 擦 去 輔 助 線 軸，便獲得正^ ABC的直觀圖4 斜二測畫法的作圖技巧： 1.在已知圖中建立直角坐標系，理論上在任何位置建立坐標系都行，但實際作圖時，一般建立特 殊的直角坐標系，盡量運用原有直線為坐標軸或圖形的對稱軸為坐標軸，以線段的中點或圖形的對稱 點為原點； 2 . 在原圖中平行于 軸的線段在直觀圖中仍然平行于 軸和 軸，原圖中不與坐標軸平行的線段可以先畫出線段的端點再連線，畫端點時利用與坐標軸平行的線段； 3 .畫立體圖形的直觀圖，在畫軸時，要再畫一條與平面 垂直的

20、 軸的線段長度保持不變 軸，平行于 舉一反三： 卜底 【變式1】等腰梯形ABCD上底邊CD=1,腰 的面積是多 AB=3,按平行于上下底邊取 x軸，則直觀圖 少？ 思路點撥：由平面圖準確的畫出直觀圖是解題的關鍵; 解： 1.以等腰梯形的下底邊 所在直線為x軸，以過D點 的高所在直

21、線為y軸，建立平面直角坐標系 ；過C點做 垂直于AB的直線與 AB相交于點E; DC=1, , AB=3, AO=OE=EB=DO=1 2. 建 立 坐 標 系 上 取 ,在 軸 且 ,在 占 八、、 梯形 為等腰梯形ABCD勺直觀圖; 3.過 點做垂直于下底邊 為等腰直角 角形，斜邊 的高

22、 4.梯形面積 【變式2】正方形 面圖形的直觀圖，則原圖形的周長是多少? 的邊長為1,它是水平放置的一個平 思路點撥：由直觀圖畫原圖的過程與原圖畫直觀圖的過程相反，即 1. 直觀圖中平行于 軸的線段在原圖中分別為平行于 軸和 的線段；

23、 2.直觀圖中平行于 變；平行于 軸的線段，在原圖中保持長度不 軸的線段，長度變?yōu)樵瓉淼膬杀? 解: 1.建立平面直角坐標系，在 x軸上取 2. 的 對 角 線， 且 在 所 以 在 y 軸 上 取 3.取 ，且平行于 x軸;

24、 的原圖; 4 .連接AR CQ所得圖形OAB貝為直觀圖 四邊形OAB@平行四邊形； 5 .因 為 ,由勾股定理，BA=3所以平行四邊形 OABC0長為8. 例2、一塊邊長為10cm的正方形鐵片按如圖所示的陰影部分裁下，然后用余下的四個全等的等腰三角 形加工成一個正四棱錐形容器，試建立容器的容積 V與底邊邊長x的函數(shù)關系式. 解： 如 圖， 在 3、一個正三棱柱的三視圖如圖所示，求這個正三棱柱的表面積 1 1 ZD y / 2再 7 隼愎.nu^ 解：由三視圖知正三棱柱的高

25、為 2mm. 由左視圖知正三棱柱的底面三角形的高為 設底面邊長為 a,則 ???正三棱柱的表面積為 五、課堂小結 1 .用來表示空間圖形的平面圖形叫作空間圖形的直觀圖; 2 .用斜二測畫法畫平面圖形的步驟： (1)建系：在已知圖形中建立直角坐標系 圖時，把它們畫成對應的 軸和 軸，兩軸交于點 )； (或 (2)位置關系：已知圖形中平行于 軸和 軸的線段在直觀圖中分別畫成平行于 軸和 軸 的線段;

26、 (3)長度規(guī)則：已知圖形中平行于 軸的線段，在直 觀圖中保持長度不變，平行于 軸的線段，長度變?yōu)樵瓉? 的一半. 六、課后作業(yè) A組 1 .下列關于斜二測畫法畫直觀圖說法，不正確的是（ ） A.在實物圖中取坐標系不同，所得的直觀圖有可能不同 B.平行于坐標軸的線段在直觀圖中仍然平行于坐標軸 C.平行于坐標軸的線段長度在直觀圖中仍然保持不變 D.斜二測坐標系取的角可能是 135。 解析：平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼亩种唬x C. 2 .如圖所示的直觀圖表示的平面圖形為（

27、） A.等腰直角三角形 B.銳角三角形 C.非等腰直角三角形 D.不能確定 解析：AC與y軸平行，可判定平面圖形為直角三角形，但非等腰直角三角形，選 C. 3 .已知 ABC的平面直觀圖 ABC是邊長為a的正三角形，那么原 ABC的面積為 解析：根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，正三角形的邊長是原三角形的底邊長，如圖，  3a a 過C作y軸的平行線C D與x軸交于點D，則C D —2一. sin450 1 又CD是原 ABC的局CD的直觀圖，所以CD=J6a,故S - AB 2 填在a2. 2 4.下列說法中： ①角的水平放置直觀圖一定是角； ②相等的角在直觀圖

28、中仍然相等； ③兩條相交直線的直觀圖可能平行； ④水平放置的正方形的直觀圖可能是梯形； ⑤)互相垂直的兩條直線的直觀圖仍然互相垂直. 其中正確的是 解析：對于①，角在直觀圖中仍是角，只不過是大小變了; 對于②, 對于③, 對于④, 相等的角在直觀圖中未必相等； 450的兩條相 相交直線的直觀圖仍然相交； 水平放置的正方形的直觀圖是平行四邊形；對于⑤互相垂直的兩條直線的直觀圖變成夾角為 交直線.填①. 5.已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為正六邊形，請畫出相應空間圖形的直觀圖. 解析：(1)畫軸：畫x、y、 (2)畫底面：建立直角坐標系 (3)回側棱：過A

29、、B、 AA、B B、CC、D (4)成圖：順次連結 到正六棱柱的直觀圖，如圖 正視圖 側視圖 俯視圖 z軸，記坐標原點為O , 使 xo y 450 xOy ,按x軸、y軸畫正六邊形的直觀圖 A B C D E F . C、D、E、F各點分別作z軸的平行線，并在這些平行線上分別截取 D、EE、FF ,使它們長度相等，如圖(1). A、B、C、D、E、F,并加以整理，去掉輔助線，將被遮擋的部分為虛線，就得 (2). n  B組 1 .在斜二測畫法中，與坐標軸不垂直的線段的長度在直觀圖中( A.變大 B.變小 C.可能不變 解析：由斜二測畫法的畫圖規(guī)則知，選 C

30、. 2 .如圖所示， ABC是水平放置的 ABC的直觀圖，則在 A.AB B.AD C.BC ) D.一定改變 ABC的三邊及中線AD中，最長的線段是() D.AC 解析：由斜二測畫法的畫圖規(guī)則知 ABC為直角三角形，且 AC為斜邊，選 3.根據(jù)給出的空間幾何體的三視圖，用斜二側畫法畫出它的直觀圖. 解析：由幾何體的三視圖知道， 這個幾何體是一個簡單的組合體，下部是個圓柱，上部是個圓臺，且圓臺的下底與圓 柱上底面重合. 畫法： (1)畫軸如下圖，畫x軸、y軸、z軸，三軸相交于點 O,使 xOy=45、 xOz=90. (2)畫圓柱的兩底面和圓臺上下底面， 畫出底面。O.在z軸上截取O ,使OO等于三視圖中相應高度. 過O作 Ox的平行線O x、Oy的平行線Oy，利用O x與O y畫出底面。O ,在z軸上截取O ,使O O等于三視圖 中相應高度.過 O 作Ox的平行線O x , Oy的平行線O y .作圓O . (3)成圖.連結 AA、AA、BB、BB,去掉輔助線， 將被遮擋的部分要改為虛線，即得到給出三視圖所表示 的立體圖的直觀圖.