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2019-2020年高三數(shù)學(xué)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用培優(yōu)輔導(dǎo)材料四人教版 一、教學(xué)內(nèi)容 函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用（一） 二、學(xué)習(xí)指導(dǎo) 1．函數(shù)性質(zhì)是函數(shù)的重點內(nèi)容，它包括函數(shù)定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性和對稱性，函數(shù)圖象是研究函數(shù)性質(zhì)的直觀工具，函數(shù)問題已成為高考永恒的熱點、重點考查的內(nèi)容之一，在選擇題、填空題和解答題三種題型中每年都有試題.主要考查的內(nèi)容有函數(shù)、反函數(shù)的概念及性質(zhì)，函數(shù)的圖象及變換和以基本初等函數(shù)出現(xiàn)的綜合題及應(yīng)用題等，同時考查基本數(shù)學(xué)思想方法的運用及分析問題、解決問題的能力，試題設(shè)計新穎，體現(xiàn)了課改的方向. 2．理解映射、一一映射、函數(shù)、反函數(shù)的有關(guān)概念及其聯(lián)系.映射是一種多對一和一對一的對應(yīng)，函數(shù)是一個特殊的映射，只有當(dāng)確定函數(shù)的映射是一一映射時，函數(shù)才具有反函數(shù)，反函數(shù)的定義域、值域是原函數(shù)的值域和定義域，且有f（a）＝bf－1（b）＝a. 3．掌握基本初等函數(shù)的圖象，能熟練地運用函數(shù)圖象的平移、對稱、伸縮等變換畫函數(shù)的圖象，會自覺運用圖象研究函數(shù)的性質(zhì)（如定義域、值域、蛋調(diào)性、奇偶性等），討論方程的解的個數(shù)及解不等式等. 三、典型例題 【例1】 xx年湖南設(shè)P是△ABC內(nèi)任意一點，S△ABC表示△ABC的面積，λ1＝，λ2＝，λ3＝，定義f（p）＝（λ1，λ2，λ3）.若G是△ABC的重心，f（Q）＝（，， ），則 （ A ） A．點Q在△GAB內(nèi)　 B．點Q在△GBC內(nèi) C．點Q在△GCA內(nèi) 　 D．點Q與G重合 【解析】 利用特殊值法，假設(shè)△ABC是邊長為1的正三角形，易判斷點Q在△GAB內(nèi). 【評析】 本題考查了映射的定義及運用“新定義”分析、解決問題的能力.在正確理解“新定義”的基礎(chǔ)上，通過特殊三角形，運用篩選法求解. 變式題 由等式x4+a1x3+a2x2+a3x+a4＝(x+1)4+b1(x+1)3+b2(x+1)2+b3(x+1)+b4，定義映射f（a1，a2，a3，a4）→b1+b2+b3+b4，則f（4，3，2，1）＝ （ ） A．10 B．7 C．－1 D．0 【例2】　xx年天津設(shè)f－1（x）是函數(shù)f（x）＝（ax－a－x）（a＞1）的反函數(shù)，則使f－1（x）＞1成立的x的取值范圍為 （ A ） A（，+∞） B（－∞，） C（，a） D［a，+∞） 【分析】 思路一：先求f－1（x），再解不等式f－1（x）＞1. 思路二：利用反函數(shù)的定義，轉(zhuǎn)化為求f（x）（x＞1）的值域. 解法一：先求得f－1（x）＝loga（x+）（a＞1），由f－1（x）＞1得loga（x+）＞logaa， ∴x+＞a，解得x＞. 解法二：∵a＞1，∴f（x）＝（ax－a－x）為增函數(shù)，根據(jù)函數(shù)與反函數(shù)的定義域、值域之間的關(guān)系，由f－1（x）＞1，即在x＞1的條件下求f（x）的值域.∴f（x）＞f（1）＝（a－a－1）＝. 【評析】 本題考查反函數(shù)的概念以及解不等式的能力.解法二巧妙地利用函數(shù)與反函數(shù)定義域、值域的關(guān)系，以及函數(shù)的單調(diào)性，起到了事半功倍的效果. 變式題 設(shè)f－1（x）是函數(shù)f（x）＝的反函數(shù)，則以下不等式中恒成立的是 （ ） A．f－1（x）≤ 2x－1 B．f－1（x）≤ 2x+1 C．f－1（x）≥ 2x－1 D．f－1（x）≥ 2x+1 【例3】　xx年湖北函數(shù)y＝e︱lnx︱－︱x－1︱的圖象大致是 （ D ） 圖1－2－1 【解析】 法一：當(dāng)x≥1時，y＝1，根據(jù)圖象排除C，取x＝時，y＝＞1，排除A，B，故選D. 法二：由已知得y= 結(jié)合圖象選D. 【評析】 處理選圖問題，通常有兩種方法：方法一是采用選特殊點或利用函數(shù)性質(zhì)排除，方法二直接作函數(shù)的圖象. 變式題 xx年遼寧一給定函數(shù)y＝f（x）的圖象在下列圖中，并且對任意an∈（0，1），由關(guān)系式an+1＝f（an）得到的數(shù)列{an}滿足an+1＞an（n∈N*），則該函數(shù)的圖象是（ ） 　　　　　　　　　　　 A B C D  圖1－2－2 【例4】 xx年上海對定義域分別是Df，Dg的函數(shù)y＝f（x），y＝g（x）.規(guī)定： 函數(shù)h（x）＝ （1）若函數(shù)f（x）＝，g（x）＝x2，寫出函數(shù)h（x）的解析式； （2）求問題（1）中函數(shù)h（x）的值域； （3）若g（x）＝f（x+α），其中是常數(shù)，且α∈［0，］，請設(shè)計一個定義域為R的函數(shù)y＝f（x）及一個α的值，使得h（x）＝cos4x，并予以證明. h(x)= 【分析】 先仔細(xì)審題，理解題意.其中（1）（2）問寫出h（x）的解析式是關(guān)鍵，第（3）問聯(lián)想相關(guān)三角函數(shù)求解. 【解】 （1）由已知得 （2）當(dāng)x≠1時，h（x）＝＝x－1++2 若x＞1，則h（x）≥4，其中等號當(dāng)x＝2時成立. 若x＜1，則h（x）≤0，其中等號當(dāng)x＝0時成立. ∴函數(shù)h（x）的值域是（－∞，0］∪{1}∪［4，+∞） 解法一：令f（x）= sin2x+ cos2x，α＝ 則g（x）= f（x+α）= sin2（x+）+ cos2（x+）= cos2x － sin2x 于是 解法二：令f（x）＝1+sin2x，α＝，則g（x）＝f（x+α）＝1+sin［2（x+）］＝1－sin2x， 于是h（x）＝f（x）f（x+α）＝（1+sin2x）（1－sin2x）＝1－2sin22x＝cos4x. 【評析】 本題主要考查分段函數(shù)、三角函數(shù)、函數(shù)的值域等基礎(chǔ)知識，以及運用構(gòu)造法解題的能力.解此題的關(guān)鍵是要準(zhǔn)確得出函數(shù)的解析式. *【例5】 xx年全國Ⅲ已知函數(shù)f（x）＝，x∈［0，1］. （1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和值域； （2）設(shè)a≥1，函數(shù)g（x）＝x3－3a2x－2a，x∈，若對于任意x1∈［0，1］，總存在x0∈［0，1］，使得g（x0）＝f（x1）成立，求a的取值范圍. 【解】 （1）對函數(shù)f（x）求導(dǎo)，得 f′（x）＝＝－ 令f′（x）＝0，解得x＝或x＝（舍去） 當(dāng)x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表： x 0 （0，） （，1） 1 f′（x） － 0 + f（x） － －4  －3 所以，當(dāng)x∈（0，）時，f（x）是減函數(shù)；當(dāng)x∈（，1）時，f（x）是增函數(shù).當(dāng)x∈［（，1）］時，f（x）的值域為［－4，－3］. （2）對函數(shù)g（x）求導(dǎo)，得g′（x）＝3（x2－a2）. 因為a≥1，當(dāng)x∈［0，1］時，g′（x）＜3（1－a2）≤0. 因此當(dāng)x∈［0，1］時，g（x）為減函數(shù)，從而當(dāng)x∈［0，1］時，有g(shù)（x）∈［g（1），g（0）］. 又g（1）＝1－2a－3a2，g（0）＝－2a，即當(dāng)x∈［0，1］時，有g(shù)（x）∈［1－2a－3a2，－2 a］. 任給x1∈［0，1］，f（x1）∈［－4，－3］，存在x0∈［0，1］使得g（x0）＝f（x1）， ① ② 則［1－2a－3a2，－2 a］［－4，－3］ 即  解①式得a≥1或a≤－，解②式得a≤. 又a≥1，故a的取值范圍為1≤a≤. 【評析】 本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)、不等式等基礎(chǔ)知識，考查分析推理和知識的綜合應(yīng)用、轉(zhuǎn)化的能力.運用導(dǎo)數(shù)求值域的一般步驟是：求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)等于0，求y′＝0的根，求出最值點，寫出范圍（值域）. 方法技巧提煉 1．討論函數(shù)的性質(zhì)時，必須堅持定義域優(yōu)先的原則.對于函數(shù)實際應(yīng)用問題，注意挖掘隱含在實際中的條件，避免忽略實際意義對定義域的影響. 2．運用函數(shù)的性質(zhì)解題時，注意數(shù)形結(jié)合，揚長避短. 3．對于含參數(shù)的函數(shù)，研究其性質(zhì)時，一般要對參數(shù)進(jìn)行分類討論，全面考慮.如對二次項含參數(shù)的二次函數(shù)問題，應(yīng)分a＝0和a≠0兩種情況討論，指、對數(shù)函數(shù)的底數(shù)含有字母參數(shù)a時，需按a＞1和0＜a＜1分兩種情況討論. 4．解答函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的綜合問題時，注意等價轉(zhuǎn)化思想的運用.