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2019-2020年高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 平面的基本性質(zhì)教案 理 教材分析 這篇案例是在初中平面幾何知識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究平面的基本性質(zhì)．平面的基本性質(zhì)是研究立體幾何的基本理論基礎(chǔ)，這節(jié)課既是立體幾何的開頭課，又是基礎(chǔ)課，學(xué)生對(duì)本節(jié)內(nèi)容理解和掌握得如何，是能否學(xué)好立體幾何的關(guān)鍵之一．這節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是平面的基本性質(zhì)，難點(diǎn)是平面的基本性質(zhì)的應(yīng)用及建立空間概念、正確應(yīng)用符號(hào)語(yǔ)言． 教學(xué)目標(biāo) 1. 在引導(dǎo)學(xué)生觀察思考生活中的實(shí)例、實(shí)物模型等的基礎(chǔ)上，總結(jié)和歸納出平面的基本性質(zhì)，初步學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光去認(rèn)識(shí)和感受現(xiàn)實(shí)的三維空間． 2. 會(huì)用圖形語(yǔ)言、文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言準(zhǔn)確描述三個(gè)公理，能用公理及推論解決有關(guān)問題，提高學(xué)生的邏輯推理能力． 3. 通過畫圖和識(shí)圖，逐步培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，使學(xué)生在已有的平面圖形知識(shí)的基礎(chǔ)上，建立空間觀念． 任務(wù)分析 這節(jié)課是立體幾何學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，但學(xué)生空間立體感還不強(qiáng)．為此，教學(xué)時(shí)要充分聯(lián)系生活中的實(shí)例，如自行車有一個(gè)腳撐等，通過實(shí)例，使學(xué)生盡快形成對(duì)空間的正確認(rèn)識(shí)，建立初步的空間觀念；在聯(lián)系實(shí)際提出問題和引入概念時(shí)，要合理運(yùn)用教具，如講解公理1時(shí)，可讓學(xué)生利用手中的直尺去測(cè)桌面是不是平的；講解公理2時(shí)可讓學(xué)生觀察教室的墻面的關(guān)系等．通過這些方式加強(qiáng)由模型到圖形，再由圖形返回模型的基本訓(xùn)練，逐步培養(yǎng)學(xué)生由圖形想象出空間位置關(guān)系的能力．當(dāng)用文字和符號(hào)描述對(duì)象時(shí)，必須緊密聯(lián)系圖形，使抽象與直觀結(jié)合起來(lái)，即在圖形的基礎(chǔ)上發(fā)展其他數(shù)學(xué)語(yǔ)言．在闡述定義、定理、公式等重要內(nèi)容時(shí)，宜先結(jié)合圖形，再用文字和符號(hào)進(jìn)行描述，綜合運(yùn)用幾種數(shù)學(xué)語(yǔ)言，使其優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)，這樣，就有可能收到較好的效果，給學(xué)生留下較為深刻的印象． 教學(xué)設(shè)計(jì) 一、問題情景 1. 利用你手中的直尺，如何判定你課桌的桌面是不是平的． 2. 你騎的自行車有一個(gè)腳撐就可站穩(wěn)，為什么？ 3. 矩形硬紙板的一頂點(diǎn)放在講臺(tái)面上，硬紙板與講臺(tái)面不重合，能否說(shuō)這兩個(gè)平面只有一個(gè)公共點(diǎn)？ （利用多媒體屏幕呈現(xiàn)問題情景，即在屏幕上出現(xiàn)桌子與直尺、有一個(gè)腳撐的自行車、矩形硬紙與講臺(tái)面及相應(yīng)的問題．與現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系緊密的實(shí)物通過多媒體給出，能夠活躍課堂氣氛，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，從而引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)的去探究問題） 二、建立模型 1. 探究公理 （1）問題1的探究 教師提出問題，引發(fā)學(xué)生思考： 如何用直尺這個(gè)工具來(lái)判定你的桌面是不是平的呢？ （把直尺放在物體表面的各個(gè)方向上，如果直尺的邊緣與物體的表面不出現(xiàn)縫隙，就可判斷物體表面是平的） 教師點(diǎn)拔：這是判斷物體表面是不是平的的一個(gè)常用方法．如果物體表面是平的，把直尺邊緣無(wú)論如何放在平面上，則邊緣與平面都沒有縫隙，也就是說(shuō)，如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)．由此，可以歸納出公理1． 公理1　如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)（如圖14-1）． 這時(shí)我們說(shuō)，直線在平面內(nèi)或平面經(jīng)過直線．這一性質(zhì)是平面的主要特征．彎曲的面就不是處處具有這種性質(zhì)． 教師進(jìn)一步分析：為了書寫的簡(jiǎn)便，我們把代數(shù)中剛學(xué)習(xí)過的有關(guān)集合的符號(hào)，引入立體幾何中．把點(diǎn)作為基本元素，直線、平面即為“點(diǎn)的集合”，這樣： 點(diǎn)A在直線a上，記作A∈a； 點(diǎn)A在直線a外，記作Aa； 點(diǎn)A在平面α內(nèi)，記作A∈α； 點(diǎn)A在平面α外，記作Aα； 直線a在平面α內(nèi)，記作aα； 直線a在平面α外，記作aα． 公理1用集合符號(hào)表示為：A∈a，B∈a，A∈α，B∈α，則有ａα． 例：證明如果一個(gè)三角形的兩邊在一個(gè)平面內(nèi)，那么第三邊也在這個(gè)平面內(nèi)． 注意：在分析過程中，一定要強(qiáng)調(diào)“要證明直線在平面內(nèi)，則應(yīng)該證明什么？條件中有沒有，沒有如何去創(chuàng)造”．通過這種逆推思路的分析，培養(yǎng)學(xué)生良好的思考習(xí)慣． 練習(xí)：判斷下列命題的真假 ① 如果一條直線不在平面內(nèi)，則這條直線與平面沒有公共點(diǎn)． ② 過一條直線的平面有無(wú)數(shù)多個(gè)． ③ 與一個(gè)平面沒有公共點(diǎn)的直線不存在． ④ 如果線段AB在平面α內(nèi)，則直線AB也在平面內(nèi)a． （2）問題2的探究 教師提出問題，引發(fā)學(xué)生思考： 自行車有一個(gè)腳撐就可站穩(wěn)，為什么？ （因?yàn)榍拜喼攸c(diǎn)、后輪著地點(diǎn)、腳撐著地點(diǎn)三點(diǎn)在一個(gè)平面上，而且為了站穩(wěn)，前輪著地點(diǎn)、后輪著地點(diǎn)、腳撐著地點(diǎn)三點(diǎn)不共線，因此我們可以推測(cè)：過不共線的三點(diǎn)有且只有一個(gè)平面） 教師演示：用相交于一點(diǎn)的三根小棍的三個(gè)端點(diǎn)作為空間不在一直線上的三個(gè)點(diǎn)（如圖14-2），當(dāng)把作為平面的硬紙板放在上面時(shí)，這張作為平面的硬紙板不能再“動(dòng)”了，因?yàn)橐粍?dòng)就要離開其中的一個(gè)點(diǎn)，硬紙板所在平面就不能確定了，正如同剛才的發(fā)現(xiàn)：過不共線的三點(diǎn)有且只有一個(gè)平面． 公理2　經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．（如圖14-3） 公理2也可以簡(jiǎn)單地說(shuō)成：不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面． 教師演示課件：在空間給定不共線的三點(diǎn)A，B，C（如圖14-4），作直線AB，BC，CA，再在直線BC，CA，AB上分別取動(dòng)點(diǎn)P，Q，R，作直線AP，BQ，CR，讓P，Q，R分別在直線BC，CA，AB上運(yùn)動(dòng)，我們可以看到這些直線“編織”成一個(gè)平面． 教師出示問題：試舉出一個(gè)應(yīng)用公理2的實(shí)例． （例如，一扇門用兩個(gè)合頁(yè)和一把鎖就可以固定了） （3）問題3的探究 教師將矩形硬紙板的一頂點(diǎn)放在講臺(tái)面上，讓學(xué)生觀察，并同時(shí)提出問題：能否說(shuō)這兩個(gè)平面只有一個(gè)公共點(diǎn)？ （不能，因?yàn)槠矫媸菬o(wú)限延展的，所以這兩個(gè)平面應(yīng)該有一條經(jīng)過這公共點(diǎn)的直線） 教師點(diǎn)拔：我們只能用有限的模型或圖形來(lái)表示無(wú)限延展的平面，所以我們有時(shí)要看模型或圖形，但又不能受模型或圖形的限制來(lái)影響我們對(duì)平面的無(wú)限延展的了解．這個(gè)實(shí)例說(shuō)明了平面具有如下性質(zhì)． 公理3　如果兩個(gè)不重合的兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過這個(gè)點(diǎn)的公共直線．（如圖14-5） 公理3的數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言： P∈α，P∈βα∩β＝a，P∈a． 教師進(jìn)一步概括：為了簡(jiǎn)便，以后說(shuō)到兩個(gè)平面，如不特別說(shuō)明，都是指兩個(gè)不重合的平面．如果兩個(gè)平面有一條公共直線，則稱這兩個(gè)平面相交．這條公共直線叫作這兩個(gè)平面的交線．由公理３可見，兩個(gè)平面如果有一個(gè)公共點(diǎn)，那么就有無(wú)窮多個(gè)公共點(diǎn)，所有公共點(diǎn)在公共直線上，即它們的交線上；交線上的每一個(gè)點(diǎn)都是兩平面的公共點(diǎn)． 練習(xí)：判斷下列命題的真假． ①如果兩個(gè)平面有兩個(gè)公共點(diǎn)A，B，那么它們就有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，并且這些公共點(diǎn)都在直線AB上． ②兩個(gè)平面的公共點(diǎn)的集合可能是一條線段． 2. 推出結(jié)論 教師明晰：由于兩點(diǎn)確定一條直線，根據(jù)公理2容易得出如下推論： 推論1　經(jīng)過一條直線和直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面． 已知：點(diǎn)A，直線a，Aa．（如圖14-6） 求證：過點(diǎn)A和直線a可以確定一個(gè)平面． 分析：“確定一個(gè)平面”包含兩層意思：一是存在，二是唯一．這兩層都應(yīng)證明． （說(shuō)明：這個(gè)證明可以由教師引導(dǎo)學(xué)生一起分析完成，但步驟教師一定要板書） 證明：存在性． 因?yàn)锳a，在a上任取兩點(diǎn)B，C， 所以過不共線的三點(diǎn)A，B，C有一個(gè)平面α．（公理2） 因?yàn)锽∈α，C∈α， 所以a∈α．（公理1） 故經(jīng)過點(diǎn)A和直線a有一個(gè)平面α．唯一性．如果經(jīng)過點(diǎn)A和直線a的平面還有一個(gè)平面β，那么Ａ∈β，ａβ， 因?yàn)锽∈ａ，C∈ａ， 所以B∈β，B∈β．（公理1） 故不共線的三點(diǎn)A，B，C既在平面α內(nèi)又在平面β內(nèi)． 所以平面α和平面β重合．（公理2） 所以經(jīng)過點(diǎn)A和直線ａ有且只有一個(gè)平面．有時(shí)“有且只有一個(gè)平面”，我們也說(shuō)“確定一個(gè)平面”． 類似地可以得出下面兩個(gè)推論： 推論2　經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面．（如圖14-7） 推論3　經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面．（如圖14-8） 三、解釋應(yīng)用 ［例　題］ 兩兩相交且不過同一點(diǎn)的三條直線必在同一個(gè)平面內(nèi)．（如圖14-9） 已知：AB∩AC＝A，AB∩BC＝B，AC∩BC＝C． 求證：直線AB，BC，AC共面． 證法1：因?yàn)锳B∩AC＝A， 所以直線AB，AC確定一個(gè)平面α．（推論2） 因?yàn)锽∈AB，C∈AC， 所以B∈α，C∈α， 故BCα．（公理1） 因此，直線AB，BC，CA都在平面α內(nèi)，即它們共面． 證法2：因?yàn)锳直線BC， 所以過點(diǎn)A和直線BC確定平面α．（推論1） 因?yàn)锳∈α，B∈BC，所以B∈α． 故ABα， 同理ACα， 所以AB，AC，BC共面． 證法3：因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)不在一條直線上， 所以過A，B，C三點(diǎn)可以確定平面α．（公理2） 因?yàn)锳∈α，B∈α，所以ABα．（公理1） 同理BCα，ACα，所以AB，BC，CA三直線共面． 思考：在這道題中“且不過同一點(diǎn)”這幾個(gè)字能不能省略，為什么？ （不能，如果三條直線兩兩相交且過同一點(diǎn)，則這三條直線可以不共面） ［練　習(xí)］ 1. 三角形、梯形是平面圖形嗎？ 2. 已知：平面α外有一個(gè)△ABC，并且△ABC三條邊所在的直線分別與平面α交于三個(gè)點(diǎn)P，Q，R．求證P，Q，R三點(diǎn)共線． 四、拓展延伸 1. 四條直線兩兩相交且不過同一點(diǎn)，這四條直線是否一定共面？ 2. 兩個(gè)平面最多可以把空間分成幾個(gè)部分？三個(gè)平面呢？四個(gè)平面呢？ 點(diǎn)　評(píng) 這篇案例在教師指導(dǎo)下，從現(xiàn)實(shí)生活中選擇和確定問題進(jìn)行研究，以類似科學(xué)家探究的方式使學(xué)生主動(dòng)地解決問題，獲取知識(shí)，應(yīng)用知識(shí)，并在探究過程中充分利用模型、進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)等多種渠道．在問題探究的過程中，學(xué)生的空間想象能力、動(dòng)手能力、解題能力等得到了提高． 這篇案例充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用，讓學(xué)生參與到問題的探究中，讓學(xué)生成為“演員”，變成主角，成為解決問題的決策者，而教師只是充當(dāng)配角．這樣做不僅激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，活躍了課堂氣氛，還充分發(fā)揮了學(xué)生的主體意識(shí)和主觀能動(dòng)性，能讓學(xué)生從具體問題的分析過程中得到啟發(fā)，讓學(xué)生在互相討論的過程中學(xué)會(huì)自己分析轉(zhuǎn)換問題，解決問題．