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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 10.4《二項(xiàng)式定理》備課資料 舊人教版必修 ［例1］在(x2+3x+2)5的展開(kāi)式中，x的系數(shù)為 A.-160 B.240 C.360 D.800 分析：把［(x2+3x)+2］5直接展開(kāi)，即=(x2+3x)5+5(x2+3x)42+ 10(x2+3x)322+10(x2+3x)223+5(x2+3x)24+25. 注意到x的指數(shù)為1，只有在5(x2+3x)24中才出現(xiàn)x的項(xiàng)，所以x的系數(shù)為5３ ２4=240. 答案：B 但應(yīng)明確直接展開(kāi)只適用于n是較小的自然數(shù). 二、利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式 ［例2］由(x+)100展開(kāi)所得的x的多項(xiàng)式中，系數(shù)為有理數(shù)的共有________項(xiàng). A.50 B.17 C.16 D.15 分析：考慮(x+)100的展開(kāi)式的通項(xiàng) Tr+1=(x)100-r()r =x100-r =x100-r. 要使系數(shù)為有理數(shù)，則r為6的倍數(shù)，令r=6k(k∈Z)，而且0≤6k≤100,即r=0,6,12,…,96，因此共有17項(xiàng). 答案：B 三、分解因式求特定項(xiàng)系數(shù) ［例3］求(1+x+x2)(1-x)10展開(kāi)式中含x4項(xiàng)的系數(shù). 分析：原式=(1-x3)(1-x)9, 其中(1-x)9展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r+1=(-x)r. 令r=4,得T4+1=x4; 令r=1,得T1+1=-x. 故x4的系數(shù)為+=135. 四、利用排列組合原理求系數(shù) ［例4］求(x2+3x-1)9(2x+1)4展開(kāi)式中含x2的項(xiàng)的系數(shù). 分析：為了保證相乘得到x2的項(xiàng)，則前一式子中的x2、3x及后一式子中的2x取出的個(gè)數(shù)有以下幾種情況： 1、0、0；0、2、0；0、1、1；0、0、2. 故展開(kāi)式中含x2的項(xiàng)為x2(-1)8+(3x)2(-1)7+ (3x)1 (-1)82x+(-1)9(2x)2=(9-324+216-24)x2=-123x2, 故所求系數(shù)為-123. 五、利用估算公式求系數(shù)最大項(xiàng) 估算公式：若二項(xiàng)式(ax+by)n(a,b∈R+,n∈N)的展開(kāi)式的系數(shù)最大的項(xiàng)為第r+1項(xiàng)， 則有 公式證明：設(shè)展開(kāi)式的第r、r+1、r+2項(xiàng)的系數(shù)分別為,,. 由展開(kāi)式相鄰兩項(xiàng)的系數(shù)關(guān)系， 易知 而由題意，第r+1項(xiàng)的系數(shù)最大， 所以，, 即成立. ［例5］問(wèn)(2+3x)20展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第幾項(xiàng)？ 解：設(shè)第r+1項(xiàng)的系數(shù)最大，則 解得≤r≤. 由于r是正整數(shù)，所以r=12,即第13項(xiàng)的系數(shù)最大. 說(shuō)明：若在(ax+by)n中，a、b異號(hào)，則估算公式改為 由此算出的是展開(kāi)式中系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng). 六、巧求二項(xiàng)展開(kāi)式某一特定項(xiàng) 求二項(xiàng)展開(kāi)式中某一特定項(xiàng)是《排列組合二項(xiàng)式定理》中常見(jiàn)題型之一.它的一般解法是應(yīng)用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，這已為大家所熟知.本文要介紹的是另一種解法，這種解法能使某些直接應(yīng)用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)不易解決的問(wèn)題迎刃而解. ［例6］求(a+b+c+d)1995展開(kāi)式中a200b800c900d95項(xiàng)的系數(shù). 解：(a+b+c+d)1995=(a+b+c+d)(a+b+c+d)…(a+b+c+d),一共1995個(gè)因式相乘，等號(hào)右邊的積的展開(kāi)式的每一項(xiàng)是從1995個(gè)因式的每一因式中任取一個(gè)字母的乘積.顯然a200b800c900d95項(xiàng)的系數(shù)應(yīng)為. ［例7］求(|x|+-2)3展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng). 解：(|x|+-2)3=()6. 展開(kāi)式中第r+1項(xiàng)為 Tr+1=(-1)r=(-1)r|x|3-r, 當(dāng)且僅當(dāng)r=3時(shí)，Tr+1為常數(shù)，所以，所求常數(shù)項(xiàng)為T(mén)4=-20. ［例8］求(1+x-x2)6展開(kāi)式中的x5項(xiàng). 分析：1+x-x2不是完全平方式，若不用本文所給方法，則要兩次應(yīng)用二項(xiàng)式定理，若用本文所給新解法，則化繁為簡(jiǎn). 解：(1+x-x2)6展開(kāi)式中，xm+2n項(xiàng)(其中m,n都是自然數(shù)，且m+2n≤6)是(-1)nxm+2n.已知m+2n=5,方程的解有以下幾種情況： ①若n=1,則m=3,得項(xiàng)-x5=-60x5; ②若n=2，則m=1，得項(xiàng)x5=60x5; ③若n=0,則m=5,得項(xiàng)x5=6x5. 以上3種合計(jì)得項(xiàng)是-60x5+60x5+6x5=6x5. ●備課資料 一、與二項(xiàng)式系數(shù)有關(guān)的求和問(wèn)題 (一)賦值法 ［例1］證明下列等式. (1)+++…+=2n; (2)+++…=+++…=2n-1. 證明：利用(1+x)n=+x+x2+…+xn賦值. 令x=1可得 (1+1)n=+++…+=2n. 令x=-1可得 (1-1)n=+++…. 可得+++…=+++…. 又+++…+=2n, ∴++…=++…=2n=2n-1. ［例2］若(2x+)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,求a1+a2+a3+a4=________. 分析：令x=1可得 (2+)4=a0+a1+a2+a3+a4. 又a0=()4=9, ∴a1+a2+a3+a4=(2+)4-9=88+56. (二)公式法 ［例3］求和：++ +…. 分析：針對(duì)求和問(wèn)題，抓住變通項(xiàng)思路，靈活運(yùn)用組合數(shù)公式將變量轉(zhuǎn)化為不變量，并結(jié)合組合數(shù)性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn). 解：∵ = = =， ∴+++…+ =++…+ =(+++…+) =(+++…+-1) = (2n+1-1). (三)裂項(xiàng)求和 ［例4］求和：+++…+. 分析：抓住通項(xiàng)，對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行變形，然后尋求求解思路. 解：∵=, ∴=. ∴++…+ =(+…+(-) =2-. (四)構(gòu)造等式 ［例5］求和：+++…+(r＜n). 解：由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式知 (1+x)r+(1+x)r+1+…+(1+x)n=. 又等式左邊的展開(kāi)式中xr項(xiàng)的系數(shù)和為+++…+. 等式右邊的展開(kāi)式中xr項(xiàng)的系數(shù)就是 (1+x)n+1-(1+x)r展開(kāi)式中xr+1項(xiàng)的系數(shù)為. ∴+++…+=. (五)逆用二項(xiàng)式定理 ［例6］已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公比為q. 求和：a1+a2+a3+…+an+1. 解：a1+a2+a3+…+an+1 =a1+a1q+a1q2+…+a1qn =a1(+q+q2+…+qn) =a1(1+q)n. (六)倒序相加法 ［例7］已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差為d, 求和：a1+a2+a3+…+an+1. 解：設(shè)Sn= a1+a2+a3+…+an+1, ① 則Sn=an+1+an+an-1+…+a1, 即Sn=an+1+an+an-1+…+a1. ② ①+②得2Sn=(a1+an+1)+(a2+an)+…+(a1+an+1). 又∵等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差為d, ∴a1+an+1=a2+an=a3+an-1=…=a1+an+1=2a1+nd. ∴2Sn=(a1+an+1)+(a2+an)+(a3+an-1)+…+(a1+an+1) =(2a1+nd)(++…+) =(2a1+nd)2n. ∴a1+a2+a3+…+an+1=(2a1+nd)2n-1. 二、創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境證明組合數(shù)等式 有關(guān)多個(gè)組合數(shù)之和的等式可以通過(guò)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，并設(shè)計(jì)不同的解題方案，尋求其中的等量關(guān)系. ［例1］求證：+++…+=2n. 創(chuàng)設(shè)問(wèn)題：集合A={a1,a2,…,an}的所有子集的個(gè)數(shù)是多少？ 方案一：按A的子集中元素的個(gè)數(shù)分類求解+++…+. 方案二：按ai是否進(jìn)入A的子集分步求解=2n. 結(jié)論：+++…+=2n. ［例2］求證：()2+()2+()2+…+()2=. 創(chuàng)設(shè)問(wèn)題1： 求(1+x)2n展開(kāi)式中xn的系數(shù). 方案一：考慮(1+x)2n展開(kāi)式中xn的系數(shù). 方案二：考慮(1+x)n(1+x)n展開(kāi)式中xn的系數(shù)為++…+. 結(jié)論：()2+()2+()2+…+()2=. 創(chuàng)設(shè)問(wèn)題2： 一只口袋中有2n個(gè)不同小球，其中有n個(gè)紅色的，n個(gè)黃色的，從中任取n個(gè)小球，有多少種方法？ 方案一：不分紅黃，從2n個(gè)小球中任取n個(gè)小球. 方案二：按照所取紅球的個(gè)數(shù)分類 ++…+. 結(jié)論：()2+()2+()2+…+()2=. 另外，類似還可設(shè)計(jì)問(wèn)題 A={a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn}，求A的含有n個(gè)元素的子集的個(gè)數(shù). ［例3］求證： +2+3+…+n=n2n-1. 創(chuàng)設(shè)問(wèn)題：求數(shù)列{ar},ar=r的前n項(xiàng)和Sn. 方案一：依次求Sn=+2+…+n. 方案二：顛倒求Sn=n+(n-1)+…+=n+(n-1)+…+. 錯(cuò)位相加得 2Sn=n(++…+)=n2n. 結(jié)論：+2+3+…+n=n2n-1. 創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境證明組合數(shù)等式不僅運(yùn)算量小，生動(dòng)有趣，而且有利于培養(yǎng)我們的想象力和創(chuàng)造性思維能力，如果我們擁有這方面的意識(shí)，就能很快找到創(chuàng)設(shè)問(wèn)題的依據(jù)，從而幫助我們巧妙解決難題. ●備課資料 一、有關(guān)二項(xiàng)式定理的高考試題分類解析 高考中二項(xiàng)式定理試題幾乎年年有，主要是利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求展開(kāi)式的某一項(xiàng)的系數(shù)，求展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)；利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，求某多項(xiàng)式的系數(shù)和，證明組合數(shù)恒等式和整除問(wèn)題，及近似計(jì)算問(wèn)題，考查的題型主要是選擇題和填空題，多是容易題和中等難度的試題，但有時(shí)綜合解答題也涉及到二項(xiàng)式定理的應(yīng)用. (一)求多個(gè)二項(xiàng)式的積(和)的展開(kāi)式中條件項(xiàng)的系數(shù) ［例1］(xx年全國(guó)高考)(x2-)9展開(kāi)式中x9的系數(shù)是________. 分析：此題體現(xiàn)抓“通項(xiàng)”的思路. 解：Tr+1=(x2)9-r(-)r =(-1)r2-rx18-2rx-r =(-1)r2-rx18-3r, 當(dāng)18-3r=9時(shí),得r=3, 所以x9系數(shù)為(-1)32-3=-. ［例2］(xx年全國(guó)高考題)(x+2)10(x2-1)展開(kāi)式中含x10的系數(shù)為_(kāi)_______.(用數(shù)字作答) 分析：(x+2)10 (x2-1)展開(kāi)式中含x10的項(xiàng)由(x+2)10展開(kāi)式中含x10的項(xiàng)乘以-1再加上(x+2)10展開(kāi)式中含x8的項(xiàng)乘以x2得到，即 x10(-1)+ x822x2, 故所求的x10的系數(shù)為 (-1)+22=179. ［例3］(xx年上海高考題)在(1+x)5(1-x)4的展開(kāi)式中，x3的系數(shù)為_(kāi)_______. 分析：(1+x)5(1-x)4=(1+x)(1-x2)4, 其中(1-x2)4展開(kāi)的通項(xiàng)為(-x2)r,故展開(kāi)式中x3的系數(shù)為-=-4. ［例4］(1990年全國(guó)高考題)(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展開(kāi)式中x2的系數(shù)等于________. 分析：求較復(fù)雜的代數(shù)式的展開(kāi)式中某項(xiàng)的系數(shù)，常需對(duì)所給代數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，減小計(jì)算量. 原式==, 只需求(x-1)6展開(kāi)式中x3的系數(shù)即可，Tr+1=x6-r(-1)r, 令r=3得系數(shù)為-20. (二)求多項(xiàng)式系數(shù)和 ［例5］(xx年全國(guó)高考題)若(2x+)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,則(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值為 A.1 B.-1 C.0　　　　　　　　　　D.2 分析：涉及展開(kāi)式的系數(shù)和的問(wèn)題，常用賦值法. 解：欲求式可變?yōu)?a0+a2+a4)2-(a1+a3)2 =(a0+a1+a2+a3+a4)(a0-a1+a2-a3+a4). 實(shí)際上，a0+a1+a2+a3+a4和a0-a1+a2-a3+a4分別為已知式在x=1,x=-1的值. 令x=1，得 (2+)4=a0+a1+a2+a3+a4, 令x=-1，得 (2-)4=a0-a1+a2-a3+a4, ∴(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2 =(2+)4(2-)4 =［(2+)(2-)］4 =(4-3)4 =1. (三)求冪指數(shù)n ［例6］(1995年上海高考題)若(x+1)n=xn+…+ax3+bx2+…+1(n∈N),且a∶b=3∶1,那么n=________. 分析：x3的系數(shù)a=，x2的系數(shù)b=C2n,依題意a∶b=3∶1, 即∶=3∶1, 解得n=11. 即n=11滿足題意. (四)求二項(xiàng)式中有關(guān)元素 此類問(wèn)題一般是根據(jù)已知條件列出等式，進(jìn)而解得所要求的元素. ［例7］(1997年全國(guó)高考題)已知()9的展開(kāi)式中x3的系數(shù)為,則常數(shù)a的值為_(kāi)_______. 分析：通項(xiàng)Tr+1=()9-r(-)r=a9-r(-)r, 令r-9=3, 解得r=8, 故a9-r(-)r=. 解得a=4. ［例8］(xx年上海高考題)設(shè)n∈N,(1+)n的展開(kāi)式中x3的系數(shù)為,則n=________. 分析：Tr+1=()rxr, 令x3的系數(shù)為, 展開(kāi)整理得. 解得n=4. (五)三項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成二項(xiàng)式問(wèn)題 ［例9］(1997年全國(guó)高考題)在(x2+3x+2)5的展開(kāi)式中，x的系數(shù)為 A.160 B.240 C.360 D.800 分析：原式寫(xiě)成二項(xiàng)式［(x2+2)+3x］5,設(shè)第r+1項(xiàng)為含x的項(xiàng). 則Tr+1=(x2+2)5-r(3x)r(0≤r≤5), 要使x的指數(shù)為1，只有r=1才有可能， 即T2=(x2+2)43x=15x(x8+42x6+64x4+48x2+24). ∴x的系數(shù)為1524=240. 答案：B (六)求整除余數(shù) ［例10］(1992年“三南”高考題)9192除以100的余數(shù)是________. 分析：9192=(90+1)92=9092+9091+…+90+. 由此可見(jiàn)，除后兩項(xiàng)外均能被100整除. 而90+=8281=82100+81. 故9192被100整除余數(shù)為81. (七)利用二項(xiàng)展開(kāi)式證明不等式 ［例11］(xx年全國(guó)高考題)已知i,m,n是正整數(shù)，且1＜i≤m＜n. (1)證明：ni＜mi; (2)證明：(1+m)n＞(1+n)m. 證明：(1)略. (2)由二項(xiàng)式定理知 (1+m)n=, (1+n)m= 由(1)知ni＜mi, 又=,= ∴ni＜mi (1＜i≤m＜n). 故<. 又n0=m0，n=mn=m, ∴<, 即(1+n)m＜(1+m)n. (八)求近似值 ［例12］某地現(xiàn)有耕地10000公頃，規(guī)劃10年后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)在增加22%，人均糧食占有量比現(xiàn)在提高10%，如果人口年增長(zhǎng)率為1%，那么耕地平均每年至多只能減小多少公頃(精確到1公頃)？ (糧食單產(chǎn)=，人均糧食占有量=) 分析：此類試題是利用二項(xiàng)式定理的展開(kāi)式求近似值，主要考查利用二項(xiàng)式定理進(jìn)行近似計(jì)算的能力. 解：設(shè)耕地平均每年至多只能減少x公頃(hm2),又設(shè)該地區(qū)現(xiàn)有人口為P人，糧食單產(chǎn)為M噸/公頃(t/hm2), 依題意得不等式 , 化簡(jiǎn)得x≤103［1-］, ∵103［1-］=103［1-(1+0.01+0.012+…)］ ≈103［1-1.1045］≈4.1, ∴x≤4(公頃).