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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.3 圓的方程 2.3.2 圓的一般方程教案 新人教B版必修2 教學(xué)分析　　　　　 教材利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)出了圓的一般方程，并討論了二元二次方程與圓的關(guān)系，值得注意的是在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生分析圓的兩種方程形式的特點(diǎn)和各自適用的范圍． 三維目標(biāo)　　　　　 1．掌握?qǐng)A的一般方程的特點(diǎn)，培養(yǎng)分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想． 2．會(huì)求圓的方程，提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力． 重點(diǎn)難點(diǎn)　　　　　 教學(xué)重點(diǎn)：圓的一般方程及其與標(biāo)準(zhǔn)方程的互化． 教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)條件“D2＋E2－4F>0”的理解． 課時(shí)安排　　　　　 1課時(shí) 導(dǎo)入新課　　　　　 設(shè)計(jì)1.寫(xiě)出圓心為(a，b)，半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 將圓的標(biāo)準(zhǔn)方程展開(kāi)并整理，得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0. 如果設(shè)D＝－2a，E＝－2b，F(xiàn)＝a2＋b2－r2，得到方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，這說(shuō)明圓的方程還可以表示成另外一種非標(biāo)準(zhǔn)方程形式． 能不能說(shuō)方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0所表示的曲線(xiàn)一定是圓呢？這就是我們本堂課學(xué)習(xí)的內(nèi)容． 設(shè)計(jì)2.問(wèn)題：求過(guò)三點(diǎn)A(0,0)，B(1,1)，C(4,2)的圓的方程．利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解決此問(wèn)題顯然有些麻煩，用直線(xiàn)的知識(shí)解決又有其簡(jiǎn)單的局限性，那么這個(gè)問(wèn)題有沒(méi)有其他解決方法呢？帶著這個(gè)問(wèn)題我們來(lái)共同研究圓的方程的另一種形式． 推進(jìn)新課　　　　　 (1)前一章我們研究直線(xiàn)方程用的什么順序和方法？,(2)這里我們研究圓的方程是否也能類(lèi)比研究直線(xiàn)方程的順序和方法呢？,(3)給出式子x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，請(qǐng)你利用配方法化成不含x和y的一次項(xiàng)的式子.,(4)把式子(x－a)2＋(y－b)2＝r2與x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0配方后的式子比較，得出x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的條件.,(5)對(duì)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與圓的一般方程作一比較，看各自有什么特點(diǎn)？ 討論結(jié)果： (1)以前學(xué)習(xí)過(guò)直線(xiàn)，我們首先學(xué)習(xí)了直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式，最后學(xué)習(xí)一般式．大家知道，我們認(rèn)識(shí)一般的東西，總是從特殊入手．如探求直線(xiàn)方程的一般形式就是通過(guò)把特殊的公式(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、……)展開(kāi)整理而得到的． (2)我們想求圓的一般方程，可仿照直線(xiàn)方程試一試！我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，把標(biāo)準(zhǔn)形式展開(kāi)，整理得到，也是從特殊到一般． (3)把式子x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0配方得(x＋)2＋(y＋)2＝. (4)(x－a)2＋(y－b)2＝r2中，r>0時(shí)表示圓，r＝0時(shí)表示點(diǎn)(a，b)，r<0時(shí)不表示任何圖形．因此式子(x＋)2＋(y＋)2＝. ①當(dāng)D2＋E2－4F>0時(shí)，表示以(－，－)為圓心，為半徑的圓； ②當(dāng)D2＋E2－4F＝0時(shí)，方程僅有一組實(shí)數(shù)解x＝－，y＝－，即只表示一個(gè)點(diǎn)(－，－)； ③當(dāng)D2＋E2－4F<0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解，因而它不表示任何圖形． 綜上所述，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的曲線(xiàn)不一定是圓，由此得到圓的方程都能寫(xiě)成x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式，但方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的曲線(xiàn)不一定是圓，只有當(dāng)D2＋E2－4F>0時(shí)，它表示的曲線(xiàn)才是圓．因此x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的條件是D2＋E2－4F>0. 我們把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的方程稱(chēng)為圓的一般方程． (5)圓的一般方程形式上的特點(diǎn) x2和y2的系數(shù)相同，不等于0.沒(méi)有xy這樣的二次項(xiàng)． 圓的一般方程中有三個(gè)待定的系數(shù)D、E、F，因此只要求出這三個(gè)系數(shù)，圓的方程就確定了． 與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程相比較，它是一種特殊的二元二次方程，代數(shù)特征明顯，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程則指出了圓心坐標(biāo)與半徑大小，幾何特征較明顯． 思路1 例1將下列圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，并寫(xiě)出圓的圓心坐標(biāo)和半徑： (1)x2＋y2＋4x－6y－12＝0； (2)4x2＋4y2－8y＋4y－15＝0. 解：(1)對(duì)方程左邊配方，方程化為 (x＋2)2＋(y－3)2＝25. 所以圓心的坐標(biāo)為(－2,3)，半徑為5. (2)方程兩邊除以4，得 x2＋y2－2x＋y－＝0. 方程左邊配方，得 (x－1)2＋(y＋)2＝5. 所以圓心的坐標(biāo)為(1，－)，半徑為. 變式訓(xùn)練 1．圓x2＋y2－4x－8y＝0的圓心坐標(biāo)是________，半徑r＝________. 答案：(2,4)　2 2．圓x2＋y2＋Dx＋4y＋1＝0的半徑r＝4，則D＝________. 答案：2 例2求過(guò)三點(diǎn)A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)的圓的方程． 解：設(shè)所求圓的方程為 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. 根據(jù)題設(shè)條件，用待定系數(shù)法確定D，E，F(xiàn).因?yàn)辄c(diǎn)A，B，C的圓上，所以它們的坐標(biāo)是方程的解，把它們的坐標(biāo)依次代入上面的方程，整理得到關(guān)于D，E，F(xiàn)的三元一次方程組 解這個(gè)方程組，得 于是得到所求圓的方程 x2＋y2＋6x－2y－15＝0. 點(diǎn)評(píng)：我們也可以設(shè)圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2.同樣，根據(jù)已知條件可以列出三個(gè)未知數(shù)的方程組．通過(guò)解方程組，求出a，b，r.那樣做，會(huì)有較大的運(yùn)算量． 變式訓(xùn)練 　求過(guò)三點(diǎn)O(0,0)，M1(1,1)，M2(4,2)的圓的方程，并求圓的半徑和圓心坐標(biāo)． 解：設(shè)所求圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由O，M1，M2在圓上，則有 解得D＝－8，E＝6，F(xiàn)＝0. 故所求圓的方程為x2＋y2－8x＋6y＝0，即(x－4)2＋(y＋3)2＝52. 所以圓心坐標(biāo)為(4，－3)，半徑為5. 例3已知一曲線(xiàn)是與兩個(gè)定點(diǎn)O(0,0)，A(3,0)距離的比為的點(diǎn)的軌跡，求這個(gè)曲線(xiàn)的方程，并畫(huà)出曲線(xiàn)． 解：在給定的坐標(biāo)系中，設(shè)M(x，y)是曲線(xiàn)上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)M在曲線(xiàn)上的條件是 ＝. 由兩點(diǎn)之間的距離公式，上式用坐標(biāo)表示為 ＝， 兩邊平方并化簡(jiǎn)，得曲線(xiàn)方程 x2＋y2＋2x－3＝0， 將方程配方，得 (x＋1)2＋y2＝4. 所以所求曲線(xiàn)是圓心為C(－1,0)，半徑為2的圓(如下圖)． 點(diǎn)評(píng)：到兩定點(diǎn)A(a，b)，B(c，d)距離的比為λ(λ>0)的點(diǎn)的軌跡為C，當(dāng)λ＝1時(shí)，C為直線(xiàn)即線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)；當(dāng)λ>1或0<λ<1時(shí)，C為圓．本題中利用含有動(dòng)點(diǎn)M的等式＝，求得軌跡方程的方法稱(chēng)為定義法． 變式訓(xùn)練 　求與兩定點(diǎn)A(1,0)，B(5,0)距離的比為的點(diǎn)的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡形狀． 解：設(shè)M(x，y)是軌跡上任一點(diǎn)，則有 ＝， ∴有＝， 整理，得x2＋y2－x－2＝0， 即(x－)2＋y2＝， ∴軌跡方程是(x－)2＋y2＝，其形狀是以(，0)為圓心，半徑為的圓． 思路2 例4已知點(diǎn)P(10,0)，Q為圓x2＋y2＝16上一動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)Q在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程． 解法一：如下圖，作MN∥OQ交x軸于N， 則N為OP的中點(diǎn)，即N(5,0)．因?yàn)閨MN|＝|OQ|＝2(定長(zhǎng))． 所以所求點(diǎn)M的軌跡方程為(x－5)2＋y2＝4. 解法二：設(shè)M(x，y)為所求軌跡上任意一點(diǎn)Q(x0，y0)． 因?yàn)镸是PQ的中點(diǎn)，所以即(*) 又因?yàn)镼(x0，y0)在圓x2＋y2＝16上，所以x＋y＝16. 將(*)代入得(2x－10)2＋(2y)2＝16.故所求的軌跡方程為(x－5)2＋y2＝4. 點(diǎn)評(píng)：解法一是根據(jù)已知條件判斷出軌跡形狀為圓，從而求得軌跡方程．解法二稱(chēng)為相關(guān)點(diǎn)法，其步驟是：①設(shè)被動(dòng)點(diǎn)M(x，y)，主動(dòng)點(diǎn)Q(x0，y0)． ②求出點(diǎn)M與點(diǎn)Q坐標(biāo)間的關(guān)系(Ⅰ) ③從(Ⅰ)中解出(Ⅱ) ④將(Ⅱ)代入主動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程(已知曲線(xiàn)的方程)，化簡(jiǎn)得被動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程． 變式訓(xùn)練 　已知線(xiàn)段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4,3)，端點(diǎn)A在圓(x＋1)2＋y2＝4上運(yùn)動(dòng)，求線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程． 　 解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是(x，y)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(x0，y0)． 由于點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4,3)且M是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，所以x＝，y＝.于是有x0＝2x－4，y0＝2y－3.① 因?yàn)辄c(diǎn)A在圓(x＋1)2＋y2＝4上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程(x＋1)2＋y2＝4，即(x0＋1)2＋y＝4.② 把①代入②，得(2x－4＋1)2＋(2y－3)2＝4，整理，得(x－)2＋(y－)2＝1. 所以點(diǎn)M的軌跡是以(，)為圓心，半徑長(zhǎng)為1的圓． 例5求圓心在直線(xiàn)l：x＋y＝0上，且過(guò)兩圓C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0和C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的交點(diǎn)的圓的方程． 分析：由于兩圓的交點(diǎn)可求，圓心在一直線(xiàn)上，所以應(yīng)先求交點(diǎn)再設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 解：解方程組得兩圓交點(diǎn)為(0,2)，(－4,0)． 設(shè)所求圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，因?yàn)閮牲c(diǎn)在所求圓上，且圓心在直線(xiàn)l上，所以得方程組 解得a＝－3，b＝3，r＝.故所求圓的方程為(x＋3)2＋(y－3)2＝10. 點(diǎn)評(píng)：由已知條件容易求圓心坐標(biāo)、半徑或需要用圓心的坐標(biāo)、半徑列方程的問(wèn)題，往往設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 變式訓(xùn)練 　已知圓在x軸上的截距分別為1和3，在y軸上的截距為－1，求該圓的方程． 解法一：利用圓的一般方程． 設(shè)所求的圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由已知，該圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0)，(3,0)和(0，－1)，則有 解得D＝－4，E＝4，F(xiàn)＝3. 故所求圓的方程為x2＋y2－4x＋4y＋3＝0. 解法二：利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．由題意該圓經(jīng)過(guò)P(1,0)，Q(3,0)，R(0，－1)， 設(shè)圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，則圓心C(a，b)在PQ的垂直平分線(xiàn)上，故a＝2. 因?yàn)閨PC|＝|RC|，所以＝. 將a＝2代入，得b＝－2，所以C(2，－2)． 而r＝|PC|＝，故所求圓的方程為(x－2)2＋(y＋2)2＝5. 1．已知點(diǎn)P(2,1)在圓C：x2＋y2＋ax－2y＋b＝0上，點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)x－y＝0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′也在圓C上，則a＋b＝________. 解析：由題意得直線(xiàn)x－y＝0過(guò)圓心C(－，1)，則－－1＝0，所以a＝－2.又P′(1,2)，則12＋22－2－4＋b＝0，則b＝1，所以a＋b＝－1. 答案：－1 2．求下列各圓的半徑和圓的坐標(biāo)： (1)x2＋y2－6y＝0； (2)x2＋y2＋2by＝0(b≠0)； (3)x2＋y2－2ax－2ay＋3a2＝0(a≠0)． 答案：(1)(x－3)2＋y2＝9，圓心為(3,0)，半徑為3. (2)x2＋(y＋b)2＝b2，圓心為(0，－b)，半徑為|b|. (3)(x－a)2＋(y－a)2＝a2，圓心為(a，a)，半徑為|a|. 3．下列方程各表示什么圖形？ (1)x2＋y2＝0； (2)x2＋y2－2x＋4y－6＝0； (3)x2＋y2＋2ax－b2＝0. 解：(1)此方程表示一個(gè)點(diǎn)O(0,0)． (2)可化為(x－1)2＋(y＋2)2＝11， ∴此方程表示以點(diǎn)(1，－2)為圓心，為半徑的圓． (3)可化為(x＋a)2＋y2＝a2＋b2(a≠0)， ∴此方程表示以(－a,0)為圓心，為半徑的圓． 4．如下圖，等腰梯形ABCD的底邊長(zhǎng)分別為6和4，高為3，求這個(gè)等腰梯形的外接圓的方程，并求這個(gè)圓的圓心坐標(biāo)和半徑長(zhǎng)． 解：顯然，等腰梯形ABCD的外接圓的圓心在y軸上． 由題設(shè)，可得點(diǎn)B的坐標(biāo)是(3,0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)是(2,3)． 線(xiàn)段BC的中點(diǎn)坐標(biāo)是F(，)，直線(xiàn)BC的斜率是kBC＝－3. 線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)的方程是y－＝(x－)． 與y軸的方程x＝0聯(lián)立，解得y＝. 所以，梯形外接圓的圓心E的坐標(biāo)是(0，)． 半徑長(zhǎng)|EB|＝＝. 所以，梯形外接圓的方程是x2＋(y－)2＝ . 半徑長(zhǎng)是，圓心坐標(biāo)是(0，)． 問(wèn)題：已知圓x2＋y2－x－8y＋m＝0與直線(xiàn)x＋2y－6＝0相交于P、Q兩點(diǎn)，定點(diǎn)R(1,1)，若PR⊥QR，求實(shí)數(shù)m的值． 解：設(shè)P(x1，y1)、Q(x2，y2)， 由消去y，得5x2＋4m－60＝0.① 由題意，方程①有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，所以60－4m>0，即m<15. 由韋達(dá)定理因?yàn)镻R⊥QR，所以kPRkQR＝－1. 所以＝－1，即(x1－1)(x2－1)＋(y1－1)(y2－1)＝0，即x1x2－(x1＋x2)＋y1y2－(y1＋y2)＋2＝0.② 因?yàn)閥1＝3－，y2＝3－， 所以y1y2＝(3－)(3－)＝9－(x1＋x2)＋＝9＋，y1＋y2＝6. 代入②，得x1x2＋5＝0，即(m－12)＋5＝0. 所以m＝10，適合m<15.所以實(shí)數(shù)m的值為10. 本節(jié)課學(xué)習(xí)了：圓的一般方程，軌跡方程的求法． 本節(jié)練習(xí)B　1,2題． 這是一節(jié)介紹新知識(shí)的課，而且這節(jié)課還非常有利于展現(xiàn)知識(shí)的形成過(guò)程．因此，在設(shè)計(jì)這節(jié)課時(shí)，力求“過(guò)程、結(jié)論并重，知識(shí)、能力、思想方法并重”． 在展現(xiàn)知識(shí)的形成過(guò)程中，盡量避免學(xué)生被動(dòng)接受，引導(dǎo)學(xué)生探索，重視探索過(guò)程．一方面，把直線(xiàn)一般方程探求過(guò)程進(jìn)行回顧、類(lèi)比，學(xué)生從中領(lǐng)會(huì)探求方法；另一方面，“把標(biāo)準(zhǔn)方程展開(kāi)→認(rèn)識(shí)一般方程”這一過(guò)程充分運(yùn)用了“通過(guò)特殊認(rèn)識(shí)一般”的科學(xué)思想方法．同時(shí)，通過(guò)類(lèi)比進(jìn)行條件的探求——“D2＋E2－4F”與“Δ”(判別式)類(lèi)比．在整個(gè)探求過(guò)程中充分利用了“舊知識(shí)”及“舊知識(shí)的形成過(guò)程”，并用它探求新知識(shí)．這樣的過(guò)程，既是學(xué)生獲得新知識(shí)的過(guò)程，更是培養(yǎng)學(xué)生能力的過(guò)程． 備選習(xí)題 1．若方程x2＋y2＋x＋y＋a＝0表示圓，則a的取值范圍是(　　) A．a(chǎn)<－2或a> B．a(chǎn)> C．R D．a(chǎn)< 分析：由二元二次方程表示圓的條件，有D2＋E2－4F＝a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0. 解之，可得－20，從而f(x，y)－f(x0，y0)＝x2＋y2＋Dx＋Ey＋F－x－y－Dx0－Ey0－F＝0，過(guò)點(diǎn)A(x0，y0)與圓C同心的圓． 答案：C 4．判斷下列二元二次方程是否表示圓的方程？如果是，請(qǐng)求出圓的圓心坐標(biāo)及半徑． (1)4x2＋4y2－4x＋12y＋9＝0；(2)4x2＋4y2－4x＋12y＋11＝0. 解：(1)由4x2＋4y2－4x＋12y＋9＝0，得D＝－1，E＝3，F(xiàn)＝，而D2＋E2－4F＝1＋9－9＝1>0， 所以方程4x2＋4y2－4x＋12y＋9＝0表示圓的方程，其圓心為(，－)，半徑為； (2)由4x2＋4y2－4x＋12y＋11＝0，得D＝－1，E＝3，F(xiàn)＝，D2＋E2－4F＝1＋9－11＝－1<0，所以方程4x2＋4y2－4x＋12y＋11＝0不表示圓的方程． 點(diǎn)評(píng)：對(duì)于形如Ax2＋By2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程判斷其是否表示圓，先化為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式，再利用條件D2＋E2－4F與0的大小判斷，不能直接套用．另外，直接配方也可以判斷． 5．已知P(2,0)、Q(8,0)，點(diǎn)M到點(diǎn)P的距離是它到點(diǎn)Q距離的，求點(diǎn)M的軌跡方程，并求軌跡上的點(diǎn)到直線(xiàn)l：8x－y－1＝0的最小距離． 解：設(shè)M(x，y)，則|MP|＝，|MQ|＝， 由題意得，|MP|＝|MQ|， ∴＝.化簡(jiǎn)并整理，得(x－)2＋y2＝. 所求軌跡是以(，0)為圓心，為半徑的圓， 圓心到直線(xiàn)l的距離為＝.∴圓上的點(diǎn)到直線(xiàn)l的最小距離為－.