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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 《綜合法和分析法》教案 新人教A版選修1-2 教學(xué)要求：結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點. 教學(xué)重點：會用綜合法證明問題；了解綜合法的思考過程. 教學(xué)難點：根據(jù)問題的特點，結(jié)合綜合法的思考過程、特點，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法. 教學(xué)過程： 一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備： 1. 已知 “若，且，則”，試請此結(jié)論推廣猜想. （答案：若，且，則 ） 2. 已知，，求證：. 先完成證明 → 討論：證明過程有什么特點？ 3. 提問：基本不等式的形式？ 4. 討論：如何證明基本不等式. （討論 → 板演 → 分析思維特點：從結(jié)論出發(fā)，一步步探求結(jié)論成立的充分條件） 二、講授新課： 1. 教學(xué)例題： (1).出示例1：已知a, b, c是不全相等的正數(shù)，求證：a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) > 6abc. 分析：運(yùn)用什么知識來解決？（基本不等式） → 板演證明過程（注意等號的處理） → 討論：證明形式的特點 (2).提出綜合法：利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立. 框圖表示： 要點：順推證法；由因?qū)Ч? (3) .練習(xí)：已知a，b，c是全不相等的正實數(shù)，求證. (4) .出示例2：在△ABC中，三個內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且A、B、C成等差數(shù)列，a、b、c成等比數(shù)列. 求證：為△ABC等邊三角形. 分析：從哪些已知，可以得到什么結(jié)論？ 如何轉(zhuǎn)化三角形中邊角關(guān)系？ → 板演證明過程 → 討論：證明過程的特點. → 小結(jié)：文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言；邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化；挖掘題中的隱含條件（內(nèi)角和） (5). 出示例3：求證. 討論：能用綜合法證明嗎？ → 如何從結(jié)論出發(fā)，尋找結(jié)論成立的充分條件？ → 板演證明過程 （注意格式） → 再討論：能用綜合法證明嗎？ → 比較：兩種證法 (6).提出分析法：從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止. 框圖表示： 要點：逆推證法；執(zhí)果索因. (7). 練習(xí)：設(shè)x > 0，y > 0，證明不等式：. 先討論方法 → 分別運(yùn)用分析法、綜合法證明. (8). 出示例4：見教材P48. 討論：如何尋找證明思路？（從結(jié)論出發(fā)，逐步反推） (9). 出示例5：見教材P49. 討論：如何尋找證明思路？（從結(jié)論與已知出發(fā)，逐步探求） 2. 練習(xí)： 1.為銳角，且，求證：. （提示：算） 2. 已知 求證： 3. 證明：通過水管放水，當(dāng)流速相等時，如果水管截面（指橫截面）的周長相等，那么截面的圓的水管比截面是正方形的水管流量大. 提示：設(shè)截面周長為l，則周長為l的圓的半徑為，截面積為，周長為l的正方形邊長為，截面積為，問題只需證：> .3. 小結(jié)：綜合法是從已知的P出發(fā)，得到一系列的結(jié)論，直到最后的結(jié)論是Q. 運(yùn)用綜合法可以解決不等式、數(shù)列、三角、幾何、數(shù)論等相關(guān)證明問題. 分析法由要證明的結(jié)論Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知，直到所有的已知P都成立； 比較好的證法是：用分析法去思考，尋找證題途徑，用綜合法進(jìn)行書寫；或者聯(lián)合使用分析法與綜合法，即從“欲知”想“需知”(分析)，從“已知”推“可知”（綜合），雙管齊下，兩面夾擊，逐步縮小條件與結(jié)論之間的距離，找到溝通已知條件和結(jié)論的途徑. （框圖示意） 三、鞏固練習(xí)： 1. 求證：對于任意角θ，. （教材P52 練習(xí) 1題） （兩人板演 → 訂正 → 小結(jié)：運(yùn)用三角公式進(jìn)行三角變換、思維過程） 2. 的三個內(nèi)角成等差數(shù)列，求證：. 3. 設(shè)a, b, c是的△ABC三邊，S是三角形的面積，求證：. 略證：正弦、余弦定理代入得：， 即證：，即：，即證：（成立）. 作業(yè)：教材P54 A組 1題.