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2019年高考數(shù)學(xué) 五年高考真題分類匯編 第六章 不等式、推理與證明 理
一. 選擇題
1．（xx湖南高考理）若變量x，y滿足約束條件則x＋2y的最大值是 ( )
A．－ B．0 C. D.
【解析】選C 本小題主要考查線性規(guī)劃知識及數(shù)形結(jié)合思想，屬中檔偏易題．求解本小題時一定要先比較直線x＋2y＝0與邊界直線x＋y＝1的斜率的大小，然后應(yīng)用線性規(guī)劃的知識準(zhǔn)確求得最值．作出題設(shè)約束條件的平面區(qū)域(圖略)，由?可得
(x＋2y)max＝＋2＝.
2．（xx安徽高考理）已知一元二次不等式f(x)<0的解集為，則f(10x)>0的解集為 ( )
A．{x|x<－1或x>lg 2} B．{x|－1
－lg 2} D．{x|x<－lg 2}
【解析】選D 本題考查一元二次不等式的求解、指對數(shù)運算．考查轉(zhuǎn)化化歸思想及考生的合情推理能力．因為一元二次不等式f(x)<0的解集為，所以可設(shè)f(x)＝a(x＋1)(a<0)，由f(10x)>0可得(10x＋1)<0，即10x<，x<－lg 2，故選D
3．（xx安徽高考理）在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點，兩定點A，B滿足|OA―→|＝|OB―→|＝OA―→OB―→＝2，則點集{P|OP―→＝λOA―→＋μOB―→，|λ|＋|μ|≤1，λ，
μ∈R}所表示的區(qū)域的面積是 ( )
A．2 B．2 C．4 D．4
【解析】選D 本題考查平面向量運算、線性規(guī)劃等知識，培養(yǎng)考生對知識的綜合應(yīng)用能力以及數(shù)形結(jié)合思想．由|OA―→|＝|OB―→|＝OA―→OB―→＝2，可得∠AOB＝，又A，B是兩定點，可設(shè)A(，1)，B(0,2)，P(x，y)，
由OP―→＝λOA―→＋μOB―→，可得?
因為|λ|＋|μ|≤1，所以＋≤1，當(dāng)，時，由可行域可得S0＝
2＝，所以由對稱性可知點P所表示的區(qū)域面積S＝4S0＝4，故選D.
4.（xx新課標(biāo)Ⅱ高考理）已知a＞0，x，y滿足約束條件若z＝2x＋y的最小值為1，則a＝ ( )
A. B. C．1 D．2
【解析】選B 本題考查線性規(guī)劃問題，屬于基礎(chǔ)題．由已知約束條件，作出可行域如圖中△ABC內(nèi)部及邊界部分，由目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋y的幾何意義為直線l：y＝－2x＋z在y軸上的截距，知當(dāng)直線l過可行域內(nèi)的點B(1，－2a)時，目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋y的最小值為1，則2－2a＝1，a＝，故選B.
5．（xx北京高考理）設(shè)關(guān)于x，y的不等式組 表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點P(x0，y0)，滿足x0－2y0＝2.求得m的取值范圍是 ( )
A. B.
C. D.
【解析】選C 本題考查二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，考查數(shù)形結(jié)合思想、等價轉(zhuǎn)化思想以及考生分析問題、解決問題的能力．問題等價于直線x－2y＝2與不等式組所表示的平面區(qū)域存在公共點，由于點(－m，m)不可能在第一和第三象限，而直線x－2y＝2經(jīng)過第一、三、四象限，則點(－m，m)只能在第四象限，可得m＜0，不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，要使直線x－2y＝2與陰影部分有公共點，則點(－m，m)在直線x－2y－2＝0的下方，由于坐標(biāo)原點使得x－2y－2＜0，故－m－2m－2＞0，即m＜－.
6．（xx廣東高考理）設(shè)整數(shù)n≥4，集合X＝{1,2,3，…，n}．令集合S＝{(x，y，z)|x，y，z∈X，且三條件x0時無解，所以a<0，此時1－a2>0，所以－1b，則 ( )
A．a(chǎn)c>bc B.< C．a(chǎn)2>b2 D. a3>b3
【解析】選D 當(dāng)c＝0時，選項A不成立；當(dāng)a>0，b<0時，選項B不成立；當(dāng)a＝1，b＝－5時，選項C不成立；a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＝(a－b)2＋>0，故選D.
12．（xx重慶高考文）關(guān)于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集為(x1，x2)，且x2－x1＝15，則a＝ ( )
A. B. C. D.
【解析】選A 本題主要考查二次不等式與二次方程的關(guān)系．由條件知x1，x2為方程x2－2ax－8a2＝0的兩根，則x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2，故(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4(－8a2)＝36a2＝152，得a＝，故選A.
13．（xx山東高考文）設(shè)正實數(shù)x，y，z滿足x2－3xy＋4y2－z＝0.則當(dāng)取得最小值時，x＋2y－z的最大值為 ( )
A．0 B. C．2 D.
【解析】選C 本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，考查運算求解能力、推理論證能力和轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)和方程思想．
＝＝＋－3≥2 －3＝1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y時等號成立，因此z＝4y2－6y2＋4y2＝2y2，所以x＋2y－z＝4y－2y2＝－2(y－1)2＋2≤2.
14．（xx大綱卷高考文）不等式|x2－2|<2的解集是 ( )
A．(－1,1) B．(－2,2) C．(－1,0)∪(0,1) D．(－2,0)∪(0,2)
【解析】選D 本題主要考查絕對值不等式、二次不等式的解法．由|x2－2|<2得－21＋3＋32，故A不恒成立；同理，當(dāng)x＝時，>1－x＋x2，故B不恒成立；因為(cos x＋x2－1)′＝－sin x＋x≥0(0∈[0，＋∞))，且x＝0時，y＝cos x＋x2－1＝0，所以y＝cos x＋x2－1≥0恒成立，所以C對；當(dāng)x＝4時，ln(1＋x)b>1，c<0，給出下列三個結(jié)論：
①>；②acloga(b－c)．
其中所有的正確結(jié)論的序號是 ( )
A．① B．①② C．②③ D．①②③
【解析】選D 由a>b>1，c<0得，<，>；冪函數(shù)y＝xc(c<0)是減函數(shù)，所以acb－c，所以logb(a－c)>loga(a－c)>loga(b－c)，①②③均正確．
40（xx新課標(biāo)高考文）已知正三角形ABC的頂點A(1,1)，B(1,3)，頂點C在第一象限，若點(x，y)在△ABC內(nèi)部，則z＝－x＋y的取值范圍是 ( )
A．(1－，2) B．(0,2) C．(－1,2) D．(0,1＋)
【解析】選A 由題意知，正三角形的頂點C的坐標(biāo)為(1＋，2)，當(dāng)z＝－x＋y經(jīng)過點B時，zmax＝2，經(jīng)過點C時，zmin＝1－.
41（xx重慶高考文）不等式<0的解集為 ( )
A．(1，＋∞) B．(－∞，－2) C．(－2,1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
【解析】選C 不等式等價于(x－1)(x＋2)<0，解得－21，在約束條件下，目標(biāo)函數(shù)z＝x＋my的最大值小于2，則m的取值范圍為 ( )
A．(1,1＋) B．(1＋，＋∞) C．(1,3) D．(3，＋∞)
【解析】選A 變換目標(biāo)函數(shù)為y＝－x＋，由于m>1，所以－1<－<0，不等式組表示的平面區(qū)域如圖中的陰影部分所示，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，只有直線y＝－x＋在y軸上的截距最大時，目標(biāo)函數(shù)取得最大值．顯然在點A處取得最大值，由y＝mx，x＋y＝1，得A(，)，所以目標(biāo)函數(shù)的最大值是＋<2，即m2－2m－1<0，解得1－0，則當(dāng)a＝________時，＋取得最小值.
【解析】本題考查基本不等式的應(yīng)用，意在考查考生分析問題、解決問題的能力．因為＋＝＋＝＋＋≥＋2＝＋1≥－＋1＝，當(dāng)且僅當(dāng)＝，a＜0，即a＝－2，b＝4時取等號，故＋取最小值時，a＝－2.
【答案】－2
66．（xx北京高考文）設(shè)D為不等式組所表示的平面區(qū)域，區(qū)域D上的點與點(1,0)之間的距離的最小值為________．
【解析】本題主要考查線性規(guī)劃的簡單應(yīng)用，意在考查考生的運算能力、作圖能力以
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