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2019-2020年高中數(shù)學 《空間幾何體的直觀圖》教案6 新人教A版必修2 （一）數(shù)學目標 1．知識與技能 （1）掌握斜二測畫法畫水平設置的平面圖形的直觀圖. （2）采用對比的方法了解在平行投影下面空間圖形與在中心投影下面空間圖形兩種方法的各自特點. 2．過程與方法 學生通過觀察和類比，利用斜二測畫法畫出空間幾何體的直觀圖. 3．情感態(tài)度與價值觀 （1）提高空間想象力與直觀感受. （2）體會對比在學習中的作用. （3）感受幾何作圖在生產(chǎn)活動中的應用. （二）教學重點、難點 重點、難點：用斜二測面法畫空間幾何值的直觀圖. （三）教學方法 在以水平放置的正六邊形或正六棱柱為例畫直觀圖，通過多媒體課件的具體準確逐步演示，使學生熟練掌握并歸納斜二測畫法去畫直棱柱的基本步驟. 教學環(huán)節(jié) 數(shù)學內(nèi)容 師生互動 設計意圖 創(chuàng)設情境 三視圖用三個角度的正棱影圖反映空間幾何體的形狀和大小，我們能否將空間圖形用一個平面圖形來表示呢？ 學生討論發(fā)現(xiàn)能，如教材圖1.1—2如圖1.1—10. 師：這些平面圖形既富有立體感又能表達出圖形各主要部分的位置關系和度量關系，我們稱這種圖形為立體圖形的直觀圖. 設疑激趣點出主題 探索新知 1．水平放置的平面圖形的直觀圖的畫法. （1）例1 用斜二測法畫水平放置的正六邊形的直觀圖. 畫法：（1）如圖（1），在正方邊開ABCDEF中，取AD所在直線為x軸，對稱軸MN所在直線為y軸，兩軸相交于點O′，使∠x′O′y′ = 45. （2）在圖（2）中，以O′為中點，在x′ 軸上取A′D′=AD，在y′ 軸上取M′ N ′ =MN. 以點N ′ 為中點，畫B′C′ 平行于x′ 軸，并且等于BC；再以M ′為中點，畫E′F′平行于x′ 軸，并且等于EF. （3）連接A′B′，C′D′，D′E′，F(xiàn)′A′，并擦去輔助線x′ 軸和y′ 軸，便獲得正六邊形ABCDEF水平放置的直觀圖A′B′C′D′E′F′（圖（3）） 2） 斜二測畫法基本步驟. （1）在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點O.畫直觀圖時，把它們畫對應的x′軸與y′軸，兩軸交于點O′，且使∠x′O′y′=45(或135)，它們確定的平表示水平面. （2）已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖分別畫成平行于x′軸或y′軸的線段. （3）已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持長度不變，平行于y軸的線段，長度為原來的一半. 教師用多媒體課件邊演示邊講解. 學生觀察、思考、歸納 師：從以上演示我們可以發(fā)現(xiàn)畫一個水平放置的平面多邊形直觀圖的關鍵是什么？ 生：確定多邊形頂點的位置. 師：請大家嘗試歸納平面多邊形直觀圖的基本步驟. 生：①選取恰當?shù)淖鴺讼? ②畫平行線段，截取長度 ③依次連結各頂點成圖（老師板書） 師：有哪些注意事項 生1：平行于x軸，y軸的線段在直觀圖中分別畫成平行于x′軸、y′軸. 生2：原圖中平行于x軸的線段在直觀圖中保持原長度不變平行于y軸的線段長度，為原來的一半. 師在連虛實線的使用等方面予以補充. 多媒體演示提高上課效率.師生互動，突破重點. 2．簡單幾何體的直觀圖畫法 例2 用斜二測畫法畫長、寬、高分別是4cm，3cm，2cm的長方體ABCD – A′B′C′D′的直觀圖. 畫法：（1）畫軸. 如圖，畫x軸、y軸、z軸，三軸交于點O，使∠xOy = 45，∠xOz = 90. （2）畫底面. 以點O為中點，在x軸上取線段MN，使MN = 4cm；在y軸上取線段PQ，使PQ =cm. 分別過點M和N作y軸的平行線，過點P和Q作x軸的平行線，設它們的交點分別為A，B，C，D，四邊形ABCD就是長方體的底面ABCD. （3）畫側棱. 過A，B，C，D各點分別作z軸的平行線，并在這些平行線上分別截取2 cm長的線段A′A，B′B，C′C，D′D. （4）成圖，順次連接A，B，C，D，并加以整理（去掉輔助線，將被擋的部分改為虛線），就得長方體的直觀圖. 師：下面我們體會一下，用斜二測畫長、寬、高分別為4cm、3cm、2cm的長方體ABCD、A′B′C′D′的直觀圖的畫法. 教師邊演示邊講解，學生邊觀察，邊思考，邊總結. 師：請大家歸納一下，直棱柱的直觀圖畫法. 生：①畫軸 ②畫底畫 ③畫側棱 ④成圖 師：有什么注意事項嗎？ 生1：豎直方面保持平行關系和長度關系不變. 生2：被遮的部分用虛線. 多媒體演示提高上課效率.師生互動，突破重點. 3．簡單組合體畫法 例3 已知幾何體的三視圖說出它的結構特征，并用斜二測畫法畫它的直觀圖. 畫法：（1）畫軸. 如圖(1)，畫x軸、z軸，使∠xOz=90. （2）畫圓的柱的下底面. 在x軸上取A，B兩點，使AB的長度等于俯視圖中圓的直徑，且OA = OB. 選擇橢圓模板中適當?shù)臋E圓過A，B兩點，使它為圓柱下底面的作法作出圓柱的下底面. （3）在Oz上截取點O′，使OO′ 等于正視圖中OO′ 的長度，過點O′作平行于軸Ox的軸O′x′，類似圓柱下底面的作法作出圓柱的上底面. （4）畫圓錐的頂點. 在Oz上截取點P，使PO′ 等于正視圖中相應的高度. （5）成圖. 連接PA′、PB′，AA′，BB′，整理得到三視圖表示的幾何體的直觀圖.（如圖(2)） 畫軸的下底面. 正視圖 O′ O O O′′ O′ 側視圖 側視圖 學生討論然后簡答. 生1：這個幾何體是一個簡單的組合體，它的下部是一個圓柱，上部是一個圓錐，并且圓柱上底面與圓錐底面相重合. 生2：我們可以先畫出上部的圓錐. 師給予肯定然后點拔注意事項. 前后聯(lián)系加強知識的系統(tǒng)性. 隨堂練習 1．用斜二測畫法畫出下列水平放置的平面圖形的直觀圖（尺寸自定）： （1）任意三角形；（2）平行四邊形；（3）正八邊形. 答案：略 2．判斷下列結論是否正確，正確的在括號內(nèi)畫“√”，錯誤的畫“”. （1）角的水平放置的直觀圖一定是角. （ √ ） （2）相等的角在直觀圖中仍然相等. （ ） （3）相等的線段在直觀圖中仍然相等. （ ） （4）若兩條線段平行，則在直觀圖中對應的兩條線段仍然平行. （ √ ） 3．利用斜二測畫法得到的 ①三角形的直觀圖是三角形. ②平行四邊形的直觀圖是平行四邊形. ③正方形的直觀圖是正方形. ④菱形的直觀圖是菱形. 以上結論，正確的是（ A ） A．①② B．① C．③④ D．①②③④ 4．用斜二測畫法畫出五棱錐P – ABCDE的直觀圖，其中底面ABCDE是正五邊形，點P在底面的投影是正五邊形的中心O（尺寸自定）. 答案：略 學生獨立完成 鞏固所學知識 歸納總結 1．平面圖形斜二測畫法. 2．簡單幾何體斜二測畫法. 3．簡單組合斜二測畫法. 4．注意事項. 學生歸納，然后老師補充、完善 前后聯(lián)系加強知識的系統(tǒng)性 作業(yè) 1.2 第二課時 習案 學生獨立完成 鞏固知識 提升能力 備用例題 例1 用斜二測畫法畫出水平放置的正五邊形的直觀圖. 【分析】先畫出正五邊形的圖形，然后按照斜二測畫法的作圖步驟進行畫圖. 【解析】（1）如圖1所示，在已知正五邊形ABCDE中，取中心O為原點，對稱軸FA為y軸，對點O與y軸垂直的是x軸，分別過B、E作GB∥y軸，HE∥y軸，與x軸分別交于點G、H. 畫對應的軸O′x′、O′y′，使∠x′O′y′ = 45. （2）如圖2所示：以點O′為中點，在x′軸上取G′H′ = GH，分別過G′、H′，在x′軸的上方，作G′B′∥y′軸，使G′B′ =；作H′E′∥y′軸，使H′E′ =；在y′軸的點O′上方取O′A′ =OA，在點O′下方取O′F′ =OF，并且以點F′為中點，畫C′D′∥x′軸，且使C′D′ = CD. （3）連結A′B′、B′C′、D′E′、E′A′，所得正五邊形A′B′C′D′E′就是正五邊形ABCDE的直觀圖，如圖3所示. 1 2 3 【評析】在直觀圖中確定坐標軸上的對應點及與坐標軸平行的線段端點的對應點都比較好辦，但是如果原圖中的點不在坐標軸上或不在與坐標軸平行的線段上，就需要我們經(jīng)過這些點作坐標軸的平行線段與坐標軸相交，先確定這些平行線段在坐標軸上的端點的對應點，再確定這些點的對應點. 例2 已知一個正四棱臺的上底面邊長為2cm，下底面邊長為6cm，高為4cm. 用斜二測畫法畫出此正四棱臺的直觀圖. 【分析】先畫出上、下底面正方形的直觀圖，再畫出整個正四棱臺的直觀圖. 【解析】（1）畫軸. 以底面正方形ABCD的中心為坐標原點，畫x軸、y軸、z軸，三軸相交于O，使∠xOy = 45，∠xOz = 90. ∥ ＝ ∥ ＝ （2）畫下底面. 以O為中點，在x軸上取線段EF，使得EF = AB = 6cm，在y軸上取線段GH，使得GH =AB，再過G、H分別作AB EF，CD EF，且使得CD的中點為H，AB的中點為G，這樣就得到了正四棱臺的下底面ABCD的直觀圖. （3）畫上底面. 在z軸上截取線段OO1 = 4cm，過O1點作O1x′∥Ox、O1y′∥Oy，使∠x′O1y′ = 45，建立坐標系x′O1y′，在x′O1y′中重復（2）的步驟畫出上底面的直觀圖A1B1C1D1. （3）再連結AA1、BB1、CC1、DD1，得到的圖形就是所求的正四棱臺的直觀圖（圖2）. 【評析】用斜二測畫法畫空間圖形的直觀圖時，對于圖中與x軸、y軸、z軸都不平行的線段，可通過確定端點的辦法來解決：過與坐標軸不平行的線段的端點作坐標軸的平行線段，再借助于所作平行線段確定端點在直觀圖中的位置，有了端點在直觀圖中的位置，一切問題便可迎刃而解. 例3 如右圖所示，梯形A1B1C1D1是一平面圖形ABCD的直觀圖. 若A1D1∥O1y，A1B1∥C1D1，A1B1 =C1D1 = 2，A1D1 = O′D1 = 1. 請畫出原來的平面幾何圖形的形狀，并求原圖形的面積. 【解析】如圖，建立直角坐標系xoy，在x軸上截取OD=O′D1=1，OC=O′C1=2. 在過點D的y軸的平行線上截取DA=2D1A1=2. 在過點A的x軸的平行線上截取AB=A1B1 = 2. 連接BC，即得到了原圖形. 由作法可知，原四邊形ABCD是直角梯形，上、下底長度分別為AB = 2，CD = 3，直角腰長度為AD = 2. 所以面積為= 5. 【評析】給出直觀圖來研究原圖形，逆向運用斜二測畫法規(guī)則，更要求我們具有逆向思維的能力. 畫法關鍵之處同樣是關鍵點的確定，逆向的規(guī)則為“水平長不變，垂直長增倍”，注意平行于y′軸的為垂直.