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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 模塊綜合檢測 新人教A版選修2-1 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 1．下列命題中是全稱命題，并且又是真命題的是(　　) A．所有菱形的四條邊都相等 B．?x0∈N，使2x0為偶數(shù) C．對?x∈R，x2＋2x＋1＞0 D．π是無理數(shù) 解析：根據(jù)全稱命題的定義可以判斷A、C兩項(xiàng)為全稱命題，對于C項(xiàng)，在x＝－1時(shí)，x2＋2x＋1＝0，故C項(xiàng)為假命題． 答案：A 2．若拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝1，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(－1,0)，則拋物線的方程是(　　) A．y2＝2x　　　　B．y2＝－2x C．y2＝4x D．y2＝－4x 解析：∵拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝1， 焦點(diǎn)坐標(biāo)為(－1,0)， ∴拋物線的開口方向向左且頂點(diǎn)在原點(diǎn)，其中p＝2. ∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝－4x. 答案：D 3．若a＝(1，－1，－1)，b＝(0,1,1)且(a＋λb)⊥b則實(shí)數(shù)λ的值是(　　) A．0 B．1 C．－1 D．2 解析：λb＝(0，λ，λ)， a＋λb＝(1，λ－1，λ－1)． ∵(a＋λb)⊥b，∴(a＋λb)b＝0， ∴λ－1＝0，λ＝1. 答案：B 4．已知命題p：?x∈R，x≥1，那么命題綈p為(　　) A．?x∈R，x≤1 B．?x0∈R，x0＜1 C．?x∈R，x≤－1 D．?x0∈R，x0＜－1 解析：全稱命題的否定是特稱命題． 答案：B 5．拋物線y＝ax2的準(zhǔn)線方程是y＝2，則a的值為(　　) A. B．－ C．8 D．－8 解析：由y＝ax2得x2＝y(tǒng)， ∴＝－8，∴a＝－. 答案：B 6．若橢圓＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，則雙曲線－＝1的離心率為(　　) A. B. C. D. 解析：因?yàn)闄E圓＋＝1的離心率e1＝， 所以1－＝e＝， 即＝，而在雙曲線－＝1中，設(shè)離心率為e2， 則e＝1＋＝1＋＝，所以e2＝. 答案：B 7．下列選項(xiàng)中，p是q的必要不充分條件的是(　　) A．p：a＋c＞b＋d，q：a＞b且c＞d B．p：a＞1，b＞1，q：f(x)＝ax－b(a＞0且a≠1)的圖象不過第二象限 C．p：x＝1，q：x2＝x D．p：a＞1，q：f(x)＝logax(a＞0且a≠1)在(0，＋∞)上為增函數(shù) 解析：由于a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d，而a＋c＞b＋d卻不一定推出a＞b，且c＞d.故A中p是q的必要不充分條件．B中，當(dāng)a＞1，b＞1時(shí)，函數(shù)f(x)＝ax－b不過第二象限，當(dāng)f(x)＝ax－b不過第二象限時(shí)，有a＞1，b≥1.故B中p是q的充分不必要條件．C中，因?yàn)閤＝1時(shí)有x2＝x，但x2＝x時(shí)不一定有x＝1，故C中p是q的充分不必要條件．D中p是q的充要條件． 答案：A 8．四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AB⊥AD，BC∥AD，且AB＝BC＝2，AD＝3，PA⊥平面ABCD且PA＝2，則PB與平面PCD所成角的正弦值為(　　) A. B. C. D. 解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 則P(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,3,0)． ＝(2,0，－2)，＝(－2,1,0)，＝(0,3，－2)． 設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)， 則取x＝1得n＝(1,2,3)． cos〈，n〉＝＝＝－， 可得PB與平面PCD所成角的正弦值為. 答案：B 9．正△ABC與正△BCD所在平面垂直，則二面角A－BD－C的正弦值為(　　) A. B. C. D. 解析：取BC中點(diǎn)O，連接AO，DO. 建立如圖所示坐標(biāo)系，設(shè)BC＝1， 則A，B，D. ∴＝，＝，＝. 由于＝為面BCD的法向量， 可進(jìn)一步求出面ABD的一個(gè)法向量n＝(1，－，1)， ∴cos〈n，〉＝， ∴sin〈n，〉＝. 答案：C 10．設(shè)雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的漸近線與拋物線y＝x2＋1相切，則該雙曲線的離心率等于(　　) A. B．2 C. D. 解析：雙曲線的一條漸近線為y＝x， 由消y得x2－x＋1＝0. 由題意，知Δ＝2－4＝0 ∴b2＝4a2. 又c2＝a2＋b2，∴c2＝a2＋4a2＝5a2. ∴＝. 答案：D 11．已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)，M為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)1為橢圓的左焦點(diǎn)，則線段MF1的中點(diǎn)P的軌跡是(　　) A．橢圓 B．圓 C．雙曲線的一支 D．線段 解析：∵P為MF1中點(diǎn)，O為F1F2的中點(diǎn)，∴OP＝MF2，又MF1＋MF2＝2a，∴PF1＋PO＝MF1＋MF2＝a.∴P的軌跡是以F1，O為焦點(diǎn)的橢圓． 答案：A 12．如圖所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝AC，AB⊥AC，M是CC1的中點(diǎn)，Q是BC的中點(diǎn)，P是A1B1的中點(diǎn)，則直線PQ與AM所成的角為(　　)  A. B. C. D. 解析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AC、AA1所在直線為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AA1＝AB＝AC＝2，則＝(0,2,1)，Q(1,1,0)，P(1,0,2)，＝(0，－1,2)，所以＝0， 所以QP與AM所成角為. 答案：D 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分． 13．雙曲線－＝1的焦距是________． 解析：依題意a2＝m2＋12，b2＝4－m2，所以c2＝a2＋b2＝16，c＝4,2c＝8. 答案：8 14．命題p：若a，b∈R，則ab＝0是a＝0的充分條件，命題q：函數(shù)y＝的定義域是[3，＋∞)，則“p∨q”“p∧q”“綈p”中是真命題的有________． 解析：依題意可知p假，q真，所以“p∨q”為真，“p∧q”為假，“綈p”為真． 答案：p∨q，綈p 15．已知A(0，－4)，B(3,2)，拋物線y2＝x上的點(diǎn)到直線AB的最短距離為________． 解析：直線AB為2x－y－4＝0，設(shè)拋物線y2＝x上的點(diǎn)P(t，t2)，d＝＝＝≥＝. 答案： 16．在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M和N分別是A1B1和BB1的中點(diǎn)，那么直線AM與CN所成角的余弦值為________． 解析：建系如圖， 則M，N，A(1,0,0)，C(0,1,0)， ∴＝，＝. ∴cos〈，〉＝＝＝. 即直線AM與CN所成角的余弦值為. 答案： 三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟． 17．(本小題滿分10分)命題p：x2－4mx＋1＝0有實(shí)數(shù)解，命題q：?x0∈R，使得mx－2x0－1＞0成立． (1)若命題p為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍； (2)若命題q為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍； (3)若命題綈p∨綈q為真命題，且命題p∨q為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 解析：(1)∵x2－4mx＋1＝0有實(shí)根； ∴Δ＝16m2－4≥0，∴m≤－或m≥. ∴m的取值范圍是∪. (2)設(shè)f(x)＝mx2－2x－1. 當(dāng)m＝0時(shí)，f(x)＝－2x－1，q為真命題； 當(dāng)m＞0時(shí)，q為真命題； 當(dāng)m＜0時(shí)，需有Δ＝4＋4m＞0， ∴m＞－1，綜上m＞－1. (3)∵綈p∨綈q為真，p∨q為真， ∴p、q為一真一假．p、q為真時(shí)m的范圍在數(shù)軸上表示為 p真，q假時(shí)，m≤－1；p假，q真時(shí)，－＜m＜. ∴滿足條件的m的取值范圍是m≤－1或－＜m＜. 18．(本小題滿分12分)如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G分別是A1D1、D1D、D1C1的中點(diǎn)． (1)求證：EG∥AC； (2)求證：平面EFG∥平面AB1C. 證明：把{，，}作為空間的一個(gè)基底． (1)因?yàn)椋剑剑?，＝＋? 所以＝2.所以EG∥AC. (2)由(1)知EG∥AC，又AC?平面AB1C，EG?平面AB1C， 所以EG∥平面AB1C. 因?yàn)椋剑剑?，＝＋? 所以＝2.所以FG∥AB1. 又AB1?平面AB1C，F(xiàn)G?平面AB1C， 所以FG∥平面AB1C. 又EG∩FG＝G，所以平面EFG∥平面AB1C. 19．(本小題滿分12分)已知直線l：y＝－x＋1與橢圓＋＝1(a＞b＞0)相交于A、B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)為. (1)求此橢圓的離心率； (2)若橢圓的右焦點(diǎn)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)在圓x2＋y2＝5上，求此橢圓的方程． 解析：(1)由得 (b2＋a2)x2－2a2x＋a2－a2b2＝0. Δ＝4a4－4(a2＋b2)(a2－a2b2)＞0?a2＋b2＞1， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1＋x2＝. ∵線段AB的中點(diǎn)為， ∴＝，于是得：a2＝2b2. 又a2＝b2＋c2，∴a2＝2c2，∴e＝. (2)設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F(c,0)，則點(diǎn)F關(guān)于直線l：y＝－x＋1的對稱點(diǎn)為P(1,1－c)， 由已知點(diǎn)P在圓x2＋y2＝5上， ∴1＋(1－c)2＝5，c2－2c－3＝0. ∵c＞0，∴c＝3， 又∵a2＝2c2，∴a2＝18，a＝3.∴b＝3， ∴橢圓方程為＋＝1. 20．(本小題滿分12分)已知拋物線y2＝－x與直線y＝k(x＋1)相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)． (1)求證：OA⊥OB； (2)當(dāng)△OAB的面積等于時(shí)，求k的值． 解析：(1)證明：當(dāng)k＝0時(shí)直線與拋物線僅一個(gè)交點(diǎn)，不合題意， ∴k≠0由y＝k(x＋1)得x＝－1代入y2＝－x整理得： y2＋y－1＝0 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)則y1＋y2＝－，y1y2＝－1. ∵A，B在y2＝－x上， ∴A(－y，y1)，B(－y，y2)， ∴kOAkOB＝＝＝－1， ∴OA⊥OB. (2)設(shè)直線與x軸交于E，則E(－1,0)，∴|OE|＝1， S△OAB＝|OE|(|y1|＋|y2|)＝|y1－y2| ＝＝， 解得k＝. 21．(本小題滿分12分)如圖，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，AD＝DE＝2AB，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)． (1)求證：AF∥平面BCE； (2)求證：平面BCE⊥平面CDE； (3)在DE上是否存在一點(diǎn)P，使直線BP和平面BCE所成的角為30. 解析：設(shè)AD＝DE＝2AB＝2a， 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz， 則A(0,0,0)，B(0,0，a)，C(2a,0,0)，D(a，a,0)，E(a，a,2a)， ∵F為CD的中點(diǎn)，∴F. (1)證明：＝， ＝(a，a，a)，＝(2a,0，－a)， ∵＝(＋)， AF?平面BCE，∴AF∥平面BCE. (2)證明：∵＝， ＝(－a，a,0)，＝(0,0，－2a)， ∴＝0，＝0， ∴⊥，⊥. ∴⊥平面CDE.又∵AF∥平面BCE， ∴平面BCE⊥平面CDE. (3)設(shè)平面BCE的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)， 由n＝0，n＝0可得： x＋y＋z＝0,2x－z＝0， 取n＝(1，－，2)， 不妨取a＝1，則B(0,0,1)， 設(shè)存在P(1，，t)滿足題意， 則＝(1，，t－1)(0≤t≤2)， 設(shè)BP和平面BCE所成的角為θ， 則sinθ＝ ＝＝， 解得t＝3，取t＝3－∈[0,2]， ∴存在P(a，a，(3－)a)，使直線BP和平面BCE所成的角為30. 22．(本小題滿分12分)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，直線l：y＝x＋2與以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓O相切． (1)求橢圓C的方程； (2)設(shè)橢圓C與曲線|y|＝kx(k＞0)的交點(diǎn)為A，B，求△OAB面積的最大值． 解析：(1)由題設(shè)可知，圓O的方程為x2＋y2＝b2， 因?yàn)橹本€l：x－y＋2＝0與圓O相切，故有 ＝b. 所以b＝. 已知e＝＝，所以有a2＝3c2＝3(a2－b2)． 所以a2＝3. 所以橢圓C的方程為＋＝1. (2)設(shè)點(diǎn)A(x0，y0)(x0＞0，y0＞0)，則y0＝kx0， 設(shè)AB交x軸于點(diǎn)D， 由對稱性知：S△OAB＝2S△OAD＝2x0y0＝kx. 由，解得x＝. 所以S△OAB＝k＝≤＝. 當(dāng)且僅當(dāng)＝3k，即k＝時(shí)取等號． 所以△OAB面積的最大值.