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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第一章《正弦定理》教案 新人教A版必修5 ●教學(xué)目標(biāo) 知識(shí)與技能：通過對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；會(huì)運(yùn)用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題。 過程與方法：讓學(xué)生從已有的幾何知識(shí)出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對(duì)角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察，推導(dǎo)，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進(jìn)行定理基本應(yīng)用的實(shí)踐操作。 情感態(tài)度與價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問題的運(yùn)算能力；培養(yǎng)學(xué)生合情推理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思思想能力，通過三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識(shí)間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。 ●教學(xué)重點(diǎn) 正弦定理的探索和證明及其基本應(yīng)用。 ●教學(xué)難點(diǎn)已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)判斷解的個(gè)數(shù)。 ●教學(xué)過程 Ⅰ.課題導(dǎo)入 如圖1．1-1，固定ABC的邊CB及B，使邊AC繞著頂點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)。 A 思考：C的大小與它的對(duì)邊AB的長(zhǎng)度之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？ 顯然，邊AB的長(zhǎng)度隨著其對(duì)角C的大小的增大而增大。能否 用一個(gè)等式把這種關(guān)系精確地表示出來？ C B Ⅱ.講授新課 [探索研究] (圖1．1-1) 在初中，我們已學(xué)過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中，角與邊的等式關(guān)系。如圖1．1-2，在RtABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c, 根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，有，，又, A 則 b c 從而在直角三角形ABC中， C a B (圖1．1-2) 思考：那么對(duì)于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立？ （由學(xué)生討論、分析） 可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況： 如圖1．1-3，當(dāng)ABC是銳角三角形時(shí)，設(shè)邊AB上的高是CD，根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，有CD=,則， C 同理可得， b a 從而 A c B (圖1．1-3) 思考：是否可以用其它方法證明這一等式？由于涉及邊長(zhǎng)問題，從而可以考慮用向量來研究這個(gè)問題。 （證法二）：過點(diǎn)A作， C 由向量的加法可得 則 A B ∴ ∴，即 同理，過點(diǎn)C作，可得 從而 類似可推出，當(dāng)ABC是鈍角三角形時(shí)，以上關(guān)系式仍然成立。（由學(xué)生課后自己推導(dǎo)） 從上面的研探過程，可得以下定理 正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即 [理解定理] （1）正弦定理說明同一三角形中，邊與其對(duì)角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即存在正數(shù)k使，，； （2）等價(jià)于，， 從而知正弦定理的基本作用為： ①已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如； ②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對(duì)角可以求其他角的正弦值，如。 一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形。 [例題分析] 例1．在中，已知，，cm，解三角形。 解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理， ； 根據(jù)正弦定理， ； 根據(jù)正弦定理， 評(píng)述：對(duì)于解三角形中的復(fù)雜運(yùn)算可使用計(jì)算器。 例2．在中，已知cm，cm，，解三角形（角度精確到，邊長(zhǎng)精確到1cm）。 解：根據(jù)正弦定理， 因?yàn)椋迹?，所以，? ⑴ 當(dāng)時(shí)， ， ⑵ 當(dāng)時(shí)， ， 評(píng)述：應(yīng)注意已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，可能有兩解的情形。 Ⅲ.課堂練習(xí) 第5頁練習(xí)第1（1）、2（1）題。 [補(bǔ)充練習(xí)]已知ABC中，，求 （答案：1：2：3） Ⅳ.課時(shí)小結(jié)（由學(xué)生歸納總結(jié)） （1）定理的表示形式：； 或，， （2）正弦定理的應(yīng)用范圍： ①已知兩角和任一邊，求其它兩邊及一角； ②已知兩邊和其中一邊對(duì)角，求另一邊的對(duì)角。 Ⅴ.課后作業(yè) 第10頁[習(xí)題1.1]A組第1（1）、2（1）題。 ●板書設(shè)計(jì) ●授后記