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2019-2020年高中數(shù)學 第三章《三角恒等變換》教學設計 新人教A版必修4 【教學目標】 進一步掌握三角恒等變換的方法，如何利用正、余弦、正切的和差公式與二倍角公式，對三角函數(shù)式進行化簡、求值和證明： 新授課階段 1. 11個三角恒等變換公式中，余弦的差角公式是其它公式的基礎，由它出發(fā)，用-β代替β、β代替β、α=β等換元法可以推導出其它公式.你能根據(jù)下圖回顧推導過程嗎？ cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ tan（α+β）= tan（α-β）= sin2α=2sinαcosα cos2α=cos2α- sin2α =2cos2α-1=1-2 sin2α tan2α= 2．化簡，要求使三角函數(shù)式成為最簡：項數(shù)盡量少，名稱盡量少，次數(shù)盡量底，分母盡量不含三角函數(shù)，根號內(nèi)盡量不含三角函數(shù)，能求值的求出值來； 3．求值，要注意象限角的范圍、三角函數(shù)值的符號之間聯(lián)系與影響，較難的問題需要根據(jù)上三角函數(shù)值進一步縮小角的范圍. 4．證明是利用恒等變換公式將等式的左邊變同于右邊，或右邊變同于，或都將左右進行變換使其左右相等. 5. 三角恒等變換過程與方法，實際上是對三角函數(shù)式中的角、名、形的變換，即（1）找差異：角、名、形的差別；（2）建立聯(lián)系：角的和差關系、倍半關系等，名、形之間可以用哪個公式聯(lián)系起來；（3）變公式：在實際變換過程中，往往需要將公式加以變形后運用或逆用公式，如升、降冪公式， cosα= cosβcos（α-β）- sinβsin（α-β），1= sin2α+cos2α，==tan（450+300）等. 例1 知，求sin4a的值． 解：∵ ∴ ∴ ∴cos2a = 又∵ ∴2a (p, 2p) ∴sin2a = ∴sin4a = 2sin2acos2a = 例2 已知q是三角形中的一個最小的內(nèi)角，且，求a的取值范圍． 解：原式變形： 即，顯然 （若，則 0 = 2） ∴ 又∵，∴ 即： 解之得： 例3 求證：的值是與a無關的定值． 證： ∴的值與a無關 例4 已知． 解：由得 解方程組 得 或 例5 求值：． 解：原式= 例6 ．已知函數(shù). （Ⅰ）求的定義域； （Ⅱ）設的第四象限的角，且，求的值． 解：（Ⅰ）由 得， 故在定義域為 （Ⅱ）因為，且是第四象限的角, 所以 故 . 例7 已知sin（－x）=，0＜x＜，求的值. 分析：角之間的關系：（－x）+（+x）=及－2x=2（－x），利用余角間的三角函數(shù)的關系便可求之. 解：∵（－x）+（+x）=，∴cos（+x）=sin（－x）. 又cos2x=sin（－2x）=sin2（－x）=2sin（－x）cos（－x）， ∴=2cos（－x）=2=. 例8 求證: 解：原式= = = ===tan. 例9 已知，，都是銳角，求 的值. 解：由得3sin2α=1－2sin2β=cos2β. 由得sin2β=sin2α.∴cos（α+2β）=cosαcos2β－sinαsin2β =3cosαsin2α－sinαsin2α=0.∵α、β∈（0，），∴α+2β∈（0，）. ∴α+2β=. 課堂小結(jié) 三角恒等式的證明方法有： 從等式一邊推導變形到另一邊，一般是化繁為簡. 等式兩邊同時變形成同一個式子.將式子變形后再證明. 作業(yè) 見同步練習 拓展提升 1．若，則等于 （A） （B） （C） （D） 2．函數(shù)y=sin2x+sinx,x的值域是( ) (A)［-,］ (B) ［］ (C) ［-,］ 　(D)［］ 3．已知x∈（－，0），cosx=，則tan2x等于 （ ） A. B.－ C. D.－ 4．已知tan=,則的值為（ ） A． B．- C． D．- 5．．，則 ． 6．已知，若，則． 若 , 則． 7．若,則的值為_______． 8．已知銳角三角形ABC中，求 的值． 9． 10．設函數(shù)的最大值為M，最小正周期為T． （1） 求M，T； （2） 若有10個互不相等的正數(shù)滿足M，且（i=1,2,…10）， 求…的值. 參考答案 1．C 2．B 提示：用二倍角公式及兩角和與差的正弦或余弦公式 3．D 4．A提示： 5．． 提示：由已知得， 6． 提示： 當，當 7． 提示：去分母后兩邊平方可得 8 解： 9 解： 10 解：（1） （2）：， 即 ，又是互不相等的正數(shù)且（i=1,2,…10）， 故 0，1，…9．所以…