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2019-2020年高中數(shù)學 第二章 數(shù)列 第七課時 等比數(shù)列教案（一） 蘇教版必修5 教學目標： 掌握等比數(shù)列的定義，理解等比數(shù)列的通項公式及推導；培養(yǎng)學生的發(fā)現(xiàn)意識，提高學生創(chuàng)新意識，提高學生的邏輯推理能力，增強學生的應(yīng)用意識. 教學重點： 等比數(shù)列的定義及通項公式. 教學難點： 靈活應(yīng)用等比數(shù)列的定義式及通項公式解決一些相關(guān)問題. 教學過程： Ⅰ.復習回顧 前面幾節(jié)課，我們共同探討了等差數(shù)列，現(xiàn)在我們再來回顧一下等差數(shù)列的主要內(nèi)容. Ⅱ.講授新課 下面我們來看這樣幾個數(shù)列，看其又有何共同特點? 1，2，4，8，16，…，263； ① 5，25，125，625，…； ② 1，－，，－，…； ③ 仔細觀察數(shù)列，尋其共同特點. 對于數(shù)列①，an＝2n－1；＝2(n≥2) 對于數(shù)列②，an＝5n；＝5(n≥2) 對于數(shù)列③，an＝(－1)n+1；＝－ (n≥2) 共同特點：從第二項起，第一項與前一項的比都等于同一個常數(shù). 也就是說，這些數(shù)列從第二項起，每一項與前一項的比都具有“相等”的特點. 1.定義 等比數(shù)列：一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母q表示(q≠0)，即：an∶an－1＝q(q≠0) 如：數(shù)列①，②，③都是等比數(shù)列，它們的公比依次是2，5，－.與等差數(shù)列比較，僅一字之差. 總之，若一數(shù)列從第二項起，每一項與其前一項之“差”為常數(shù)，則為等差數(shù)列，之“比”為常數(shù)，則為等比數(shù)列，此常數(shù)稱為“公差”或“公比”. 注意（1）公差“d”可為0，（2）公比“q”不可為0. 等比數(shù)列的通項公式又如何呢? 2.等比數(shù)列的通項公式 請同學們想想等差數(shù)列通項公式的推導過程，試著推一下等比數(shù)列的通項公式. 解法一：由定義式可得：a2＝a1q，a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2，a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3，…， an＝an－1q＝a1qn－1(a1，q≠0)，n＝1時，等式也成立，即對一切n∈N*成立. 解法二：由定義式得：(n－1)個等式 若將上述n－1個等式相乘，便可得： …＝qn－1 即：an＝a1qn－1(n≥2) 當n＝1時，左＝a1，右＝a1，所以等式成立， ∴等比數(shù)列通項公式為：an＝a1qn－1(a1，q≠0) 如：數(shù)列①，an＝12n－1＝2n－1(n≤64) 數(shù)列②：an＝55n－1＝5n，數(shù)列③：an＝1(－)n－1＝(－1)n－1與等差數(shù)列比較，兩者均可用歸納法求得通項公式. 或者，等差數(shù)列是將由定義式得到的n－1個式子相“加”，便可求得通項公式；而等比數(shù)列則需將由定義式得到的n－1個式子相“乘”，方可求得通項公式. 下面看一些例子： ［例1］培育水稻新品種，如果第一代得到120粒種子，并且從第一代起，由以后各代的每一粒種子都可以得到下一代的120粒種子，到第5代大約可以得到這個新品種的種子多少粒（保留兩個有效數(shù)字）？ 分析：下一代的種子數(shù)總是上一代種子數(shù)的120倍，逐代的種子數(shù)可組成一等比數(shù)列，然后可用等比數(shù)列的有關(guān)知識解決題目所要求的問題. 解：由題意可得：逐代的種子數(shù)可組成一以a1＝120，q＝120的等比數(shù)列{an}. 由等比數(shù)列通項公式可得：an＝a1qn－1＝120120n－1＝120n ∴a5＝1205≈2.51010. 答：到第5代大約可以得到種子2.51010粒. 評述：遇到實際問題，首先應(yīng)仔細分析題意，以準確恰當建立數(shù)學模型. ［例2］一個等比數(shù)列的第3項與第4項分別是12與18，求它的第1項與第2項. 分析：應(yīng)將已知條件用數(shù)學語言描述，并聯(lián)立，然后求得通項公式. 解：設(shè)這個等比數(shù)列的首項是a1，公比是q 則： ②①得：q＝ ③ ③代入①得：a1＝ ∴an＝a1qn－1＝（）n－1，a2＝a1q＝＝8. 答：這個數(shù)列的第1項與第2項分別是和8. 評述：要靈活應(yīng)用等比數(shù)列定義式及通項公式. Ⅲ.課堂練習 課本P48練習1，2，3 已知{an}是無窮等比數(shù)列，公比為q. (1)將數(shù)列{an}中的前k項去掉，剩余各項組成一個新數(shù)列，這個數(shù)列是等比數(shù)列嗎？如果是，它的首項和公比各是多少？ 解：設(shè){an}為：a1，a2，…，ak，ak+1，… 則去掉前k項的數(shù)可列為：ak+1，ak+2，…，an，… 可知，此數(shù)列是等比數(shù)列，它的首項為ak+1，公比為q. (2)取出數(shù)列{an}中的所有奇數(shù)項，組成一個新的數(shù)列，這個數(shù)列是等比數(shù)列嗎？如果是，它的首項和公比各是多少？ 解：設(shè){an}為：a1，a2，a3，…，a2k－1，a2k，…，取出{an}中的所有奇數(shù)項，分別為：a1，a3，a5，a7，…，a2k－1，a2k+1，… ∵＝＝q2(k≥1) ∴此數(shù)列為等比數(shù)列，這個數(shù)列的首項是a1，公比為q2. (3)在數(shù)列{an}中，每隔10項取出一項，組成一個新的數(shù)列，這個數(shù)列是等比數(shù)列嗎？如果是，它的公比是多少？ 解：設(shè)數(shù)列{an}為：a1，a2，…，an，… 每隔10項取出一項的數(shù)可列為：a11，a22，a33，…… 可知，此數(shù)列為等比數(shù)列，其公式為：＝＝q11. 評述：注意靈活應(yīng)用等比數(shù)列的定義式和通項公式. Ⅳ.課時小結(jié) 本節(jié)課主要學習了等比數(shù)列的定義，即：＝q(q≠0，q為常數(shù)，n≥2) 等比數(shù)列的通項公式：an＝a1qn－1(n≥2)及推導過程. Ⅴ.課后作業(yè) 課本P52習題 1，2，3，4 等比數(shù)列(一) 1．已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和，Sn＝pn，那么數(shù)列{an}是 （ ） A.等比數(shù)列 B.當p≠0時為等比數(shù)列 C.當p≠0，p≠1時為等比數(shù)列 D.不可能為等比數(shù)列 2．公差不為0的等差數(shù)列{an}中，a2，a3，a6依次成等比數(shù)列，則公比等于 （ ） A. B. C.2 D.3 3．數(shù)列{an}的前n項之和是Sn＝an＋b(a、b為常數(shù)且a≠0，1)，問數(shù)列{an}是等比數(shù)列嗎？若是，寫出通項公式，若不是，說明理由. 4．已知等比數(shù)列x，－，y，－，，…，求x，y. 5．已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，首項為a1，公比不等于1，又其中有連續(xù)三項分別是一等差數(shù)列的第t，k，p項，求數(shù)列{an}的通項公式. 6．已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求a4的值. 等比數(shù)列(一)答案 1．D 2．D 3．數(shù)列{an}的前n項之和是Sn＝an＋b(a、b為常數(shù)且a≠0，1)，問數(shù)列{an}是等比數(shù)列嗎？若是，寫出通項公式，若不是，說明理由. 分析：利用等比數(shù)列的定義解題. 解：a1＝S1＝a＋b，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(a－1)an－1 又a1＝(a－1)a0＝a－1 ∴若a－1≠a＋b，即b≠－1時，顯然數(shù)列{an}不是等比數(shù)列. 若a－1＝a＋b，即b＝－1時，由an＝(a－1)an－1(n≥1)，得＝a(n≥2) 故數(shù)列{an}是等比數(shù)列. 4．x＝，y＝ 5．已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，首項為a1，公比不等于1，又其中有連續(xù)三項分別是一等差數(shù)列的第t，k，p項，求數(shù)列{an}的通項公式. 分析一：先從等比數(shù)列入手解決問題. 解法一：設(shè)符合題設(shè)的等比數(shù)列{an}中的連續(xù)三項為am，am+1，am+2，則： am+1＝amq，am+2＝am+1q (q為公比) 兩式相減，得q＝ 又am+1＝am＋(k－t)d，即am+1－am＝(k－t)d 同理am+2－am+1＝(p－k)d(d為公差），故q＝＝ ∴所求通項公式為an＝a1( )n－1. 分析二：先從等差數(shù)列入手解決問題. 解法二：設(shè)等差數(shù)列為{bn}，公差為d，則 由題設(shè)知，bt，bk，bp是等比數(shù)列{an}中的連續(xù)三項：故q＝＝ 利用等比定理，可得 ＝＝＝ ∴q＝，an＝a1()n－1. 6．已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求a4的值. 分析：要求a4可以先求an，這樣求基本量a1和q的值就成了關(guān)鍵，結(jié)合條件考慮運用方程思想解決. 解：設(shè)此數(shù)列的公比為q,由已知得： 由a1≠0，1＋q2≠0，②①得，q3＝q＝a1＝8. a4＝a1q3＝8＝1. 評述：本題在求基本量a1和q時，運用方程思想把兩個方程相除達到消元的目的，此法應(yīng)重視.